নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্থিতিশীলতা

স্থিতিশীলতা

যখন একটি ব্যবস্থা অস্থিতিশীল, তখন ব্যবস্থার আউটপুট অসীম হতে পারে, যদিও সিস্টেমে ইনপুট ছিল সসীম। এর ফলে বেশ কিছু বাস্তব সমস্যা সৃষ্টি হয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি রোবট আর্ম কন্ট্রোলার যা অস্থিতিশীল, তা রোবটকে বিপজ্জনকভাবে চলাচল করতে পারে। এছাড়া, অস্থিতিশীল সিস্টেমগুলি প্রায়শই কিছু শারীরিক ক্ষতির সম্মুখীন হয়, যা পরবর্তীতে ব্যয়বহুল হতে পারে। তবে, অনেক সিস্টেম স্বভাবিকভাবে অস্থিতিশীল হয় - যেমন একটি ফাইটার জেট বা একটি রকেট যা লঞ্চের সময় থাকে, সেগুলি স্বাভাবিক অস্থিতিশীল সিস্টেমের উদাহরণ। যদিও আমরা এমন কন্ট্রোলার ডিজাইন করতে পারি যা সিস্টেমটিকে স্থিতিশীল করে, প্রথমে এটি বুঝে নেওয়া গুরুত্বপূর্ণ যে স্থিতিশীলতা কী, এটি কীভাবে নির্ধারিত হয় এবং কেন এটি গুরুত্বপূর্ণ।

এই অধ্যায়ের পরবর্তী অংশগুলি গাণিতিক দিক থেকে অনেকটাই জটিল এবং অনেকগুলি লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের পটভূমি প্রয়োজন। যারা গাণিতিকভাবে শক্তিশালী নয়, তারা ক্যালকুলাস এবং অর্ডিনারি ডিফারেনশিয়াল ইকুয়েশন বইগুলির (অথবা সমান) প্রাসঙ্গিক অধ্যায়গুলি পর্যালোচনা করতে পারেন, এর পর এই বিষয়গুলি পড়ার আগে।

এই অধ্যায়ের বেশিরভাগ সময় আমরা অনুমান করব যে সিস্টেমটি লিনিয়ার এবং এটি ট্রান্সফার ফাংশন বা স্টেট স্পেসের মাধ্যমে উপস্থাপিত হতে পারে। লিনিয়ার সিস্টেমগুলির একটি সম্পর্কিত ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়াল থাকে, যা সিস্টেমের স্থিতিশীলতা সম্পর্কে অনেক কিছু বলে। যদি ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়ালের কোন একটি সহগ শূন্য বা ঋণাত্মক হয়, তাহলে সিস্টেমটি অস্থিতিশীল বা সর্বোচ্চ মার্জিনালী স্থিতিশীল হতে পারে। এটি লক্ষ্য করা গুরুত্বপূর্ণ যে, যদিও ক্যারেক্টারিস্টিক পলিনোমিয়ালের সব সহগ ধনাত্মক থাকে, সিস্টেমটি এখনও অস্থিতিশীল হতে পারে। আমরা এটি নিচে আরও বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।

BIBO স্থিতিশীলতা

একটি সিস্টেমকে BIBO স্থিতিশীল বলা হয় যদি সিস্টেমে প্রতিটি সীমাবদ্ধ ইনপুট সিস্টেমের জন্য একটি সীমাবদ্ধ আউটপুট তৈরি করে $[t_{0},\infty )$ সময়কাল ধরে। এটি সব প্রাথমিক সময় t_o এর জন্য প্রযোজ্য। যতদিন না আমরা সিস্টেমে অসীম ইনপুট দিচ্ছি, ততদিন আউটপুট অসীম হবে না।

একটি সিস্টেমকে সামঞ্জস্যপূর্ণ BIBO স্থিতিশীল বলা হয় যদি একটি ধনাত্মক ধ্রুবক k থাকে যা t₀ এর উপর নির্ভরশীল নয়, এমনভাবে যে সকল t₀ এর জন্য নিম্নলিখিত শর্তগুলি প্রযোজ্য:

$\|u(t)\|\leq 1$

$t\geq t_{0}$

এবং এর ফলে,

$\|y(t)\|\leq k$

স্থিতিশীলতা সংক্রান্ত বেশ কিছু ভিন্ন ধরনের এবং কীওয়ার্ড রয়েছে, যা স্থিতিশীলতার সঙ্গে সম্পর্কিত। এই অধ্যায় এবং পরবর্তী অধ্যায়গুলিতে আমরা যে কিছু গুরুত্বপূর্ণ শব্দগুলি আলোচনা করব তা হল: BIBO স্থিতিশীল, সীমান্তিকভাবে স্থিতিশীল, শর্তাধীন স্থিতিশীল, সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থিতিশীল, সীমান্তপন্থী স্থিতিশীল, এবং অস্থিতিশীল, এগুলি সব কিছু কিছুটা আলাদা মানে বহন করে।

