নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/MIMO সিস্টেম

বহু-ইনুপুট, বহু-আউটপুট

একাধিক ইনপুট এবং/অথবা একাধিক আউটপুট সহ সিস্টেমগুলিকে বহু-ইনপুট, বহু-আউটপুট (মাল্টি-ইনপুট মাল্টি-আউটপুট) সিস্টেম বলা হয়। এই যান্ত্রিক সিস্টেমকে প্রায়শই সংক্ষেপে মিমো নামে অভিহিত করা হয়। আমরা আগে একক-ইনপুট, একক-আউটপুট ব্যাবস্থা সম্পর্কে আলোচনা করেছি। এই বহু-ইনুপুট, বহু-আউটপুট ব্যাবস্থার কার্যপ্রনালী তাদের থেকে সম্পূর্ণ ভিন্ন।

স্টেট-স্পেস পরিবেশনা

অতিরিক্ত তথ্যের জন্য এই পৃষ্ঠার ভূমিকার অংশটি দেখুন

মিমো সিস্টেমের মধ্যে যেগুলি ক্ষুদ্র (লাম্পড) এবং রৈখিক(লিনিয়ার), সেগুলিকে অবস্থান সমীকরণ বা স্টেট-স্পেস সমীকরণের মাধ্যমে সহজেই বর্ণনা করা যেতে পারে। একাধিক ইনপুট উপস্থাপন করার জন্য আমরা ইনপুট u(t) কে একটি ভেক্টর U(t) -এর মাধ্যমে প্রকাশ করে থাকি। একইভাবে, একাধিক আউটপুট সহ একটি সিস্টেম উপস্থাপন করার জন্য, আমরা y(t) কে Y(t), ভেক্টর রাশির মাধ্যমে প্রকাশ করি। U(t) এবং Y(t) হল বহু ইনপুট এবং বহু আউটপুট প্রকাশকারী দুটি ভেক্টর। সিস্টেমের আউটপুটগুলিকে সাধারণত ইনপুট ভেক্টর এবং অবস্থান (স্টেট) ভেক্টরের উপর রৈখিকভাবে নির্ভরশীল হতে হয়।

$X'(t)=AX(t)+BU(t)$

$Y(t)=CX(t)+DU(t)$

উদাহরণ: দুটি ইনপুট এবং দুটি আউটপুট

ধরা যাক আমাদের কাছে একটি সিস্টেম আছে যার দুটি আউটপুট, y₁ ও y₂, এবং দুটি ইনপুট, u₁ ও u₂ এই ইনপুট ও আউটপুটদ্বয়ের সম্পর্ক নিম্নলিখিত অবকল সমীকরনের মাধ্যমে প্রতিষ্ঠা করা যায়:

$y_{1}''+a_{1}y_{1}'+a_{0}(y_{1}+y_{2})=u_{1}(t)$

$y_{2}'+a_{2}(y_{2}-y_{1})=u_{2}(t)$

এখন আমরা প্রথম ক্রমের অবকল সমীকরনের মাধ্যমে অবস্থান (স্টেট-স্পেস) সমীকরনের মান নির্ণয় করতে পারি:

$x_{1}=y_{1}$

$x_{4}=y_{2}$

$x_{1}'=y_{1}'=x_{2}$

$x_{2}'=-a_{1}x_{2}-a_{0}(x_{1}+x_{4})+u_{1}(t)$

$x_{3}'=x_{4}$

$x_{4}'=-a_{2}(x_{4}-x_{1})+u_{2}(t)$

অবশেষে ইনপুট ও আউটপুট দ্বয়ের সম্পর্ক প্রতিষ্ঠাকারী অবস্থান সমীকরনটি হবে:

$x'={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\-a_{0}&-a_{1}&0&-a_{0}\\0&0&0&1\\a_{2}&0&0&-a_{2}\end{bmatrix}}x+{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\0&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}x(t)$

ট্রান্সফার ফাংশন ম্যাট্রিক্স

যদি সিস্টেমটি রৈখিক এবং সময় নিরপেক্ষ (লিনিয়ার টাইম ইনভ্যারিয়েন্ট সিস্টেম, সংক্ষেপে এল টি আই) তাহলে আমরা সিস্টেমের ল্যাপ্লেস রূপান্তর করে অবস্থান সমীকরন নির্ণয় করতে পারি:

${\mathcal {L}}[X'(t)]={\mathcal {L}}[AX(t)]+{\mathcal {L}}[BU(t)]$

${\mathcal {L}}[Y(t)]={\mathcal {L}}[CX(t)]+{\mathcal {L}}[DU(t)]$

এবং উপরের সমীকরন থেকে আমরা পাই:

$s\mathbf {X} (s)-X(0)=A\mathbf {X} (s)+B\mathbf {U} (s)$

$\mathbf {Y} (s)=C\mathbf {X} (s)+D\mathbf {U} (s)$

যেখানে X(0) হল সময় একক এবং অবস্থান ভেক্টরের সাপেক্ষে সিস্টেমের প্রাথমিক শর্ত। যদি সিস্টেমটি স্থির অবস্থায় থাকে, তাহলে আমরা এই প্রাথমিক শর্তগুলি উপেক্ষা করতে পারি। কিন্তু অন্যান্য ক্ষেত্রে আমাদের প্রাথমিক শর্তের কথা খেয়াল রাখা উচিত।

আমরা অবস্থান সমীকরনের চলরাশিগুলিকে এভাবে বিছিন্ন করতে পারি:

$s\mathbf {X} (s)-A\mathbf {X} (s)=X(0)+B\mathbf {U} (s)$

তারপর X(s) -কে সমীকরন থেকে উৎপাদক হিসাবে নিস্কাশন করে আমরা পাই:

$\mathbf {[} sI-A]{X}(s)=X(0)+B\mathbf {U} (s)$

এবং তারপর আমরা উভয় পক্ষকে [sI - A] -এর বিপরীত ম্যাট্রিক্স দ্বারা গুন করে পাই:

$\mathbf {X} (s)=[sI-A]^{-1}X(0)+[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s)$

এখন, যদি আমরা এই X(s) -কে আউটপুট সমীকরণে বসাই, তাহলে একটি জটিল সমীকরণ পাই:

$\mathbf {Y} (s)=C([sI-A]^{-1}X(0)+[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s))+D\mathbf {U} (s)$

এবং আমরা ম্যাট্রিক্স C -কে উপরোক্ত সমীকরনে প্রয়োগ করলে পাই:

$\mathbf {Y} (s)=C[sI-A]^{-1}X(0)+C[sI-A]^{-1}B\mathbf {U} (s)+D\mathbf {U} (s)$

এখন, যদি সিস্টেমটি যদি স্থির হয় তখন X(0) -এর মান শূন্য, তাহলে এই সমীকরণের প্রথম পদটি শূন্য হয়ে যায়। এই ক্ষেত্রে, বাকি দুইটি পদ থেকে আমরা U(s) -কে নিস্কাশিত করে পাই:

$\mathbf {Y} (s)=(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$

এখন আমরা নিচের রূপান্তরটি করতে পারি যার থেকে আমরা ট্রান্সফার ফাংশন ম্যাট্রিক্স বা ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স H(s) নির্ণয় করতে পারি:

[ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স]

$C[sI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (s)$

এবং আউটপুট সমীকরণটি ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স অনুসারে পুনঃলিখন করা যায় নিম্নরূপে:

[ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স]

$\mathbf {Y} (s)=\mathbf {H} (s)\mathbf {U} (s)$

যদি Y(s) এবং X(s) 1 × 1 মাত্রার ভেক্টর রাশি হয় (একক ইনপুট-একক আউটপুট সিস্টেম), তাহলে:

$Y(s)=H(s)X(s)$

এখন, যেহেতু X(s) = X(s), এবং Y(s) = Y(s), তাহলে আমরা এটা বলতে পারি যে, H(s) এবং H(s) উভয়েই এক। এই দুটি কেবল একই সিস্টেম ও একই সমীকরণের দুটি ভিন্ন উপস্থাপন মাত্র।

মাত্রা

যদি আমাদের সিস্টেমে q সংখ্যাক ইনপুট, এবং r সংখ্যাক আউটপুট থাকে, তাহলে সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশন ম্যাট্রিক্সটিকে তার ক্রম ও মাত্রা অনুসারে; r × q -এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা যাবে।

