নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্টেট-স্পেস সমীকরণ

টাইম-ডোমেইন পদ্ধতি

কন্ট্রোল সিস্টেমের "ক্লাসিকাল" (প্রচলিত) পদ্ধতি, যা আমরা এখন পর্যন্ত অধ্যয়ন করে আসছি, তা মূলত ট্রান্সফর্ম ডোমেইনের উপর ভিত্তি করে তৈরি। যখন আমরা একটি সিস্টেম নিয়ন্ত্রণ করতে চাই, তখন সাধারণত সেটিকে লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম (ডিজিটাল সিস্টেমের জন্য Z-ট্রান্সফর্ম) ব্যবহার করে উপস্থাপন করি, এবং যখন আমরা সিস্টেমের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যগুলি বিশ্লেষণ করতে চাই, তখন ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করি। প্রশ্ন হলো, আমরা কেন এমনটা করি?

চলুন একটি মৌলিক দ্বিতীয়-ক্রমের লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম ট্রান্সফার ফাংশন দেখি:

${\frac {Y(s)}{X(s)}}=G(s)={\frac {1+s}{1+2s+5s^{2}}}$

আমরা এই সমীকরণটিকে সিস্টেমের ইনপুট এবং আউটপুটের দৃষ্টিকোণ থেকে প্রকাশ করতে পারি:

$(1+2s+5s^{2})Y(s)=(1+s)X(s)$

এখন, যদি আমরা এই সমীকরণের ইনভার্স লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম গ্রহণ করি, তাহলে দেখতে পাই:

$y(t)+2{\frac {dy(t)}{dt}}+5{\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}=x(t)+{\frac {dx(t)}{dt}}$

লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম মূলত আমাদের এই বাস্তবতাকে প্রকাশ করে যে, আমরা একটি দ্বিতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ নিয়ে কাজ করছি। লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম একটি সিস্টেমকে টাইম-ডোমেইন থেকে কমপ্লেক্স ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে স্থানান্তর করে, যাতে আমরা আমাদের সিস্টেমকে লিনিয়ার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের পরিবর্তে সহজ অ্যালজেব্রিক পলিনোমিয়ালের রূপে বিশ্লেষণ করতে পারি। ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ জটিল হওয়ায়, প্রশ্ন আসে — আমরা কেন টাইম-ডোমেইনে কাজ করতে চাই?

এখানেই একটি গুরুত্বপূর্ণ ধারণা আসে: উচ্চ-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে একাধিক প্রথম-ক্রমের সমীকরণে ভাঙা যায়, এবং এর ফলে এমন একটি নতুন পদ্ধতি পাওয়া যায় যার মাধ্যমে সিস্টেম বিশ্লেষণ করা যায় ইন্টেগ্রাল ট্রান্সফর্ম ব্যবহার না করেই। এই সমস্যার সমাধান হলো স্টেট ভেরিয়েবল। একাধিক প্রথম-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণকে ভেক্টর আকারে বিশ্লেষণ করে, আমরা শুধু টাইম-ডোমেইনে যা করছিলাম তাই করতে পারি না, বরং এটি ম্যাট্রিক্স অ্যালজেব্রা ব্যবহার করে আরও সহজ হয়ে যায়। পাশাপাশি, এই পদ্ধতিতে সহজেই বহু ইনপুট ও বহু আউটপুট বিশিষ্ট সিস্টেমও বিশ্লেষণ করা যায়, অতিরিক্ত জটিলতা ছাড়াই।

এই কারণেই কন্ট্রোল সিস্টেম বিশ্লেষণে "আধুনিক" স্টেট-স্পেস পদ্ধতি এত জনপ্রিয় হয়ে উঠেছে।

