নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্যাম্পলড ডেটা সিস্টেম

আদর্শ স্যাম্পলার

এই অধ্যায়ে, আমরা আদর্শ স্যাম্পলার এবং স্টার রূপান্তর পরিচয় করিয়ে দেব। প্রথমে, আমাদের গুণোত্তর ধারা অসীম যোগফলের ধারণা পুনরায় স্মরণ করা প্রয়োজন। এই যোগফলের ফলাফল স্টার রূপান্তর হিসাব করতে অত্যন্ত উপকারী হবে।

ধরা যাক আমাদের একটি স্যাম্পলার যন্ত্র আছে, যা প্রতি T সেকেন্ডে ইনপুট সিগনালের বর্তমান মানটি পাঠ করে।স্যাম্পলারটি তখন পরবর্তী স্যাম্পল নেওয়ার আগে সেই মানটিকে আউটপুটে T সেকেন্ড ধরে রাখে। এই সিস্টেমে একটি সাধারণ ইনপুট ধরা হয়েছে f(t)। স্যাম্পলড আউটপুটটি নির্দেশ করা হবে f*(t) দ্বারা। তখন এই দুইটি সংকেতের মধ্যে নিচের সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হয়:

$f^{,*}(t)=f(0){\big (}\mathrm {u} (t,-,0),-,\mathrm {u} (t,-,T){\big )},+,f(T){\big (}\mathrm {u} (t,-,T),-,\mathrm {u} (t,-,2T){\big )},+;\cdots ;+,f(nT){\big (}\mathrm {u} (t,-,nT),-,\mathrm {u} (t,-,(n,+,1)T){\big )},+;\cdots$

খেয়াল করুন, t = 1.5 T সময়ে f^*-এর মানটি t = T সময়ের মানের সমান। এই সম্পর্কটি যেকোনো ভগ্নাংশ মানের জন্য কাজ করে।

এই অসীম ক্রমটির লাপ্লাস রূপান্তর নেওয়ার মাধ্যমে আমরা একটি বিশেষ ফলাফল পাই, যাকে স্টার রূপান্তরবলা হয়। কিছু পাঠ্যে এটিকে "তারকাচিহ্নিত রূপান্তর"" নামেও উল্লেখ করা হয়।

গুণোত্তর ধারা

স্টার রূপান্তর বা Z-রূপান্তরের আলোচনা শুরু করার আগে আমাদের জন্য উপকারী হবে অসীম ধারার যোগফল নির্ণয়ের পেছনের গাণিতিক পটভূমি পর্যালোচনা করা। বিশেষ করে, এই রূপান্তরগুলোর প্রকৃতির কারণে আমরা গুণোত্তর ধারার যোগফল নির্ণয়ের পদ্ধতিগুলোর দিকে নজর দেব।

একটি গুণোত্তর ধারা হলো এমন একটি মানের যোগফল যার ঘাত ধাপে ধাপে বাড়ে, যেমন:

$\sum _{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n},$

উপরের সমীকরণে লক্ষ্য করুন, প্রতিটি পদে একটি গুণক a রয়েছে। আমরা চাইলে এই গুণকটি বাইরে আনা যেতে পারে, যদি এটি সমীকরণকে সহজ করে তোলে:

$a\sum _{k=0}^{n}r^{k}=a\left(r^{0}+r^{1}+r^{2}+r^{3}+\cdots +r^{n},\right)$

এই ফর্মুলাগুলোর যেকোনো একটিতে একটি অসীম ধারা পেলে আমরা নিচের সমীকরণ ব্যবহার করে এর মোট যোগফল সহজেই নির্ণয় করতে পারি:

$a\sum _{k=0}^{n}r^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}$

ধরা যাক, আমরা একটি অশূন্য সংখ্যা থেকে আমাদের ধারা শুরু করছি। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমরা m = 1 বা m = 100 থেকে শুরু করি, তাহলে দেখা যাবে:

$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}=ar^{m}+ar^{m+1}+ar^{m+2}+ar^{m+3}+\cdots +ar^{n},$

আমরা এই ধারার যোগফলকে সাধারণীকরণ করতে পারি এভাবে:

[গুণোত্তর ধারা]