ট্রান্স্ফার ফাংশনের সাথে সম্পর্ক

একক-ইনপুট একক-আউটপুট (সিংগল-ইনপুট সিংগল আউটপুট; সংক্ষেপে সিসো) ব্যাবস্থা বা সিস্টেমের ক্ষেত্রে ট্রান্স্ফার ফাংশন ম্যাট্রিক্সের বদলে কেবল একটি একক ট্রান্সফার ফাংশন ব্যাবহার করা হয় যা সিস্টেমের ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করে। সিসো সিস্টেমের প্রতিক্রিয়ার (রেসপন্সের) সমীকরনের ল্যাপ্লেস রূপান্তরনের মাধ্যমে আমরা এই ট্রান্সফার ফাংশনটি নির্নয় করতে পারি।

n সংখ্যাক ইনপুট এবং m সংখ্যাক আউটপুট সম্বলিত মিমো সিস্টেমের ক্ষেত্রে ট্রান্সফার ফাংশন ম্যাট্রিক্সটিকে তার ক্রম ও মাত্রা অনুসারে n × m -এর মাধ্যমে প্রকাশ করা যাবে। এই ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেক উপাদান সিস্টেমের প্রত্যেকটি ইনপুট এবং তৎসংলগ্ন প্রত্যেক আউটপুটের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করে।

এই ট্রান্স্ফার ফাংশনের অন্তরকলনের মাধ্যমে আমরা সিস্টেমের ল্যাপ্লেস গানিতিক বিশ্লেষণ প্রক্রিয়া এবং স্টেট-স্পেস বিশ্লেষন প্রক্রিয়ার মধ্যে সম্পর্ক প্রতিষ্ঠা করেছি। এছাড়াও আমরা দেখেছি ল্যাপ্লেস গানিতিক বিশ্লেষণ প্রক্রিয়া কিভাবে মিমো সিস্টেমের বিশ্লেষণে ব্যাবহার হতে পারে। পরবর্তী সকল আলোচনা সমূহের জন্য আমরা এখন থেকে সিস্টেমের ল্যাপ্লেস রূপান্তরন প্রক্রিয়া এবং সিস্টেমের স্টেট-স্পেস সমীকরনের মাধ্যমে বিশ্লেষন প্রক্রিয়ার উপর মনোনিবেশ করব।

শূন্য-দশা এবং শূন্য-ইনপুট

যদি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াকে নিম্নলিখিত সমীকরনের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:

$\mathbf {Y} (s)=C[sI-A]^{-1}\mathbf {x} (0)+(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$

আমরা উপরোক্ত সমীকরনটিকে দুটি ভাগে বিভক্ত করতে পারি:

• $C[sI-A]^{-1}X(0)$ -শূন্য ইনপুট প্রতিক্রিয়া
• $(C[sI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (s)$ - শূন্য দশা প্রতিক্রিয়া

যদি সিস্টেমে কোন প্রকার ইনপুট মান প্রেরন না করা হয় (শূন্য ইনপুট) তাহলে সিস্টেমের আউটপুট প্রতিক্রিয়া থেকে আমরা যা পাই সেটাই হল সিস্টেমের প্রাথমিক দশা বা ইনিশিয়াল সিস্টেম স্টেট। যদি সিস্টেমের কোন প্রাথমিক দশা না থাকে (শূন্য দশা) তাহলে সিস্টেমের আউটপুট সিস্টেমের ইনপুটকেই উপস্থাপন করে। কোন সিস্টেমের শূন্য ইনপুট এবং শূন্য দশার সম্মেলনের মাধ্যমে আমরা সিস্টেমের পূর্ন প্রতিক্রিয়া (কম্প্লিট রেসপন্স) পেতে পারি।

বিযুক্ত বা বিচ্ছিন্ন মিমো সিস্টেম

বিযুক্ত বা বিচ্ছিন্ন মিমো সিস্টেমের ক্ষেত্রে আমরা উপরোক্ত সমীকরনের ন্যায় একটি সমতুল্য সমীকরনের মাধ্যমে সিস্টেমের বিশ্লেষণ করতে পারি, শুধু এখানে X(0) -কে প্রাথমিক শর্ত হিসাবে ধরা হয়না এবং তার বদলে z নামক একটি অতিরিক্ত চলরাশি ব্যাবহার হয় :