স্টেট-স্পেস

একটি স্টেট-স্পেস সিস্টেমে, সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ অবস্থাকে একটি সমীকরণের মাধ্যমে স্পষ্টভাবে বিবেচনা করা হয়, যেটিকে বলা হয় স্টেট সমীকরণ। সিস্টেমের আউটপুট নির্ধারিত হয় বর্তমান স্টেট এবং বর্তমান ইনপুটের সংমিশ্রণের মাধ্যমে, যেটিকে বলা হয় আউটপুট সমীকরণ। এই দুটি সমীকরণ একত্রে একটি সিস্টেম গঠন করে, যাকে সম্মিলিতভাবে স্টেট-স্পেস সমীকরণ বলা হয়। স্টেট-স্পেস বলতে এমন একটি ভেক্টর স্পেস বোঝায়, যা সিস্টেমের সব সম্ভাব্য অভ্যন্তরীণ অবস্থার সমষ্টি।

স্টেট-স্পেস পদ্ধতিতে কোনো সিস্টেমকে মডেল করার জন্য নিচের শর্তটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

সিস্টেমটি "লাম্পড" হতে হবে

এখানে "লাম্পড" বলতে বোঝানো হয়েছে, এমন একটি সসীম মাত্রার স্টেট-স্পেস ভেক্টর পাওয়া যায় যা সিস্টেমের সব অভ্যন্তরীণ অবস্থাকে সম্পূর্ণভাবে প্রকাশ করতে পারে।

এই পাঠ্যপুস্তকে মূলত লিনিয়ার স্টেট-স্পেস সিস্টেমগুলো বিবেচনা করা হয়েছে, যেখানে স্টেট ও আউটপুট সমীকরণগুলো সুপারপজিশন নীতির অধীন। তবে, স্টেট-স্পেস পদ্ধতি ননলিনিয়ার সিস্টেমগুলোর জন্যও সমভাবে প্রযোজ্য, যদিও কিছু নির্দিষ্ট পদ্ধতি ননলিনিয়ার সিস্টেমে প্রয়োগযোগ্য নয়।

স্টেট

স্টেট-স্পেস নোটেশনের কেন্দ্রীয় ধারণাটি হলো একটি স্টেট। একটি সিস্টেমের স্টেট হলো এর অভ্যন্তরীণ উপাদানগুলোর বর্তমান মান, যেগুলো সিস্টেমের আউটপুটের সাথে সম্পর্কযুক্ত হলেও পৃথকভাবে পরিবর্তিত হয়। মূলত, একটি সিস্টেমের স্টেট মানে হলো তার অভ্যন্তরীণ উপাদানগুলোর মানের একটি স্পষ্ট রেকর্ড। নিচে কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো:

একটি বৈদ্যুতিক বর্তনী কল্পনা করুন, যাতে ইনপুট ও আউটপুট উভয় টার্মিনাল আছে। এই সার্কিটে অসংখ্য ইনডাক্টর ও ক্যাপাসিটর থাকতে পারে। স্টেট ভেরিয়েবলগুলো ইনডাক্টরের চৌম্বক ক্ষেত্র এবং ক্যাপাসিটরের তড়িৎ ক্ষেত্র উপস্থাপন করতে পারে।

একটি স্প্রিং-মাস-ড্যাশপট সিস্টেম কল্পনা করুন। এই সিস্টেমে স্টেট ভেরিয়েবলগুলো স্প্রিং-এর সংকোচন বা ড্যাশপটে ত্বরণকে উপস্থাপন করতে পারে।

একটি রাসায়নিক বিক্রিয়া কল্পনা করুন, যেখানে কিছু বিক্রিয়ক একটি মিশ্রণ পাত্রে ঢালা হয়, এবং আউটপুট হলো নির্দিষ্ট সময়ে উৎপন্ন রাসায়নিক পণ্যের পরিমাণ। এই সিস্টেমের স্টেট ভেরিয়েবলগুলো পাত্রে অবশিষ্ট বিক্রিয়কের পরিমাণ অথবা পাত্রে উপস্থিত তাপ শক্তির পরিমাণ (যা বিক্রিয়ায় সহায়তা করে) ইত্যাদি হতে পারে।

স্টেট ভেরিয়েবলসমূহ

স্টেট-স্পেস সমীকরণের মাধ্যমে কোনো সিস্টেমকে মডেল করতে গেলে আমাদের প্রথমে তিনটি ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করতে হয়:

ইনপুট ভেরিয়েবল

একটি SISO (একক-ইনপুট একক-আউটপুট) সিস্টেমে কেবল একটি ইনপুট মান থাকবে, কিন্তু একটি MIMO (একাধিক-ইনপুট একাধিক-আউটপুট) সিস্টেমে একাধিক ইনপুট থাকতে পারে। আমাদের সিস্টেমের সব ইনপুট নির্ধারণ করতে হবে এবং সেগুলোকে একটি ভেক্টরে সাজাতে হবে। ;আউটপুট ভেরিয়েবল: এটি সিস্টেমের আউটপুট মান, এবং MIMO সিস্টেমের ক্ষেত্রে একাধিক আউটপুট থাকতে পারে। আউটপুট ভেরিয়েবলগুলো একে অপরের থেকে স্বতন্ত্র হওয়া উচিত, এবং কেবলমাত্র ইনপুট ভেক্টর ও স্টেট ভেক্টরের রৈখিক সংমিশ্রণের ওপর নির্ভরশীল হওয়া উচিত। ;স্টেট ভেরিয়েবল: স্টেট ভেরিয়েবল হলো সিস্টেমের অভ্যন্তরীণ মানসমূহ, যেগুলো সময়ের সাথে পরিবর্তিত হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, একটি বৈদ্যুতিক সার্কিটে নোড ভোল্টেজ বা মেশ কারেন্ট স্টেট ভেরিয়েবল হতে পারে। একটি যান্ত্রিক সিস্টেমে স্প্রিং, মহাকর্ষ, এবং ড্যাশপট দ্বারা প্রয়োগকৃত বলসমূহ স্টেট ভেরিয়েবল হতে পারে।

আমরা ইনপুট ভেরিয়েবলকে u, আউটপুট ভেরিয়েবলকে y, এবং স্টেট ভেরিয়েবলকে x দ্বারা প্রকাশ করি। মূলত, এই সম্পর্কটি প্রতিষ্ঠিত হয়:

$y=f(x,u)$

যেখানে f(x, u) হলো আমাদের সিস্টেম। এছাড়াও, স্টেট ভেরিয়েবলগুলো বর্তমান স্টেট ও সিস্টেম ইনপুটের ওপর নির্ভর করে পরিবর্তিত হয়:

$x'=g(x,u)$

যেখানে x' হলো স্টেট ভেরিয়েবলগুলোর পরিবর্তনের হার। আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে f(u, x) এবং g(u, x) এর সংজ্ঞা দেব।

মাল্টি-ইনপুট, মাল্টি-আউটপুট

লাপ্লাস ডোমেইনে, যদি আমাদের একাধিক ইনপুট ও আউটপুট বিশিষ্ট সিস্টেম বিবেচনা করতে হয়, তাহলে আমাদের প্রতিটি ইনপুট ও আউটপুটের জন্য সুপারপজিশন নীতির ওপর নির্ভর করে একাধিক একসাথে লাপ্লাস সমীকরণ তৈরি করতে হবে। এই ধরনের সিস্টেমে, ঐতিহ্যগত পদ্ধতি কেবল কাজকে সহজ করে না, বরং সিস্টেম সমীকরণগুলোকে প্রথমে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে রূপান্তর, পরে বিশ্লেষণ, এবং শেষে সময় ডোমেইনে পুনঃরূপান্তর করতে হওয়ায় কাজটি আরও জটিল হয়ে যায়। তবে, লাপ্লাস ডোমেইন পদ্ধতিকে স্টেট-স্পেস পদ্ধতির সঙ্গে মিলিয়ে ব্যবহার করলে উভয় পদ্ধতির সেরা বৈশিষ্ট্যগুলো একত্রে কাজে লাগানো যায়। আমরা MIMO সিস্টেম অধ্যায়ে এই MIMO সিস্টেমগুলো বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব।

স্টেট-স্পেস সমীকরণ

একটি স্টেট-স্পেস পদ্ধতির উপস্থাপনায় আমাদের দুটি সমীকরণ থাকে: একটি সমীকরণ সিস্টেমের অবস্থা নির্ধারণের জন্য, এবং আরেকটি সমীকরণ সিস্টেমের আউটপুট নির্ধারণের জন্য। আমরা y(t) কে সিস্টেমের আউটপুট, x(t) কে সিস্টেমের অবস্থা এবং u(t) কে সিস্টেমের ইনপুট হিসেবে ব্যবহার করি। আমরা x'(t) (প্রাইম চিহ্নিত) কে সিস্টেমের স্টেট ভেক্টরের প্রথম ডেরিভেটিভ হিসেবে বিবেচনা করি, যা বর্তমান অবস্থা এবং ইনপুটের উপর নির্ভরশীল। প্রতীকীভাবে, আমরা বলি যে এখানে রূপান্তর g এবং h রয়েছে, যেগুলো সম্পর্ক প্রদর্শন করে:

$x'(t)=g[t_{0},t,x(t),x(0),u(t)]$ :$y(t)=h[t,x(t),u(t)]$

নোট:
যদি x'(t) এবং y(t) না হয় x(t) এবং u(t) এর রৈখিক সমন্বয়, তবে সেই সিস্টেমকে অরৈখিক বলা হয়। আমরা একটি পরবর্তী অধ্যায়ে অরৈখিক সিস্টেম নিয়ে আলোচনা করার চেষ্টা করব।

প্রথম সমীকরণটি দেখায় যে সিস্টেমের অবস্থা পরিবর্তন নির্ভর করে পূর্ববর্তী অবস্থা, প্রাথমিক অবস্থা, সময় এবং ইনপুটের উপর। দ্বিতীয় সমীকরণটি দেখায় যে আউটপুট নির্ভর করে বর্তমান অবস্থা, ইনপুট এবং বর্তমান সময়ের উপর।

যদি x'(t) এবং y(t) উভয়ই সিস্টেমের অবস্থা এবং ইনপুট ভেক্টরের রৈখিক সমন্বয় হয়, তাহলে সিস্টেমটিকে রৈখিক বলা হয় এবং তখন আমরা সমীকরণগুলিকে ম্যাট্রিক্স আকারে লিখতে পারি:

[স্টেট সমীকরণ]

 :$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

[আউটপুট সমীকরণ]

 :$y(t)=C(t)x(t)+D(t)u(t)$

যদি সিস্টেমটি সময়-অপরিবর্তনশীল হয়, তবে আমরা এটিকে পুনরায় লিখতে পারি:

$x'(t)=Ax(t)+Bu(t)$ :$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

স্টেট সমীকরণ দেখায় কিভাবে বর্তমান অবস্থা এবং ইনপুট দ্বারা ভবিষ্যতের অবস্থা নির্ধারিত হয়। আউটপুট সমীকরণ দেখায় কিভাবে বর্তমান অবস্থা এবং ইনপুট দ্বারা বর্তমান আউটপুট নির্ধারিত হয়। এই সমীকরণগুলো থেকে বোঝা যায় যে, বর্তমান আউটপুট বর্তমান ইনপুট এবং বর্তমান অবস্থার উপর নির্ভরশীল। ভবিষ্যতের অবস্থাও বর্তমান অবস্থা এবং ইনপুটের উপর নির্ভরশীল।

এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে কোনো নির্দিষ্ট সিস্টেমের স্টেট-স্পেস সমীকরণ একক নয়, বরং A, B, C এবং D ম্যাট্রিক্সের সারি অপারেশনের মাধ্যমে এদের অসংখ্যভাবে উপস্থাপন করা যায়। তবে কিছু "স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম" রয়েছে যেগুলো নির্দিষ্ট গণনার ক্ষেত্রে সুবিধাজনক হয়। এসব রূপান্তরের জন্য লিনিয়ার অ্যালজেব্রা সম্পর্কে জ্ঞান থাকা প্রয়োজন।

স্টেট-স্পেস ভিত্তি উপপাদ্য

যে কোনো সিস্টেম যা একটি নির্দিষ্ট সংখ্যক n^তম শ্রেণির ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ বা ডিফারেন্স সমীকরণ দ্বারা বর্ণনা করা যায়, বা যেসব সিস্টেমকে সেগুলোর মাধ্যমে প্রায় অনুমান করা যায়, সেগুলো স্টেট-স্পেস সমীকরণ ব্যবহার করে বর্ণনা করা যায়। তাই স্টেট-স্পেস সমীকরণের সাধারণ সমাধানগুলো ঐসব সব সমীকরণ সেটের সমাধান।