 :$\sum _{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}$

এখন, এই ফলাফলের পর আমাদের উদ্বেগের বিষয় হলো এই ধারাকে কীভাবে সংকোচনযোগ্য করা যায়। উপরোক্ত যোগফলে আমরা জানি n অসীমের দিকে ধাবিত হচ্ছে (কারণ এটি একটি অসীম যোগফল)। অতএব, যেকোনো পদে n থাকলে সেটি আমাদের জন্য চিন্তার বিষয়। যদি আমরা উপরোক্ত সমীকরণটি পরীক্ষা করি।তবে দেখি যে শুধুমাত্র একটি পদেই n আছে এবং সেখান থেকেই আমরা গুণোত্তর ধারার জন্য একটি মৌলিক অসমতা নির্ধারণ করতে পারি:

$r^{n+1}<\infty$

এই সমীকরণটি সন্তুষ্ট করতে হলে নিচের শর্তটি পূরণ করতে হবে:

[জ্যামিতিক কনভারজেন্স কন্ডিশন]

 :$r\leq 1$

সুতরাং, আমরা চূড়ান্ত ফলাফলে উপনীত হই: গুণোত্তর ধারা কেবল তখনই সংকোচন করে যদি এবং কেবল যদি r এর মান ১-এর চেয়ে ছোট হয়।

স্টার রূপান্তর

স্টার রূপান্তর নিচেরভাবে সংজ্ঞায়িত:

[স্টার ট্রান্সফর্ম]

 :$F^{(}s)={\mathcal {L}}^{[}f(t)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)e^{-skT}$

স্টার রূপান্তর স্যাম্পলিং সময়কাল T-এর উপর নির্ভরশীল। স্যাম্পলিং ফ্রিকোয়েন্সি পরিবর্তিত হলে একই সংকেতের জন্য স্টার রূপান্তর ভিন্ন হতে পারে। স্টার রূপান্তর একটি অসীম ধারা দ্বারা সংজ্ঞায়িত হওয়ায় এটি লক্ষণীয় যে, কিছু ইনপুটের জন্য স্টার রূপান্তর সংকোচন নাও করতে পারে। অর্থাৎ, কিছু ফাংশনের জন্য বৈধ স্টার রূপান্তর নেই। এছাড়াও, স্টার রূপান্তর কেবল একটি নির্দিষ্ট সংকোচনের অঞ্চল-এর মধ্যেই বৈধ হতে পারে। আমরা এই বিষয়টি আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব Z-রূপান্তর অংশে।

স্টার ↔ লাপ্লাস

অধিক তথ্যের জন্য রেজিডু বিষয়ক অধ্যায় দেখুন:
জটিল বিশ্লেষণ/অবশিষ্টাংশ তত্ত্ব

লাপ্লাস রূপান্তর এবং স্টার রূপান্তর পরস্পর সম্পর্কিত, কারণ আমরা সময় ডোমেইনের একটি সংকেতে লাপ্লাস রূপান্তর প্রয়োগ করে স্টার রূপান্তর পেয়েছি। তবে, এই দুইটি রূপান্তরের মধ্যে রূপান্তর করার পদ্ধতি কিছুটা জটিল হতে পারে। একটি লাপ্লাস ফাংশনের স্টার রূপান্তর পেতে হলে, আমাদের রেজিডু গ্রহণ করতে হয়, এইভাবে:

$X^{*}(s)=\sum {\bigg [}{\text{এর অবশিষ্টাংশ}}X(\lambda ){\frac {1}{1-e^{-T(s-\lambda )}}}{\bigg ]}_{{\text{ই এর মেরুতে}}(\lambda )}$

এই গণিত অনেক পাঠকের জন্য কঠিন হতে পারে, তাই আমরা একটি বিকল্প পদ্ধতিও ব্যবহার করতে পারি:

$X^{*}(s)={\frac {1}{T}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }X(s+jn\omega _{s})+{\frac {x(0)}{2}}$

তবে, এই দুটি পদ্ধতিই খুব সহজ নয়, এবং এই কারণে আমরা এই বইয়ে লাপ্লাস রূপান্তর এবং স্টার রূপান্তরের সম্পর্ক নিয়ে শুধু ন্যূনতম আলোচনা করব। তবে এটি জেনে রাখাই যথেষ্ট যে, লাপ্লাস রূপান্তর এবং স্টার রূপান্তর গাণিতিকভাবে সম্পর্কিত।