BIBO স্থিতিশীলতা নির্ধারণ

আমরা গাণিতিকভাবে প্রমাণ করতে পারি যে একটি সিস্টেম f BIBO স্থিতিশীল, যদি একটি আর্বিটারী ইনপুট x দুটি সীমানা M এবং -M দ্বারা সীমাবদ্ধ হয়:

$-M<x\leq M$

আমরা ইনপুট x এবং স্বেচ্ছাচারী সীমানাগুলি M এবং -M সিস্টেমে প্রয়োগ করি এবং তিনটি আউটপুট তৈরি করি:

$y_{x}=f(x)$

$y_{M}=f(M)$

$y_{-M}=f(-M)$

এখন, সব তিনটি আউটপুট সীমানায় থাকা উচিত এবং তারা নিম্নলিখিত সম্পর্কটি সন্তুষ্ট করতে হবে:

$y_{-M}\leq y_{x}\leq y_{M}$

যদি এই শর্তটি পূর্ণ হয়, তাহলে সিস্টেমটি BIBO স্থিতিশীল।

একটি SISO লিনিয়ার টাইম-ইনভারিয়েন্ট (LTI) সিস্টেম BIBO স্থিতিশীল যদি এবং শুধুমাত্র যদি $g(t)$ [0,∞] বা নিম্নলিখিত থেকে মোটামুটি একত্রিত হয়:

$\int _{0}^{\infty }|g(t)|\,dt\leq M<{\infty }$

উদাহরণ

সিস্টেমটি বিবেচনা করুন:

$h(t)={\frac {2}{t}}$

আমরা আমাদের পরীক্ষা প্রয়োগ করতে পারি, একটি আর্বিটারী বড় ধ্রুবক M এবং একটি আর্বিটারী ইনপুট x নির্বাচন করে যাতে M>x>-M

যেহেতু M অসীমের দিকে এগোচ্ছে (কিন্তু অসীম পৌঁছাচ্ছে না), আমরা দেখাতে পারি যে:

$y_{-M}=\lim _{M\to \infty }{\frac {2}{-M}}=0^{-}$

এবং:

$y_{M}=\lim _{M\to \infty }{\frac {2}{M}}=0^{+}$

তাহলে, এখন আমরা আমাদের অসমীকেরণ লিখতে পারি:

$y_{-M}\leq y_{x}\leq y_{M}$

$0^{-}\leq x<0^{+}$

এবং এই অসমীকেরণটি সমস্ত সম্ভাব্য x এর মানের জন্য সন্তুষ্ট হওয়া উচিত। তবে, আমরা দেখতে পাচ্ছি যে যখন x শূন্য, তখন আমরা পাই:

$y_{x}=\lim _{x\to 0}{\frac {2}{x}}=\infty$

এটি মানে যে x -M এবং M এর মধ্যে থাকলেও, y_x y_-M এবং y_M এর মধ্যে নেই। সুতরাং, এই সিস্টেমটি স্থিতিশীল নয়।

পোলস এবং স্থিতিশীলতা

যখন একটি নির্দিষ্ট সিস্টেমের ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের পোলগুলি S-প্লেনের ডান দিকে (RHP) থাকে, তখন সিস্টেমটি অস্থিতিশীল হয়ে পড়ে। যখন সিস্টেমের পোলগুলি বাম দিকে থাকে (LHP) এবং সিস্টেমটি অপ্রত্যাশিত নয়, তখন সিস্টেমটি স্থিতিশীল বলে বিবেচিত হয়। এই বিশেষ দিকটি পরীক্ষা করার জন্য কিছু টেস্ট রয়েছে: Routh-Hurwitz মানদণ্ড, Root-Locus, এবং Nyquist স্থিতিশীলতা মানদণ্ড সবই পরীক্ষার মাধ্যমে নিশ্চিত করে যে ট্রান্সফার ফাংশনে কোন পোল RHP তে রয়েছে কি না। আমরা পরবর্তী অধ্যায়গুলিতে এসব পরীক্ষার কথা শিখব।

যদি সিস্টেমটি একাধিক ভেরিয়েবল বা MIMO সিস্টেম হয়, তবে সিস্টেমটি স্থিতিশীল হবে যদি এবং শুধুমাত্র যদি প্রতিটি ট্রান্সফার ফাংশনের প্রতিটি পোল ট্রান্সফার ফাংশন ম্যাট্রিক্সে নেগেটিভ রিয়াল পার্ট থাকে এবং ট্রান্সফার ফাংশনটি অপ্রত্যাশিত না হয়। এই সিস্টেমগুলির জন্য, আমরা পরবর্তীতে বর্ণিত Routh-Hurwitz, Root Locus এবং Nyquist পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারি, তবে এই পদ্ধতিগুলি প্রতিটি পৃথক ট্রান্সফার ফাংশনের জন্য একবার করে প্রয়োগ করতে হবে।

পোলস এবং Eigenvalues

দ্রষ্টব্য:
G(s) এর প্রতিটি পোল সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A এর একটি Eigenvalue। তবে, A এর প্রতিটি Eigenvalue G(s) এর পোল নয়।