ম্যাট্রিক্স: A B C D

আমাদের সিস্টেমের রূপ:

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {g} [t_{0},t,\mathbf {x} (t),x(0),\mathbf {u} (t)]$ :$\mathbf {y} (t)=\mathbf {h} [t,\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)]$

আমরা এখানে বেশ কিছু রাশি বোল্ড করে দেখিয়েছি যাতে বোঝানো যায় যে এগুলো ভেক্টর হতে পারে, শুধু স্কেলার নয়। যদি সিস্টেমটি সময়-অপরিবর্তনশীল হয়, তবে আমরা সময়চিহ্নগুলো বাদ দিতে পারি:

$\mathbf {x} '(t)=\mathbf {g} [\mathbf {x} (t),x(0),\mathbf {u} (t)]$ :$\mathbf {y} (t)=\mathbf {h} [\mathbf {x} (t),\mathbf {u} (t)]$

এখন, যদি আমরা এই ফাংশনগুলোর ইনপুট এবং স্টেট ভেক্টরের প্রতি আংশিক ডেরিভেটিভ নিই t₀ সময়ে, তাহলে আমরা সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স পাই:

$A=\mathbf {g} _{x}[x(0),x(0),u(0)]$ :$B=\mathbf {g} _{u}[x(0),x(0),u(0)]$ :$C=\mathbf {h} _{x}[x(0),u(0)]$ :$D=\mathbf {h} _{u}[x(0),u(0)]$

আমাদের সময়-অপরিবর্তনশীল স্টেট-স্পেস সমীকরণে আমরা এসব ম্যাট্রিক্স এবং তাদের সম্পর্ক লিখি:

$x'(t)=Ax(t)+Bu(t)$ :$y(t)=Cx(t)+Du(t)$

আমাদের চারটি ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স রয়েছে: A, B, C এবং D। নিচে আমরা এসব ম্যাট্রিক্স ব্যাখ্যা করলাম: ;ম্যাট্রিক্স A: ম্যাট্রিক্স A হল সিস্টেম ম্যাট্রিক্স, এবং এটি বর্তমান অবস্থা কীভাবে অবস্থা পরিবর্তনে প্রভাব ফেলে তা নির্ধারণ করে। যদি অবস্থা পরিবর্তন বর্তমান অবস্থার উপর নির্ভর না করে, তাহলে A একটি শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে। স্টেট ম্যাট্রিক্সের সূচক রূপ e^At কে স্টেট ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স বলা হয়, এবং এটি একটি গুরুত্বপূর্ণ ফাংশন যা আমরা পরে আলোচনা করব। ;ম্যাট্রিক্স B: ম্যাট্রিক্স B হল নিয়ন্ত্রণ ম্যাট্রিক্স, এবং এটি নির্ধারণ করে যে ইনপুট কিভাবে স্টেট পরিবর্তনে প্রভাব ফেলে। যদি ইনপুটের উপর নির্ভর না করে, তবে B শূন্য ম্যাট্রিক্স হবে। ;ম্যাট্রিক্স C: ম্যাট্রিক্স C হল আউটপুট ম্যাট্রিক্স, এবং এটি সিস্টেম স্টেট ও আউটপুটের সম্পর্ক নির্ধারণ করে। ;ম্যাট্রিক্স D: ম্যাট্রিক্স D হল ফিড-ফরোয়ার্ড ম্যাট্রিক্স, যা ইনপুটকে সরাসরি আউটপুটে প্রভাব ফেলতে দেয়। আমরা পূর্বে যেসব সিস্টেম নিয়ে আলোচনা করেছি সেগুলোতে সাধারণত ফিড-ফরোয়ার্ড উপাদান নেই, তাই অধিকাংশ ক্ষেত্রেই D ম্যাট্রিক্স শূন্য হয়।

ম্যাট্রিক্সের মাত্রা

আমরা যেহেতু একাধিক ম্যাট্রিক্স ও ভেক্টরের যোগ ও গুণ করছি, তাই আমাদের নিশ্চিত হতে হবে যে প্রতিটি ম্যাট্রিক্সের মাত্রা পরস্পরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ, নইলে সমীকরণগুলো সংজ্ঞাহীন হয়ে পড়বে। পূর্ণসংখ্যা p, q, এবং r এর জন্য, সিস্টেমের ম্যাট্রিক্স ও ভেক্টরের মাত্রাগুলো নিচের মতো নির্ধারিত হয়:

Vectors	Matrices
$x:p\times 1$ $x':p\times 1$ $u:q\times 1$ $y:r\times 1$	$A:p\times p$ $B:p\times q$ $C:r\times p$ $D:r\times q$

Matrix Dimensions:
A: p × p
B: p × q
C: r × p
D: r × q

যদি ম্যাট্রিক্স ও ভেক্টরের মাত্রাগুলো একে অপরের সাথে সামঞ্জস্যপূর্ণ না হয়, তাহলে সেই সমীকরণগুলো অবৈধ হয়ে পড়বে এবং ফলাফল অর্থহীন হবে। ম্যাট্রিক্স ও ভেক্টরগুলোর মধ্যে গাণিতিক ক্রিয়াকলাপ করার জন্য অবশ্যই তাদের মাত্রা মিলতে হবে।

এই বইয়ের বাকি অংশে আমরা ডান পাশে একটি ছোট টেমপ্লেট ব্যবহার করবো ম্যাট্রিক্সের মাত্রা স্মরণ করিয়ে দিতে, যাতে আমরা পুরো বই জুড়ে একই রকম চিহ্ন ও নোটেশন বজায় রাখতে পারি।

সংকেতের সংক্ষিপ্ত রূপ

সিস্টেমের স্টেট সমীকরণ ও আউটপুট সমীকরণ ম্যাট্রিক্স A, B, C এবং D দ্বারা প্রকাশ করা যায়। যেহেতু এই সমীকরণগুলোর গঠন সর্বদা একই রকম হয়, তাই একটি সজ্জিত চতুষ্টয় ব্যবহার করে একটি সিস্টেমকে প্রকাশ করা যায়। একটি পূর্ণাঙ্গ স্টেট-স্পেস উপস্থাপনা বোঝাতে আমরা সংক্ষেপে (A, B, C, D) রূপ ব্যবহার করতে পারি।

এছাড়াও, যেহেতু স্টেট সমীকরণটি আমাদের পরবর্তী বিশ্লেষণের জন্য অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ, তাই শুধুমাত্র স্টেট সমীকরণ বোঝাতে আমরা একটি সজ্জিত জোড়া (A, B) ব্যবহার করতে পারি:

$(A,B)\to x'=Ax+Bu$

$(A,B,C,D)\to \left\{{\begin{matrix}x'=Ax+Bu\\y=Cx+Du\end{matrix}}\right.$

স্টেট-স্পেস সমীকরণ প্রাপ্তি

স্টেট সমীকরণের সৌন্দর্য হলো, এগুলো এমনভাবে ব্যবহৃত হতে পারে যাতে ধারাবাহিক এবং বিযুক্ত উভয় প্রকৃতির সিস্টেমকে স্বচ্ছভাবে বর্ণনা করা যায়। কিছু পাঠ্যপুস্তকে ধারাবাহিক ও বিযুক্ত সিস্টেমের জন্য আলাদা সংকেত ব্যবহার করা হয়, কিন্তু এই গ্রন্থে আমরা সে ধরনের পার্থক্য করব না। বরং, আমরা ধারাবাহিক এবং বিযুক্ত উভয় সিস্টেমের জন্য সাধারণ সহগ ম্যাট্রিক্স A, B, C এবং D ব্যবহার করব। মাঝে মাঝে আমরা সাবস্ক্রিপ্ট C ব্যবহার করে ধারাবাহিক সময়ের সংস্করণ এবং D ব্যবহার করে বিযুক্ত সময়ের সংস্করণ চিহ্নিত করব। অন্যান্য পাঠ্যে ধারাবাহিক সিস্টেমের জন্য F, G, H এবং বিযুক্ত সিস্টেমের জন্য Γ ও Θ ব্যবহার করা হয়। তবে যদি আমরা আমাদের সিস্টেমের টাইম-ডোমেইনের ধরন সম্পর্কে সচেতন থাকি, তাহলে এই সংকেত পরিবর্তন নিয়ে উদ্বিগ্ন হওয়ার দরকার নেই।

ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে

ধরা যাক, আমাদের কাছে একটি সাধারণ তৃতীয়-ক্রমের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ আছে, যেখানে ইনপুট হলো u(t) এবং আউটপুট হলো y(t):

${\frac {d^{3}y(t)}{dt^{3}}}+a_{2}{\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}+a_{1}{\frac {dy(t)}{dt}}+a_{0}y(t)=u(t)$

আমরা নিচেরভাবে স্টেট ভেরিয়েবল ভেক্টর x সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$x_{1}=y(t)$

$x_{2}={\frac {dy(t)}{dt}}$

$x_{3}={\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}$

এখন আমাদের কাছে থাকবে নিচের ৩টি প্রথম-ক্রমের সমীকরণ:

$x_{1}'=x_{2}$

$x_{2}'=x_{3}$

$x_{3}'={\frac {d^{3}y(t)}{dt^{3}}}$

এখন, আমরা স্টেট ভেক্টর x কে এর উপাদানগুলোর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি, এবং ভবিষ্যৎ স্টেট ভেক্টরও তৈরি করতে পারি:

$x={\begin{bmatrix}x_{1}\ x_{2}\ x_{3}\end{bmatrix}}$,    $x'={\begin{bmatrix}x_{1}'\ x_{2}'\ x_{3}'\end{bmatrix}}$

এবং এর সাহায্যে আমরা সিস্টেমের স্টেট-স্পেস সমীকরণগুলো সাজাতে পারি:

$x'={\begin{bmatrix}0&1&0\ 0&0&1\ -a_{0}&-a_{1}&-a_{2}\end{bmatrix}}x(t)+{\begin{bmatrix}0\ 0\ 1\end{bmatrix}}u(t)$

$y(t)={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}x(t)$

নিশ্চিতভাবেই এটি একটি সাধারণ উদাহরণ, তবে অধিকাংশ পাঠকের কাছে এই পদ্ধতিটি স্পষ্ট হয়ে যাবে।

ট্রান্সফার ফাংশন থেকে

লাপ্লাস ডোমেইনের ট্রান্সফার ফাংশন থেকে স্টেট-স্পেস সমীকরণ প্রাপ্তির পদ্ধতি টাইম-ডোমেইনের ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ থেকে প্রাপ্তির পদ্ধতির সঙ্গে অনেকটাই সাদৃশ্যপূর্ণ। সিস্টেম বর্ণনাকে লাপ্লাস ডোমেইন থেকে স্টেট-স্পেস ডোমেইনে রূপান্তরের প্রক্রিয়াকে রিয়ালাইজেশন বলা হয়। আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে রিয়ালাইজেশন নিয়ে বিস্তারিত আলোচনা করব।

সাধারণভাবে, ধরা যাক আমাদের একটি ট্রান্সফার ফাংশন আছে এইরূপ:

$T(s)={\frac {s^{m}+a_{m-1}s^{m-1}+\cdots +a_{0}}{s^{n}+b_{n-1}s^{n-1}+\cdots +b_{0}}}$

আমরা নিচেরভাবে আমাদের A, B, C এবং D ম্যাট্রিক্সগুলো নির্ধারণ করতে পারি:

এই রূপকে সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের নিয়ন্ত্রণযোগ্য ক্যাননিকাল রূপ বলা হয়, এবং আমরা এটি পরবর্তীতে বিস্তারিতভাবে আলোচনা করব। খেয়াল করুন, এই পদ্ধতি ব্যবহার করতে হলে গুণিতক বহুপদী (হর এবং অংক) উভয়ই monic হতে হবে, অর্থাৎ সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ ১ হতে হবে। যদি তা না হয়, তাহলে প্রথমে ঐ সহগ দিয়ে সমীকরণকে ভাগ করে ১ করতে হবে।

অবস্থার-স্থান উপস্থাপনা

একটি গুরুত্বপূর্ণ বিষয়ে মনে রাখা প্রয়োজন যে, x অবস্থার ভেরিয়েবলগুলো ব্যবহারকারী-নির্ধারিত এবং তাই এরা স্বেচ্ছাধীন। একটি নির্দিষ্ট সমস্যার জন্য x সংজ্ঞায়িত করার অসংখ্য উপায় রয়েছে, যার প্রতিটি ভিন্ন অবস্থার-স্থান সমীকরণে নিয়ে যেতে পারে।