স্টার + লাপ্লাস

কিছু সিস্টেমে একসাথে অবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন উপাদান থাকতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, যদি আমাদের ফিডব্যাক লুপে একটি অ্যানালগ-টু-ডিজিটাল রূপান্তরকারী, একটি কম্পিউটার (প্রসেসিংয়ের জন্য) এবং একটি ডিজিটাল-টু-অ্যানালগ রূপান্তরকারী থাকে। এই ক্ষেত্রে, কম্পিউটার ডিজিটাল সংকেতে কাজ করছে।কিন্তু সিস্টেমের বাকি অংশ অবিচ্ছিন্ন সংকেতে কাজ করছে। এই ধরনের ক্ষেত্রে স্টার রূপান্তর এবং লাপ্লাস রূপান্তরের মধ্যে নিচের মত ইন্টারঅ্যাকশন হতে পারে:

ধরা যাক: :$Y(s)=X^{(}s)H(s)$ তাহলে: :$Y^{(}s)=X^{(}s)H^{(}s)$

ধরা যাক: :$Y(s)=X(s)H(s)$ তাহলে: :$Y^{(}s)={\overline {XH}}^{(}s)$ :$Y^{(}s)\neq X^{(}s)H^{*}(s)$

এখানে ${\overline {XH}}^{*}(s)$ হল X(s)H(s)-এর স্টার রূপান্তর।

স্টার রূপান্তরের সংকোচন

স্টার রূপান্তর একটি অসীম ধারা হিসেবে সংজ্ঞায়িত, তাই এটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ যে ধারাটি সংকোচন করে (অর্থাৎ, অসীম না হয়ে একটি নির্দিষ্ট মানে পৌঁছে), নইলে ফলাফল অযৌক্তিক হবে। যেহেতু স্টার রূপান্তর অনেক ইনপুট সিগন্যালের ক্ষেত্রে একটি গুণোত্তর ধারা’ তাই আমরা গুণোত্তর ধারার বিশ্লেষণ ব্যবহার করে দেখাতে পারি এই ধারাটি কখন সংকোচন করে এবং কী শর্তে করে। স্টার রূপান্তরের ওপর যে শর্তসমূহ আরোপ করতে হয় যাতে এটি সংকোচন করে, সেগুলোকেই বলা হয় এই রূপান্তরের সংকোচনের অঞ্চল(ROC)। সাধারণত একটি রূপান্তরের সঙ্গে তার ROC নির্দিষ্টভাবে উল্লেখ করা উচিৎ।

Z-রূপান্তর

ধরা যাক, আমাদের একটি বিযুক্ত ডেটা সেট আছে যা নির্দিষ্ট বিরতিতে নমুনায়িত হয়েছে। আমরা এই সেটটিকে x[n] বলে অভিহিত করতে পারি:

x[n] = [ x[0] x[1] x[2] x[3] x[4] ... ]

এটিকে দ্বিপার্শ্ব Z-রূপান্তর নামেও পরিচিত। আমরা এই বইয়ে কেবল এই সংস্করণটিই আলোচনা করব

আমরা এই সেট নিয়ে সহজে কাজ করার জন্য একটি বিশেষ রূপান্তর, যার নাম Z-রূপান্তর, ব্যবহার করতে পারি:

[Z রূপান্তর]

$X(z)={\mathcal {Z}}\left\{x[n]\right\}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

Z-রূপান্তরের গুণাবলী এবং সাধারণ রূপান্তরের একটি সারণি পাওয়া যাবে:
পরিশিষ্টে

স্টার রূপান্তরের মতো Z রূপান্তরও একটি অসীম ধারার মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত। এবং তাই এর অভিসরণ সম্পর্কে আমাদের চিন্তা করতে হয়। প্রকৃতপক্ষে, এমন অনেক উদাহরণ আছে যেখানে Z-রূপান্তর একই হলেও তাদের অভিসরণের ক্ষেত্র (ROC) ভিন্ন হয়। অতএব, যখন Z-রূপান্তর নিয়ে আলোচনা করা হয়।তখন ROC অন্তর্ভুক্ত করা আবশ্যক।নাহলে গুরুত্বপূর্ণ তথ্য অনুপস্থিত থাকবে।

Z স্থানান্তর ফাংশনসমূহ

লাপ্লাস রূপান্তরের মতো, Z-ডোমেইনে আমরা সিস্টেমের ইনপুট-আউটপুট সম্পর্ক ব্যবহার করে একটি স্থানান্তর ফাংশন সংজ্ঞায়িত করতে পারি।

Z-ডোমেইনে স্থানান্তর ফাংশন S-ডোমেইনের স্থানান্তর ফাংশনের মতোই কাজ করে:

$H(z)={\frac {Y(z)}{X(z)}}$

${\mathcal {Z}}{h[n]}=H(z)$

একইভাবে, h[n] যা ডিজিটাল সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া নির্দেশ করে, সেটিকে সিস্টেমের ইমপালস প্রতিক্রিয়া বলা হয়। তবে এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে, অ্যানালগ ও ডিজিটাল ডোমেইনে "ইমপালস"-এর সংজ্ঞা ভিন্ন।

ইনভার্স Z-রূপান্তর

ইনভার্স Z রূপান্তর নিম্নলিখিত পথ অবলম্বন করে সংজ্ঞায়িত:

[ইনভার্স Z রূপান্তর]

 :$x[n]=Z^{-1}{X(z)}={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz\$

যেখানে C একটি ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী বদ্ধ পথ যা উৎসবিন্দুকে ঘিরে এবং পুরোপুরি অভিসরণের ক্ষেত্রে (ROC)-এর মধ্যে অবস্থিত। পথ C-কে অবশ্যই X(z)-এর সব পোল ঘিরে থাকতে হবে।

কমপ্লেক্স ইনটিগ্রালের বিষয়ে আরও তথ্য পাওয়া যাবে প্রকৌশল বিশ্লেষণ বইয়ে।

এই গাণিতিক বিশ্লেষণ এই বইয়ের অন্যান্য অনেক বিষয়ের তুলনায় অপেক্ষাকৃত উন্নত।এবং তাই এই পদ্ধতিতে ইনভার্স Z-রূপান্তর সমাধান করার ক্ষেত্রে আরও আলোচনা করা হবে না। Z-রূপান্তর জোড়া সাধারণত রেফারেন্স টেক্সটগুলোতে ছকে প্রদান করা হয়। তাই অনেক পাঠকের জন্য এটি সমাধানের প্রাথমিক পদ্ধতি হিসেবে বিবেচিত হতে পারে। পরিশিষ্টে Z-রূপান্তরের বেশ কিছু জোড়া টেবিল আকারে প্রদান করা হয়েছে।

চূড়ান্ত মান উপপাদ্য

লাপ্লাস রূপান্তরের মতো Z রূপান্তরেরও একটি সংশ্লিষ্ট চূড়ান্ত মান উপপাদ্য আছে:

[চূড়ান্ত মূল্য উপপাদ্য(Z)]

 :$\lim _{n\to \infty }x[n]=\lim _{z\to 1}(z-1)X(z)$

এই সমীকরণটি একটি সিস্টেমের স্টেডি-স্টেট প্রতিক্রিয়া নির্ধারণ করতে এবং সিস্টেমের স্টেডি-স্টেট ত্রুটি নির্ণয় করতেও ব্যবহার করা যায়।

স্টার ↔ Z

Z রূপান্তর স্টার রূপান্তরের সাথে নিম্নলিখিত চলকের পরিবর্তনের মাধ্যমে সম্পর্কিত:

$z=e^{sT}$

লক্ষ্য করুন, Z ডোমেইনে আমরা নমুনা গ্রহণের সময়কাল সংক্রান্ত কোনো তথ্য সংরক্ষণ করি না। তাই একটি স্টার রূপান্তরকৃত সংকেত থেকে Z ডোমেইনে রূপান্তর করলে সেই তথ্য হারিয়ে যায়। তবে, স্টার ডোমেইনে ফিরে যাওয়ার সময় যদি T এর মান এখনও উপলব্ধ থাকে।তবে তা সমীকরণে পুনঃপ্রবেশ করানো যেতে পারে।

আরও একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, Z রূপান্তর দ্বিখণ্ডিত, যেখানে স্টার রূপান্তর একখণ্ডিত।

এর অর্থ হলো, আমরা কেবলমাত্র তখনই এই দুই রূপান্তরের মধ্যে রূপান্তর করতে পারি যখন নমুনাযুক্ত সংকেতটি n < 0 এর জন্য শূন্য হয়।

এই দুই রূপান্তর এত ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত যে বলা যায় Z রূপান্তর স্টার রূপান্তরের একটি সহজ নোটেশন মাত্র। এই যুক্তিতে, এই বইয়ে শুধুমাত্র স্টার রূপান্তর ব্যবহার করেও সব সমস্যার সমাধান করা সম্ভব হতো। Z রূপান্তরের অতিরিক্ত নোটেশনের ঝামেলা এড়ানো যেত। এর একটি সাধারণ উদাহরণ হলো রিচার্ড হ্যামিং-এর বইবিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীদের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি। যেখানে সব সমস্যায় ফুরিয়ার রূপান্তর ব্যবহৃত হয়েছে এবং ল্যাপ্লাস, স্টার ও Z-রূপান্তরকে শুধুমাত্র নোটেশনের পার্থক্য হিসেবে বিবেচনা করা হয়েছে। তবে, কন্ট্রোল সিস্টেম উইকিবুক এর দৃষ্টিভঙ্গি হলো যে, বিভিন্ন রূপান্তরের সঠিক প্রয়োগ সমস্যাগুলোকে আরও সহজ করে তুলতে পারে। এবং তাই আমরা একটি বহু-রূপান্তর পদ্ধতি অনুসরণ করব।

