নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্টেট ফিডব্যাক

স্টেট পর্যবেক্ষণ

কোনো সিস্টেমের স্টেট-স্পেস মডেল হলো একটি একক প্ল্যান্টের মডেল, এটি কোনো প্রকৃত ফিডব্যাক সিস্টেমের মডেল নয়। যে ফিডব্যাক প্রক্রিয়া x' (স্টেট ভেক্টরের ডেরিভেটিভ) কে x (স্টেট ভেক্টর) এর সাথে সম্পর্কযুক্ত করে, এটি প্ল্যান্টের অভ্যন্তরীণ প্রক্রিয়ার একটি উপস্থাপনা মাত্র। এখানে প্ল্যান্টের স্টেট তার ডেরিভেটিভের সাথে সম্পর্কিত। সে কারণে এখানে আমরা A কে কোনো আলাদা উপাদান বা ‘চিপ’ হিসেবে বিবেচনা করতে পারি না, যেটা একটির পরিবর্তে আরেকটি বসিয়ে দেওয়া যাবে। বরং স্টেট-স্পেস মডেলের সম্পূর্ণ কাঠামো, যেখানে A, B, C, এবং D ম্যাট্রিক্সগুলো অন্তর্ভুক্ত তা একটি একক ডিভাইসের অংশ। প্রায়শই এই ম্যাট্রিক্সগুলো অপরিবর্তনীয় হয়ে থাকে অর্থাৎ প্রকৌশলী চাইলেও এগুলোকে পরিবর্তন করতে পারেন না কারণ তারা প্ল্যান্টের অন্তর্নিহিত অংশ। তবে, প্ল্যান্টে কোনো পরিবর্তন ঘটলে যেমন তাপীয় প্রভাব বা রেডিও-ফ্রিকোয়েন্সি (আরএফ) হস্তক্ষেপের কারণে এই ম্যাট্রিক্সগুলো পরিবর্তিত হতে পারে।

যদি কোনো সিস্টেমকে মূলত অপরিবর্তনীয় হিসাবে ধরা হয় (প্রকৌশলীর নিয়ন্ত্রণের বাইরের প্রভাবগুলি ব্যতীত) তাহলে আমাদের সিস্টেমটিকে বাহ্যিকভাবে পরিবর্তন করার একটি উপায় খুঁজে বের করতে হবে। ক্লাসিক্যাল কন্ট্রোল তত্ত্ব থেকে আমরা জানি, এই ধরনের পরিবর্তনের জন্য সবচেয়ে কার্যকর পদ্ধতি হলো একটি ফিডব্যাক লুপ ব্যবহারের মাধ্যমে। আমাদের চূড়ান্ত উদ্দেশ্য হলো হলো একটি অতিরিক্ত ফিডব্যাক উপাদান K যুক্ত করা, যা সিস্টেমের পোলগুলোকে যেকোনো কাঙ্ক্ষিত স্থানে সরাতে ব্যবহার করা যেতে পারে। একটি কন্ট্রোলযোগ্য সিস্টেমের উপর "স্টেট ফিডব্যাক" নামক কৌশল ব্যবহার করে আমরা ঠিক এটিই করতে পারি।

স্টেট ফিডব্যাক

স্টেট ফিডব্যাক-এ স্টেট ভেক্টরের মান সিস্টেমের ইনপুটে পুনরায় প্রেরণ করা হয়। এখানে আমরা একটি নতুন ইনপুট r সংজ্ঞায়িত করি এবং নিম্নলিখিত সম্পর্ক স্থাপন করি:

$u(t)=r(t)+Kx(t)$

K হলো একটি ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স যা সিস্টেমের বাইরের একটি উপাদান। তাই সিস্টেমের পোলগুলোর অবস্থান পরিবর্তন করতে এটিকে পরিবর্তন করা যেতে পারে। এই কৌশলটি তখনই কাজ করবে যখন সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য হবে।

বন্ধ-লুপ সিস্টেম

যদি আমাদের একটি বাহ্যিক প্রতিক্রিয়া উপাদান K থাকে, তাহলে সিস্টেমটিকে বন্ধ-লুপ সিস্টেম বলা হয়। এই প্রতিক্রিয়া উপাদানটি ছাড়া সিস্টেমটিকে উন্মুক্ত-লুপ সিস্টেম বলা হয়। r এবং u এর মধ্যে যে সম্পর্কটি আমরা উপরে উল্লেখ করেছি তা ব্যবহার করে বন্ধ-লুপ সিস্টেমের সমীকরণগুলো লিখতে পারি:

$x'=Ax+B(r+Kx)$

$x'=(A+BK)x+Br$

এখন, আমাদের বন্ধ-লুপ স্টেট সমীকরণটি দেখতে উন্মুক্ত-লুপ স্টেট সমীকরণের মতোই মনে হয়, শুধুমাত্র A ম্যাট্রিক্সের জায়গায় যোগফল (A + BK) প্রতিস্থাপিত হয়েছে। আমরা বন্ধ-লুপ স্টেট ম্যাট্রিক্সকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$A_{cl}=(A_{ol}+BK)$

A_cl হলো বন্ধ-লুপ স্টেট ম্যাট্রিক্স, এবং A_ol হলো উন্মুক্ত-লুপ স্টেট ম্যাট্রিক্স। K ম্যাট্রিক্স পরিবর্তন করে আমরা এই ম্যাট্রিক্সের আইগেনভ্যালু পরিবর্তন করতে পারি এবং এর ফলে সিস্টেমের পোলগুলোর অবস্থানও পরিবর্তন করতে পারি। যদি সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য হয় তাহলে এই সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ নিম্নরূপভাবে নির্ণয় করা যেতে পারে:

$\alpha (s)=|sI-A_{cl}|=|sI-(A_{ol}+BK)|$

নির্ধারক (ডিটারমিন্যান্ট) নির্ণয় করা একটি সহজ কাজ নয়; বিশেষ করে বড় সিস্টেমের জন্য এই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক গণনা বেশ জটিল হতে পারে। তবে যদি আমরা সিস্টেমটিকে নিয়ন্ত্রণযোগ্য ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তরিত করি তাহলে গণনা অনেক সহজ হয়ে যায়। K ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের আরেকটি বিকল্প পদ্ধতি হলো অ্যাকেরম্যানের ফর্মুলা।

অ্যাকেরম্যানের ফর্মুলা

একটি রেফারেন্স ইনপুটবিহীন একটি রৈখিক ফিডব্যাক সিস্টেম বিবেচনা করুন:

$u(t)=-Kx(t)$

যেখানে K হলো গেইন উপাদানগুলির একটি ভেক্টর। এই ধরনের সিস্টেমগুলিকে সাধারণত নিয়ন্ত্রক বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে এই সিস্টেমটি আমরা উপরে প্রবর্তন করা সিস্টেমের একটি সরলীকৃত সংস্করণ, তবে এখানে আমরা রেফারেন্স ইনপুটকে উপেক্ষা করছি। এটিকে স্টেট সমীকরণে প্রতিস্থাপন করলে আমরা পাই:

$x'=Ax-BKx$

অ্যাকেরম্যানের ফর্মুলা (ইয়ুর্গেন অ্যাকেরম্যান কর্তৃক প্রদত্ত) আমাদেরকে সিস্টেমের পোলগুলোর অবস্থান নিয়ন্ত্রণ করার জন্য এই গেইন মান K নির্বাচন করার একটি উপায় দেয়। অ্যাকেরম্যানের ফর্মুলা ব্যবহার করে যদি সিস্টেমটি নিয়ন্ত্রণযোগ্য হয়, তাহলে আমরা আমাদের নিয়ন্ত্রক সিস্টেমের জন্য যেকোনো ইচ্ছামতো পোল নির্বাচন করতে পারি।

[অ্যাকেরম্যানের ফর্মুলা]

$K={\begin{bmatrix}0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}\zeta ^{-1}a(z)$

যেখানে a(z) হলো সিস্টেমের কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ এবং ζ হলো মূল সিস্টেমের নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স।

নিম্নলিখিত কমান্ডের সাহায্যে অ্যাকারম্যানের সূত্র ব্যবহার করে ম্যাটল্যাবে গেইন K গণনা করা যেতে পারে:

K=acker(A, B, p);

যেখানে K হলো স্টেট ফিডব্যাক গেইন এবং p হলো কাঙ্ক্ষিত বন্ধ-লুপ পোলের অবস্থান। এই ধরনের নিয়ন্ত্রকের লক্ষ্য হলো স্টেট ভেক্টরকে শূন্যে চালিত করা। একটি রৈখিক স্টেট ফিডব্যাকের পরিবর্তে একটি রেফারেন্স ইনপুট ব্যবহার করে আমরা একই ধরনের ধারণা প্রয়োগ করে স্টেট ভেক্টরকে যেকোনো ইচ্ছামতো স্টেটে চালিত করতে পারি এবং সিস্টেমকে যেকোনো ইচ্ছামতো পোল দিতে পারি।

রেফারেন্স ইনপুট

উপরের সিস্টেমের ধারণা যেখানে একটি রৈখিক ফিডব্যাক আছে এবং কোনো রেফারেন্স ইনপুট নেই, সেটি হলো সিস্টেমের স্টেট ভেক্টরকে শূন্যে চালিত করা। যদি আমাদের একটি সিস্টেম রেফারেন্স ইনপুট r থাকে, তাহলে আমরা একটি ভেক্টর N সংজ্ঞায়িত করতে পারি যা আমাদের স্টেটের জন্য কাঙ্ক্ষিত মান। এই সমন্বিত ইনপুটটি নিম্নলিখিতের সমান:

$rN=x_{r}$

যেখানে x_r হলো সেই রেফারেন্স স্টেট যা আমাদের স্টেট x অর্জন করতে চায়। এই ধরনের স্টেট রেফারেন্স ব্যবহার করে এমন একটি সিস্টেমের ব্লক ডায়াগ্রাম নিচে দেখানো হলো:

আমাদের কাছে আমাদের গেইন ম্যাট্রিক্স K এবং আমাদের রেফারেন্স ইনপুট rN রয়েছে। গাণিতিকভাবে আমরা দেখাতে পারি যে:

এই সিস্টেমে যদি সিস্টেমটি টাইপ ১ অথবা উচ্চতর টাইপের হয় তাহলে আমরা প্রমাণ করতে পারি যে

$x(\infty )=x_{r}$

সময় অসীমের দিকে এগোলে স্টেট রেফারেন্স স্টেটের দিকে এগিয়ে যাবে।

নীচের সমীকরণগুলি ব্যবহার করে রেফারেন্স ইনপুটটি অবিচ্ছিন্ন ডোমেনে গণনা করা হয়:

$\left[{\begin{matrix}N_{x}\\N_{u}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}A&B\\C&D\end{matrix}}\right]^{-1}\left[{\begin{matrix}0\\1\end{matrix}}\right]$

এবং ${\bar {N}}=N_{u}+KN_{x}$

← নিয়ন্ত্রক ও ক্ষতিপূরণকারী

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

অনুমানকারী ও পর্যবেক্ষক →