নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্টেট-স্পেস স্থিতিশীলতা

অবস্থা-স্থান স্থিতিশীলতা

যদি একটি সিস্টেমকে অবস্থা-স্থান ডোমেইনে উপস্থাপন করা হয়, তাহলে পূর্বের স্থিতিশীলতার পদ্ধতিগুলোর জন্য সেটিকে ট্রান্সফার ফাংশন (বা ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স) রূপে রূপান্তর করার কোনো অর্থ হয় না। সৌভাগ্যবশত, অবস্থা-স্থান উপস্থাপনার সাথে ব্যবহারযোগ্য অন্যান্য বিশ্লেষণ পদ্ধতিও রয়েছে, যা দ্বারা সিস্টেমটি স্থিতিশীল কি না তা নির্ধারণ করা যায়। প্রথমে, আমরা অস্থিতিশীলতার ধারণাটি উপস্থাপন করি:

অস্থিতিশীল

একটি সিস্টেমকে অস্থিতিশীল বলা হয় যদি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া সময় অনন্তের দিকে অগ্রসর হওয়ার সাথে সাথে অনন্তের দিকে ধাবিত হয়। যদি আমাদের সিস্টেম হয় G(t), তাহলে বলা যায় সিস্টেমটি অস্থিতিশীল যদি:

$\lim _{t\to \infty }\|G(t)\|=\infty$

স্থিতিশীলতা নিয়ে আলোচনার সময় আরেকটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা হলো সমতুল্য বিন্দু:

সমতুল্য বিন্দু

যদি একটি সিস্টেম f দ্বারা সংজ্ঞায়িত হয়:

$x'(t)=f(x(t))$

তাহলে একটি নির্দিষ্ট অবস্থা x_e কে সমতুল্য বিন্দু বলা হয় যদি

$f(x_{e})=0$

সময় t এর জন্য $[t_{0},\infty )$ অন্তরালে, যেখানে t₀ হলো সিস্টেমের প্রারম্ভিক সময়।

সমতুল্য বিন্দুকে অন্যান্য বই বা সাহিত্যে "স্থির বিন্দু", "সমালোচনা বিন্দু", "একবচন বিন্দু" বা "বিশ্রাম অবস্থা" বলেও অভিহিত করা হয়।

নিচের সংজ্ঞাগুলো সাধারণত ধরে নেয় যে সমতুল্য বিন্দুটি শূন্য। যদি সমতুল্য বিন্দু হয় x_e = a, তাহলে আমরা নিম্নলিখিত পরিবর্তন ব্যবহার করতে পারি সমতুল্য বিন্দুটিকে শূন্যে রূপান্তর করতে:

${\bar {x}}=x_{e}-a=0$

আমরা নিচে দেখতে পাবো যে, সিস্টেমের স্থিতিশীলতা একটি সমতুল্য বিন্দুর উপর নির্ভরশীল। এই সমতুল্য বিন্দুর সাথে সম্পর্কিত আরেকটি ধারণা হলো শূন্য অবস্থা:

শূন্য অবস্থা

একটি অবস্থা x_z কে বলা হয় শূন্য অবস্থা যদি x_z = 0 হয়। একটি শূন্য অবস্থা সমতুল্য বিন্দু হতে পারে বা নাও হতে পারে।

স্থিতিশীলতার সংজ্ঞাসমূহ

সিস্টেমের সমতুল্য বিন্দু x = 0 স্থিতিশীল যদি এবং কেবল যদি শূন্য-ইনপুট অবস্থা সমীকরণের সমাধানগুলো সসীম থাকে। সমতুল্যভাবে, x = 0 কে স্থিতিশীল বলা যায় যদি প্রতিটি প্রারম্ভিক সময় t₀ এর জন্য একটি সসীম ধ্রুবক k(t₀) বিদ্যমান থাকে যাতে:

$\operatorname {sup} _{t\geq t_{0}}\|\phi (t,t_{0})\|=k(t_{0})<\infty$

এখানে sup অর্থাৎ সর্বোচ্চ হলো সমীকরণের "সর্বোচ্চ" মান। এই মানটি নির্দিষ্ট সসীম মান k অতিক্রম করতে পারবে না (অতএব এটি অনন্ত হতে পারবে না)।

সর্বজনীন স্থিতিশীলতা

একটি সিস্টেমকে বলা হয় সর্বজনীনভাবে স্থিতিশীল যদি এটি t₀ এর সকল প্রারম্ভিক মানের জন্য স্থিতিশীল হয়:

$\operatorname {sup} _{t\geq 0}[\operatorname {sup} _{t\geq t_{0}}\|\phi (t,t_{0})\|]=k_{0}<\infty$