ট্রান্সফার ফাংশনের পোল এবং সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A এর Eigenvalues সম্পর্কিত। আসলে, আমরা বলতে পারি যে সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A এর Eigenvalues হলো সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশনের পোলস। এর মাধ্যমে, যদি আমাদের কাছে একটি সিস্টেমের Eigenvalues থাকে স্টেট-স্পেস ডোমেইনে, তবে আমরা Routh-Hurwitz এবং Root Locus পদ্ধতিগুলি ব্যবহার করতে পারি যেমনটি আমরা ট্রান্সফার ফাংশন দ্বারা উপস্থাপিত সিস্টেমে করতাম।

একটি সম্পর্কিত বিষয়ে, Eigenvalues এবং সকল পদ্ধতি এবং গাণিতিক কৌশল যা Eigenvalues ব্যবহার করে সিস্টেমের স্থিতিশীলতা নির্ধারণ করতে ব্যবহৃত হয় তা মাত্র টাইম-ইনভারিয়েন্ট সিস্টেমে কাজ করে। টাইম-ভ্যারিয়েন্ট সিস্টেমে এই পদ্ধতিগুলি কাজ করে না।

ট্রান্সফার ফাংশন পুনর্বিবেচনা

আমরা এখানে ট্রান্সফার ফাংশন সম্পর্কে একটি সংক্ষিপ্ত পর্যালোচনা করব, কারণ পরবর্তী অধ্যায়গুলিতে সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ করার জন্য ট্রান্সফার ফাংশন ব্যবহার করা হবে।

আমরা আমাদের সাধারণকৃত ফিডব্যাক-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনটি মনে রাখব, যেখানে একটি কিপ পরিমাণ K, একটি ফরওয়ার্ড পাথ Gp(s), এবং একটি ফিডব্যাক Gb(s) থাকে। আমরা এই সিস্টেমের জন্য ট্রান্সফার ফাংশন লিখব:

$H_{cl}(s)={\frac {KGp(s)}{1+H_{ol}(s)}}$

এখানে $H_{cl}$ হলো ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন এবং $H_{ol}$ হলো ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন। আবার, আমরা ওপেন-লুপ ট্রান্সফাংশনটি ফরওয়ার্ড পাথ এবং ফিডব্যাক উপাদানগুলির গুণফল হিসেবে সংজ্ঞায়িত করি:

$H_{ol}(s)=KGp(s)Gb(s)$ <---এখন, এই সংজ্ঞাটি আপডেট করা সংজ্ঞার সাথে Feedback Loops সেকশনে বিপরীত।

এখন, আমরা F(s) কে ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি। F(s) হলো ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের ডিনোমিনেটর এবং এটি এমনভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

[Characteristic Equation]

$F(s)=1+H_{ol}=D(s)$

আমরা নিশ্চিতভাবে বলতে পারি যে ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশনের রুটগুলি ট্রান্সফার ফাংশনের পোলস। এখন, আমরা কিছু সহজ সত্য জানি:

1. ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের পোলের অবস্থান নির্ধারণ করে সিস্টেমটি স্থিতিশীল কি না
2. ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশনের জিরোগুলি ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের পোলস
3. ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন সবসময় ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের তুলনায় একটি সহজ সমীকরণ।

এই ফাংশনগুলি একত্রে দেখায় যে আমরা ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশনের উপর মনোযোগ দিতে পারি এবং সেই সমীকরণের রুটগুলি খুঁজে বের করতে পারি।

স্টেট-স্পেস এবং স্থিতিশীলতা

যেমন আমরা আগে আলোচনা করেছি, সিস্টেমটি স্থিতিশীল হবে যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A এর Eigenvalues এর রিয়াল অংশ নেগেটিভ থাকে। তবে, অন্যান্য স্থিতিশীলতা সমস্যা রয়েছে যা আমরা বিশ্লেষণ করতে পারি, যেমন সিস্টেমটি সামঞ্জস্যপূর্ণ স্থিতিশীল, অ্যাসিম্পটোটিক স্থিতিশীল, বা অন্য কিছু। আমরা এই সমস্ত বিষয়গুলি পরবর্তী অধ্যায়ে আলোচনা করব।

মার্জিনালী স্থিতিশীলতা

যখন সিস্টেমের পোলগুলি জটিল s-ডোমেইনে কেবলমাত্র কল্পনাশক্তির অক্ষ বরাবর থাকে (অথবা সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের Eigenvalues কেবলমাত্র কল্পনাশক্তির থাকে), তখন সিস্টেমটি অস্থিরতার উপসর্গ প্রদর্শন করে এবং তাকে মার্জিনালী স্থিতিশীল বলা হয়। একটি মার্জিনালী স্থিতিশীল সিস্টেম কখনও কখনও অস্থিতিশীল হয়ে পড়তে পারে, এবং কখনও কখনও এটি সম্পূর্ণভাবে স্থিতিশীল থাকতে পারে। এটি অনুমান করে বলা সম্ভব নয় যে একটি মার্জিনালী স্থিতিশীল সিস্টেম কখন অস্থিতিশীল হবে বা নয়।