Z প্লেন

নোট:
ছোট হাতের z হল চলকের নাম, এবং বড় হাতের Z হল রূপান্তর ও প্লেনের নাম।

z একটি জটিল চলক যার বাস্তব অংশ এবং কাল্পনিক অংশ থাকে। অর্থাৎ, আমরা z কে এইভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$z=\operatorname {Re} (z)+j\operatorname {Im} (z)$

যেহেতু z কে দুইটি স্বতন্ত্র উপাদানে ভাঙা যায়, তাই z চলককে Z-প্লেন এ চিত্রায়িত করাটা অনেক সময় যৌক্তিক হয়। Z-প্লেনে অনুভূমিক অক্ষটি হলো z এর বাস্তব অংশ। এবং উল্লম্ব অক্ষটি হলো এর কাল্পনিক অংশের মান।

আরও লক্ষ্য করুন যে, যদি আমরা z কে স্টার রূপান্তরের সম্পর্কের মাধ্যমে সংজ্ঞায়িত করি:

$z=e^{sT}$

তবে আমরা s কে বাস্তব ও কাল্পনিক অংশে বিভক্ত করতে পারি:

$s=\sigma +j\omega$

এই s মানটি আমরা z-এর সমীকরণে বসাতে পারি:

$z=e^{(\sigma +j\omega )T}=e^{\sigma T}e^{j\omega T}$

ঐলারের সূত্র ব্যবহার করে আমরা এই জটিল সূচকীয় রূপকে আলাদা করতে পারি:

$z=e^{\sigma T}(\cos(\omega T)+j\sin(\omega T))$

যদি আমরা দুটি নতুন চলক সংজ্ঞায়িত করি, M এবং φ:

$M=e^{\sigma T}$

$\phi =\omega T$

তবে আমরা z-কে M ও φ এর পদে লিখতে পারি। এটি ঐলারের সমীকরণ:

$z=M\cos(\phi )+jM\sin(\phi )$

যা স্পষ্টভাবে z এর একটি ধ্রুবক রৈখিক কৌণিক রূপ। যেখানে ধ্রুবকের মান (M) s এর বাস্তব অংশের উপর নির্ভরশীল, এবং কোণ (φ) নির্ভর করে s এর কাল্পনিক অংশের উপর।

অভিসরণের অঞ্চল

Z-রূপান্তরের অভিসরণের অঞ্চল (ROC) শেখানোর জন্য আমরা একটি ছোট উদাহরণ ব্যবহার করব।

আমাদের একটি বিচ্ছিন্ন ধনাত্মক ক্ষয়মান সূচকীয় ধারা দেওয়া আছে:

$x[n]=e^{-2n}u[n]$

এখন, আমরা এই ফাংশনটিকে Z রূপান্তরের সমীকরণে বসাতে পারি:

$X(z)={\mathcal {Z}}[x[n]]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-2n}u[n]z^{-n}$

উল্লেখযোগ্য যে, আমরা ইউনিট স্টেপ ফাংশনটি বাদ দিতে পারি, এবং সমষ্টির সীমা পরিবর্তন করতে পারি:

$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-2n}z^{-n}$

এর কারণ, n < 0 এর জন্য এই ধারা শূন্য। এখন যদি আমরা n এর পদগুলো একত্র করি, তবে পাই:

$X(z)=\sum _{n=0}^{\infty }(e^{2}z)^{-n}$

এই অবস্থায়, আমরা এটিকে গুণোত্তর ধারা হিসেবে পুনঃলিখতে পারি:

$a=1$

$r=(e^{2}z)^{-1}$

এবং অবশেষে, আমরা গুণোত্তর ধারার সূত্র ব্যবহার করে চূড়ান্ত মান পাই:

$a\sum _{k=0}^{n}r^{k}=a{\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}=1{\frac {1-((e^{2}z)^{-1})^{n+1}}{1-(e^{2}z)^{-1}}}$

আবার, আমরা জানি যে ধারাটির অভিসরণ ঘটার জন্য, r এর মান অবশ্যই ১-এর কম হতে হবে:

$|(e^{2}z)^{-1}|=\left|{\frac {1}{e^{2}z}}\right|\leq 1$

$|e^{2}z|\geq 1$

অতএব, আমরা পাই এই Z রূপান্তরের অভিসরণের অঞ্চল:

$|z|\geq {\frac {1}{e^{2}}}$

ল্যাপ্লাস ↔ Z

ল্যাপ্লাস রূপান্তর ও Z রূপান্তরের মধ্যে সরাসরি রূপান্তর করার কোনো সহজ পদ্ধতি নেই। বেশিরভাগ রূপান্তর পদ্ধতি মূল সমীকরণের কিছু অংশ সঠিকভাবে প্রতিফলিত করে এবং কিছু অংশ বিকৃত করে। এই দুটি রূপান্তরের মধ্যে মানচিত্র তৈরির কিছু গুরুত্বপূর্ণ কৌশলের জন্য দেখুন জেড ট্রান্সফর্ম ম্যাপিংস পরিশিষ্ট।

তবে কিছু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় এখানে আলোচনা করতে হবে। প্রথমত, ল্যাপ্লাস ডোমেইন ও Z ডোমেইনের মধ্যে রূপান্তর রৈখিক নয়, যার ফলে কিছু সমস্যার উদ্ভব হয়:

1. ${\mathcal {L}}[G(z)H(z)]\neq G(s)H(s)$ #${\mathcal {Z}}[G(s)H(s)]\neq G(z)H(z)$

এর মানে, এক ডোমেইনে যদি দুটি ফাংশন গুণ করা হয়। অন্য ডোমেইনে সেগুলোর পৃথক রূপান্তর গুণ করে ফল পাওয়া যায় না। বরং, আমাদের পুরো গুণফলটির রূপান্তর নিতে হয়। এটি প্রকাশের জন্য আমরা নিম্নরূপ চিহ্ন ব্যবহার করি:

${\mathcal {Z}}[G(s)H(s)]={\overline {GH}}(z)$

এখানে আমরা গুণিত ফাংশনের উপর একটি অনুভূমিক দাগ দিই, যাতে বোঝানো যায় যে আমরা পুরো গুণফলের রূপান্তর নিয়েছি, পৃথক ফাংশনের নয়। তবে, যদি আমাদের ব্যবস্থায় একটি আদর্শ স্যাম্পলার থাকে। তার জন্য আমরা একটি সহজ সম্পর্ক দেখাতে পারি। যদি আমাদের নিম্নরূপ ফর্ম্যাট থাকে:

$Y(s)=X^{*}(s)H(s)$

তবে আমরা সমস্তকিছু স্টার রূপান্তরে প্রকাশ করতে পারি:

$Y^{(}s)=X^{(}s)H^{*}(s)$

এবং একবার স্টার ডোমেইনে পৌঁছালে, আমরা সরাসরি পরিবর্তন করে Z ডোমেইনে যেতে পারি:

$Y^{(}s)=X^{(}s)H^{*}(s)\to Y(z)=X(z)H(z)$

লক্ষ্য করুন, আমরা কেবলমাত্র এই সমতুল্যতা করতে পারি যদি ব্যবস্থাটিতে একটি আদর্শ স্যাম্পলার থাকে। গুণিত একটি পদ স্টার ডোমেইনে থাকে।

উদাহরণ

ধরুন, আমাদের কাছে ল্যাপ্লাস ডোমেইনে নিম্নলিখিত সমীকরণ আছে:

$Y(s)=A^{*}(s)B(s)+C(s)D(s)$

এবং যেহেতু আমাদের ব্যবস্থায় একটি ডিসক্রিট স্যাম্পলার রয়েছে, তাই আমরা এটি Z ডোমেইনে বিশ্লেষণ করতে চাই। আমরা এই সমীকরণটিকে দুইটি আলাদা পদে ভাগ করতে পারি এবং প্রতিটি রূপান্তর করতে পারি:

${\mathcal {Z}}[A^{(}s)B(s)]\to {\mathcal {Z}}[A^{(}s)B^{*}(s)]=A(z)B(z)$

এবং

${\mathcal {Z}}[C(s)D(s)]={\overline {CD}}(z)$

এবং যখন আমরা এগুলোকে একত্র করি, তখন পাই:

$Y(z)=A(z)B(z)+{\overline {CD}}(z)$

Z ↔ ফুরিয়ার

চলরাশির রূপান্তরের মাধ্যমে, আমরা স্টার রূপান্তরকে ফুরিয়ার রূপান্তরের সাথেও সম্পর্কিত করতে পারি:

$e^{sT}=e^{j\omega }$ :$e^{(\sigma +j\omega )T}=e^{j\omega }$

যদি আমরা ধরে নিই যে T = 1, তাহলে আমরা দুটি সমীকরণকে একত্রিত করতে পারি s-এর বাস্তব অংশকে শূন্য ধরে। লক্ষ্য করুন, লাপ্লাস ও ফুরিয়ার রূপান্তরের মধ্যে যে সম্পর্ক রয়েছে। সেটি এখানেও প্রতিফলিত হয়েছে—যেখানে ফুরিয়ার রূপান্তর হলো লাপ্লাস রূপান্তরের একটি রূপ। যেখানে রূপান্তর চলরাশির বাস্তব অংশ নেই।

ফুরিয়ার রূপান্তরের কিছু সংখ্যক বিচ্ছিন্ন-সময় রূপ রয়েছে, যেগুলো এই বইয়ে আলোচনা করা হয়নি। এই রূপান্তরগুলোর বিস্তারিত জানতে দেখুন ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং।

পুনর্গঠন

সবচেয়ে সহজ পুনর্গঠন বর্তনীসমূহকে বলা হয় "হোল্ডিং সার্কিট"। যখন একটি সংকেত স্টার রূপান্তরের মাধ্যমে রূপান্তরিত হয় (একটি আদর্শ স্যাম্পলার দিয়ে পার করা হয়)। তখন এই হোল্ড পদ্ধতিগুলোর (বা সমতুল্য কোনো পদ্ধতির) মাধ্যমে এই সংকেতকে "পুনর্গঠন" করতে হয় । এতে এটি লাপ্লাস ডোমেইনে বিশ্লেষণযোগ্য হয়।

ধরা যাক আমাদের কাছে একটি স্যাম্পলকৃত সংকেত রয়েছে। যেটিকে স্টার রূপান্তর $X^{*}(s)$ দ্বারা প্রকাশ করা হয়েছে। আমরা চাই এই সংকেতকে পুনর্গঠন করে একটি ধারাবাহিক-সময় তরঙ্গে রূপান্তর করতে। এতে আমরা এটি লাপ্লাস রূপান্তরের সাহায্যে বিশ্লেষণ করতে পারব।

ধরা যাক আমাদের কাছে ইনপুট সংকেতের স্যাম্পল। একটি পুনর্গঠন বর্তনী G(s), এবং একটি আউটপুট রয়েছে যার লাপ্লাস রূপান্তর Y(s) দ্বারা প্রকাশিত। আমরা সম্পর্কটি নিচের মত করে দেখাতে পারি:

$Y(s)=X^{*}(s)G(s)$

পুনর্গঠন বর্তনীসমূহ আসলে শারীরিক ডিভাইস। যেগুলোর মাধ্যমে আমরা একটি ডিজিটাল স্যাম্পলকৃত সংকেতকে ধারাবাহিক সময় ডোমেইনে রূপান্তর করতে পারি, যাতে আউটপুট সংকেতের লাপ্লাস রূপান্তর গ্রহণযোগ্য হয়।

শূন্য-ক্রম হোল্ড

শূন্য-ক্রম হোল্ডের ইমপালস প্রতিক্রিয়া

একটি শূন্য-ক্রম হোল্ড বর্তনী এমন একটি বর্তনী। এটি মূলত স্যাম্পলিং প্রক্রিয়াটিকে উল্টে দেয়: স্যাম্পলকৃত সংকেতের মানকে t সময়ে আউটপুটে ধরে রাখে T সময় পর্যন্ত। ফলে, এই হোল্ড বর্তনীর আউটপুট তরঙ্গরূপ মূল তরঙ্গরূপের একটি সিঁড়ি-আকৃতির প্রক্ষেপণ হিসেবে দেখা যায়।

লাপ্লাস ডোমেইনে, শূন্য-ক্রম হোল্ড বর্তনীর স্থানান্তর ফাংশন নিচের রূপে প্রকাশ করা যায়:

[শূন্য-ক্রম হোল্ড]

 :$G_{h0}={\frac {1-e^{-Ts}}{s}}$

শূন্য-ক্রম হোল্ড সবচেয়ে সহজ পুনর্গঠন বর্তনী এবং (এই পৃষ্ঠায় বর্ণিত অন্যান্য বর্তনীর মতই) ডিজিটাল থেকে অ্যানালগ রূপান্তরের সময় কোনো বিলম্ব ধরে নেয় না।