সর্বজনীন স্থিতিশীলতা পূর্বের তুলনায় অধিক সাধারণ এবং শক্তিশালী রূপের স্থিতিশীলতা।

অসিমপটোটিক স্থিতিশীলতা

একটি সিস্টেমকে বলা হয় অসিমপটোটিকভাবে স্থিতিশীল যদি:

$\lim _{t\to \infty }\|\phi (t,t_{0})\|=0$

একটি সময়-অপরিবর্তনশীল সিস্টেম অসিমপটোটিকভাবে স্থিতিশীল যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A এর সকল ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ নেতিবাচক হয়। যদি একটি সিস্টেম অসিমপটোটিকভাবে স্থিতিশীল হয়, তাহলে এটি BIBO স্থিতিশীলও হবে। তবে বিপরীতটি সবসময় সত্য নয়।

সর্বজনীন অসিমপটোটিক স্থিতিশীলতা

একটি সিস্টেমকে বলা হয় সর্বজনীনভাবে অসিমপটোটিকভাবে স্থিতিশীল যদি এটি t₀ এর সকল মানের জন্য অসিমপটোটিকভাবে স্থিতিশীল হয়।

সূচকীয় স্থিতিশীলতা

একটি সিস্টেমকে বলা হয় সূচকীয়ভাবে স্থিতিশীল যদি সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া সময়ের সাথে সাথে সূচকীয়ভাবে শূন্যের দিকে ধাবিত হয়।

রৈখিক সিস্টেমের জন্য, সর্বজনীন অসিমপটোটিক স্থিতিশীলতা এবং সূচকীয় স্থিতিশীলতা একই। তবে অ-রৈখিক সিস্টেমের ক্ষেত্রে এটি সত্য নাও হতে পারে।

প্রান্তিক স্থিতিশীলতা

এখানে আমরা কিছু নিয়ম আলোচনা করবো যা প্রান্তিকভাবে স্থিতিশীল সিস্টেমের ক্ষেত্রে প্রযোজ্য। যেহেতু আমরা ইজেনভ্যালু ও ইজেনভেক্টর নিয়ে আলোচনা করছি, তাই এই উপপাদ্যগুলো কেবল সময়-অপরিবর্তনশীল সিস্টেমের জন্য প্রযোজ্য।

1. একটি সময়-অপরিবর্তনশীল সিস্টেম প্রান্তিকভাবে স্থিতিশীল যদি এবং কেবল যদি A ম্যাট্রিক্সের সব ইজেনভ্যালু শূন্য বা ঋণাত্মক বাস্তব অংশযুক্ত হয়, এবং যেগুলোর বাস্তব অংশ শূন্য, সেগুলো A এর মিনিমাল পলিনোমিয়ালের সরল মূল হয়।
2. অবস্থা সমীকরণের সমতুল্য বিন্দু x = 0 সর্বজনীনভাবে স্থিতিশীল যদি A এর সব ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ অ-ধনাত্মক হয়, এবং শূন্য বাস্তব অংশবিশিষ্ট ইজেনভ্যালুগুলোর জন্য পৃথক ইজেনভেক্টরের একটি পূর্ণ সেট বিদ্যমান থাকে।
3. অবস্থা সমীকরণের সমতুল্য বিন্দু x = 0 তখন এবং কেবল তখনই সূচকীয়ভাবে স্থিতিশীল যদি A এর সকল ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ নেতিবাচক হয়।

ইজেনভ্যালু এবং পোল

একটি রৈখিক সময়-অপরিবর্তনশীল (LTI) সিস্টেম স্থিতিশীল (অসিমপটোটিকভাবে) যদি A ম্যাট্রিক্সের সব ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ নেতিবাচক হয়। নিচের অবস্থা সমীকরণটি বিবেচনা করুন:

$x'=Ax(t)+Bu(t)$

উভয় পাশে লাপ্লাস রূপান্তর প্রয়োগ করি (ধরা যাক প্রারম্ভিক অবস্থা x₀ = 0):

$sX(s)=AX(s)+BU(s)$

AX(s) বিয়োগ করলে:

$(sI-A)X(s)=BU(s)$

ধরা যাক (sI - A) বিপরীতযোগ্য, তাহলে:

$X(s)=(sI-A)^{-1}BU(s)$

এখন যদি আমরা ইনভার্স ম্যাট্রিক্সের সূত্র ব্যবহার করি:

$X(s)={\frac {\operatorname {adj} (sI-A)BU(s)}{|(sI-A)|}}$

এখানে ডিনোমিনেটর (যাকে আমরা D(s) বলি) বিশ্লেষণ করে দেখা যায়:

$D(s)=|(sI-A)|=0$

s এর স্থানে λ বসালে এটি A ম্যাট্রিক্সের চরিত্রগত সমীকরণ। অর্থাৎ, যে মানগুলো এই সমীকরণ পূরণ করে (ট্রান্সফার ফাংশনের পোল) তারাই A এর ইজেনভ্যালু। সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় যে সব পোল S-ডোমেইনে বামদিকে (বামার্ধ সমতলে) অবস্থান করে, অর্থাৎ A এর সব ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ নেতিবাচক।

ইমপালস প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স

ইমপালস প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স G(t, τ) সংজ্ঞায়িত করা যায়:

[Impulse Response Matrix]

$G(t,\tau )=\left\{{\begin{matrix}C(t)\phi (t,\tau )B(\tau )&{\mbox{ if }}t\geq \tau \\0&{\mbox{ if }}t<\tau \end{matrix}}\right.$

সিস্টেমটি সর্বজনীনভাবে স্থিতিশীল যদি একটি ধনাত্মক সসীম ধ্রুবক L থাকে যাতে:

$\int _{0}^{t}\|G(t,\tau )\|d\tau \leq L$

অর্থাৎ, উপরের ইন্টিগ্রালটির মান সসীম হতে হবে।

সময়-অপরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে, এটি সরলীকরণ করে দাঁড়ায়:

$G(t)=\left\{{\begin{matrix}Ce^{At}B&{\mbox{ if }}t\geq 0\\0&{\mbox{ if }}t<0\end{matrix}}\right.$

এবং এই ক্ষেত্রে BIBO স্থিতিশীলতা যাচাইয়ের জন্য:

$\int _{0}^{\infty }\|G(t)\|dt\leq L$

যেখানে L একটি সসীম ধ্রুবক।

ধনাত্মক নির্ধারকতা

এই শব্দগুলো গুরুত্বপূর্ণ এবং পরবর্তী আলোচনার জন্য প্রাসঙ্গিক।

• f(x) ধনাত্মক নির্ধারক যদি f(x) > 0 সকল x এর জন্য।
• f(x) আংশিক ধনাত্মক নির্ধারক যদি $f(x)\geq 0$ সকল x এর জন্য, এবং f(x) = 0 হয় কেবল x = 0 এর জন্য।
• f(x) ঋণাত্মক নির্ধারক যদি f(x) < 0 সকল x এর জন্য।
• f(x) আংশিক ঋণাত্মক নির্ধারক যদি $f(x)\leq 0$ সকল x এর জন্য, এবং f(x) = 0 হয় কেবল x = 0 এর জন্য।

একটি হারমিশিয়ান ম্যাট্রিক্স X ধনাত্মক নির্ধারক যদি তার সকল প্রধান মাইনর ধনাত্মক হয়। এছাড়াও, X এর সকল ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ ধনাত্মক হলে X ধনাত্মক নির্ধারক।

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা

লিয়াপুনভ সমীকরণ

রৈখিক সিস্টেমের জন্য, স্থিতিশীলতা নির্ধারণ করতে আমরা লিয়াপুনভ সমীকরণ ব্যবহার করতে পারি:

[Lyapunov Equation]

$MA+A^{T}M=-N$

এখানে A হলো সিস্টেম ম্যাট্রিক্স, এবং M ও N হলো p × p স্কয়ার ম্যাট্রিক্স।

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা উপপাদ্য

একটি LTI সিস্টেম $x'=Ax$ স্থিতিশীল যদি এমন একটি ম্যাট্রিক্স M বিদ্যমান থাকে যা লিয়াপুনভ সমীকরণ পূরণ করে, যেখানে N একটি যেকোনো ধনাত্মক নির্ধারক ম্যাট্রিক্স এবং M একটি একক ধনাত্মক নির্ধারক ম্যাট্রিক্স।

লিয়াপুনভ সমীকরণ পূরণ করতে হলে ম্যাট্রিক্সগুলো উপযুক্ত আকারের হতে হবে, অর্থাৎ A, M, ও N সকলেরই সমান স্কয়ার মাত্রা হতে হবে। বিকল্পভাবে:

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা (বিকল্প)

যদি A ম্যাট্রিক্সের সকল ইজেনভ্যালুর বাস্তব অংশ নেতিবাচক হয়, তাহলে প্রতিটি ধনাত্মক নির্ধারক ম্যাট্রিক্স N এর জন্য একটি একক সমাধান M বিদ্যমান থাকবে, যা নিচেরভাবে নির্ণয় করা যায়:

$M=\int _{0}^{\infty }e^{A^{T}t}Ne^{At}dt$

যদি এইভাবে M নির্ণয় করা যায়, তাহলে সিস্টেমটি অসিমপটোটিকভাবে স্থিতিশীল।

← Stability

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Discrete Time Stability →