$\mathbf {X} (z)=[zI-A]^{-1}zX(0)+[zI-A]^{-1}B\mathbf {U} (z)$

$\mathbf {Y} (z)=C[zI-A]^{-1}zX(0)+C[zI-A]^{-1}B\mathbf {U} (z)+D\mathbf {U} (z)$

যদি X(0) -এর মান শূন্য হয় তাহলে আমরা X(0) -কে উপেক্ষা করতে পারি, এবং আমরা জেড রূপান্তরন (জেড-ট্রান্সফর্ম) -এর মাধ্যমে আমরা বিছিন্ন মিমো সিস্টেমের জন্য একটি ফাংশন ম্যাট্রিক্সের উপস্থাপন করতে পারি:

$\mathbf {Y} (z)=(C[zI-A]^{-1}B+D)\mathbf {U} (z)$

[ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স]

$C[zI-A]^{-1}B+D=\mathbf {H} (z)$

[ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স বিশ্লেষণ]

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\mathbf {U} (z)$

উদাহরণ: ঘাত প্রতিক্রিয়া (পালস রেসপন্স)

সংখ্যাতত্ত্ব নির্ভর সিস্টেম (ডিজিটাল সিস্টেম) -এর বিশ্লেষনের ক্ষেত্রে, সিস্টেমের অবস্থা সমীকরন (স্টেট-স্পেস সমীকরন) থেকে সিস্টেমের ঘাত প্রতিক্রিয়া বা পালস রেস্পন্স নির্নয় করা অনেক ক্ষেত্রে বিশেষ সুবিধাজনক:

$x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]$

$y[k]=Cx[k]+Du[k]$

আমরা উপরিউক্ত দুটি সমীকরনকে একটি একক অবকল সমীকরনে রূপান্তর করতে পারি চারটি সহগ ম্যাট্রিক্স A, B, C এবং D -এর সাহায্যে। এর জন্য আমাদের সিস্টেমের ইনপুট চিহ্নিতকারী ভেক্টর U[n] -এর থেকে সিস্টেমের আউটপুট চিহ্নিতকারী ভেক্টর Y[n] -এর নির্নয় করতে হবে:

${\frac {Y(z)}{U(z)}}=H(z)=C(zI-A)^{-1}B+D$

অতএব সংখ্যাতত্ত্ব নির্ভর সিস্টেম (ডিজিটাল সিস্টেম) -এর প্রতিক্রিয়া নির্নয় করা যায় নিম্নলিখিত সমীকরনের মাধ্যমে:

$Y(z)=H(z)U(z)$

এখানে আমরা U(z) হল একটি বিশেষ ধরনের ইনপুট যাকে স্টেপ ইনপুট হিসাবে চিহ্নিত করা হয়, যা জেড রূপান্তরন প্রক্রিয়ার মাধ্যমে প্রাপ্ত করি:

$u(t)\Leftrightarrow U(z)={\frac {z}{z-1}}$

উপরের সমস্ত মান আমরা যদি পালস রেসপন্সের সমীকরনে প্রয়োগ করি তাহলে পাই:

$Y(z)=(C(zI-A)^{-1}B+D)\left({\frac {z}{z-1}}\right)$

$\mathbf {Y} (z)=\mathbf {H} (z)\left({\frac {z}{z-1}}\right)$

নিয়ন্ত্রকের নকশা গঠন

মিমো সিস্টেমের জন্য নিয়ন্ত্রক বা কন্ট্রোলারের নকশা নির্মান সিসো সিস্টেমের তুলনায় অনেক বেশি জটিল। কারণ এতে একাধিক ইনপুট থাকায় অ্যাকারম্যানের মতো সাধারণ স্টেট ফিডব্যাক পদ্ধতি প্রয়োগ করা যায় না। ফলে ফিডব্যাক ম্যাট্রিক্স K -এর মান নির্দিষ্ট নয় — একাধিক সমাধান থাকতে পারে।

নিয়ন্ত্রকের নকশা গঠন সম্পর্কিত বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/MIMO সিস্টেমের জন্য স্বত্বমান নির্ধারণ -এই অনুচ্ছেদে আলোচনা করা হয়েছে।

← নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/মানক ফর্ম

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/বাস্তবায়ন →