একটি ধারাবাহিক ইনপুট সংকেত (ধূসর) এবং শূন্য-ক্রম হোল্ড সহ স্যাম্পলকৃত সংকেত (লাল)

প্রথম-ক্রম হোল্ড

প্রথম-ক্রম হোল্ডের ইমপালস প্রতিক্রিয়া

শূন্য-ক্রম হোল্ড একটি ধাপে ধাপে আউটপুট তরঙ্গ তৈরি করে।কিন্তু সব সময় এটি শ্রেষ্ঠ উপায় নাও হতে পারে। পরিবর্তে, প্রথম-ক্রম হোল্ড বর্তনী তরঙ্গরূপের ডেরিভেটিভ গ্রহণ করে t সময়ে।সেটির ভিত্তিতে অনুমান করে যে আউটপুট তরঙ্গ (t + T) সময়ে কোথায় থাকবে। বর্তনীটি এরপর বর্তমান অবস্থান থেকে ভবিষ্যৎ অনুমিত অবস্থান পর্যন্ত একটি সোজা রেখা আঁকে, যা আউটপুট তরঙ্গরূপ হিসাবে দেখা যায়।

[First Order Hold]

 :$G_{h1}={\frac {1+Ts}{T}}\left[{\frac {1-e^{-Ts}}{s}}\right]^{2}$

তবে খেয়াল রাখতে হবে, সংকেতের পরবর্তী মান সম্ভাব্যতই এই অনুমানকৃত মানের সমান হবে না।ফলে প্রথম-ক্রম হোল্ডে কিছু সংখ্যক অপ্রবাহতা দেখা দিতে পারে।

একটি ইনপুট সংকেত (ধূসর) এবং প্রথম-ক্রম হোল্ড বর্তনীর আউটপুট (লাল)

ভগ্নাংশ-ক্রম হোল্ড

শূন্য-ক্রম হোল্ড বর্তনী বর্তমান মানকে সম্পূর্ণ বিট সময়ে ধরে রাখে। প্রথম-ক্রম হোল্ড তরঙ্গরূপের ডেরিভেটিভ ব্যবহার করে পরবর্তী মান অনুমান করে ফলে র‍্যাম্প আকারে আউটপুট তৈরি করে। কিন্তু কখনো কখনো এই দুই পদ্ধতির কোনোটিই পছন্দসই নয়। এই ক্ষেত্রে আমরা একটি আপস পদ্ধতি ব্যবহার করি: ভগ্নাংশ-ক্রম হোল্ড। এই বর্তনীটি উভয় হোল্ড পদ্ধতির সংমিশ্রণ হিসেবে কাজ করে এবং একটি ভগ্নাংশ সংখ্যা k কে আর্গুমেন্ট হিসেবে গ্রহণ করে। লক্ষ্য করুন, k এর মান ০ থেকে ১-এর মধ্যে হতে হবে যাতে বর্তনীটি সঠিকভাবে কাজ করে।

[ভগ্নাংশ ক্রম স্থির রাখা]

 :$G_{hk}=(1-ke^{-Ts}){\frac {1-e^{-Ts}}{s}}+{\frac {k}{Ts^{2}}}(1-e^{-Ts})^{2}$

এই বর্তনী অন্যান্য হোল্ড বর্তনীর তুলনায় বেশি জটিল। তবে যদি এটি থেকে উন্নত কার্যকারিতা পাওয়া যায়। তাহলে এই অতিরিক্ত জটিলতাও গ্রহণযোগ্য।

অন্যান্য পুনর্গঠন বর্তনী

রৈখিক আনুমানিক বর্তনীর ইমপালস প্রতিক্রিয়া

অন্য একটি ব্যবহৃত বর্তনী হলো রৈখিক আনুমানিকরণ বর্তনী।

একটি ইনপুট সংকেত (ধূসর) এবং একটি রৈখিক আনুমানিক বর্তনীর আউটপুট সংকেত

আরও পড়ুন

• হ্যামিং, রিচার্ড। "বিজ্ঞানী এবং প্রকৌশলীদের জন্য সংখ্যাসূচক পদ্ধতি" আইএসবিএন 0486652416 *ডিজিটাল সিগন্যাল প্রসেসিং/জেড ট্রান্সফর্ম *জটিল বিশ্লেষণ/অবশিষ্টাংশ তত্ত্ব *অ্যানালগ এবং ডিজিটাল রূপান্তর