বিঃদ্রঃ: একটি সিস্টেমকে অবস্থার-স্থান সমীকরণ ব্যবহার করে উপস্থাপন করার অসংখ্য সমতুল্য উপায় রয়েছে। কিছু উপায় অন্যদের চেয়ে উত্তম। একবার এই অবস্থার-স্থান সমীকরণ নির্ধারিত হলে, প্রয়োজনে সেগুলোকে একটি নির্দিষ্ট রূপে রূপান্তর করা যেতে পারে।

পূর্বের অবিচ্ছিন্ন-কাল উদাহরণটি বিবেচনা করুন। আমরা সমীকরণটি নিম্নরূপে পুনরায় লিখতে পারি:

${\frac {d}{dt}}\left[{\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}+a_{2}{\frac {dy(t)}{dt}}+a_{1}y(t)\right]+a_{0}y(t)=u(t)$

এখন আমরা অবস্থার ভেরিয়েবলগুলো সংজ্ঞায়িত করি:

$x_{1}=y(t)$

$x_{2}={\frac {dy(t)}{dt}}$

$x_{3}={\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}+a_{2}{\frac {dy(t)}{dt}}+a_{1}y(t)$

যার প্রথম-ধরনের ডেরিভেটিভগুলো হলো:

$x_{1}'={\frac {dy(t)}{dt}}=x_{2}$

$x_{2}'={\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}=-a_{1}x_{1}-a_{2}x_{2}+x_{3}$ (এখানে একটি সম্ভাব্য ত্রুটি থাকতে পারে। এটি হয়তো নিচের ডেরিভেটিভ ${\frac {d}{dt}}\left[\right]$ -এর মধ্যে থাকা ${\frac {d^{2}y(t)}{dt^{2}}}+a_{2}{\frac {dy(t)}{dt}}+a_{1}y(t)$ কে যথাযথভাবে বিবেচনা করেনি।)

$x_{3}'=-a_{0}y(t)+u(t)$

তাহলে সিস্টেমের অবস্থার-স্থান সমীকরণ হবে:

$x'={\begin{bmatrix}0&1&0\ -a_{1}&-a_{2}&1\ -a_{0}&0&0\end{bmatrix}}x(t)+{\begin{bmatrix}0\ 0\ 1\end{bmatrix}}u(t)$

$y(t)={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}x(t)$

x ভেরিয়েবল যেকোনো রূপান্তরের মাধ্যমে ব্যবহার করা যেতে পারে গণিতগত সুবিধার্থে। তবে y এবং u ভেরিয়েবলগুলো শারীরিক সংকেত নির্দেশ করে এবং এগুলো x এর মত স্বেচ্ছাধীনভাবে পরিবর্তন বা রূপান্তরযোগ্য নয়।

উদাহরণ: ডামি ভেরিয়েবল

একটি নির্দিষ্ট চালকসহ বিমানের উচ্চতা নিয়ন্ত্রণ নিম্নরূপভাবে দেওয়া যায়:

$\theta ''(t)=\alpha +\delta$

যেখানে α হলো বিমানের চলাচলের দিক, θ হলো বিমানের মুখাবয়ব, এবং δ হলো এলেরনের কৌণিক মান (পাইলটের নিয়ন্ত্রণ ইনপুট)। এই সমীকরণটি সঠিক ফরম্যাটে নেই, তাই আমাদের কিছু ডামি ভেরিয়েবল তৈরি করতে হবে:

$\theta _{1}=\theta$ :$\theta _{1}'=\theta _{2}$ :$\theta _{2}'=\alpha +\delta$

এতে আমরা পাই অবস্থার সমীকরণ:

${\begin{bmatrix}\theta _{1}\ \theta _{2}\end{bmatrix}}'={\begin{bmatrix}0&1\ 0&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\theta _{1}\ \theta _{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0\ 1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\alpha \ \delta \end{bmatrix}}$

এই সমীকরণ থেকে আমরা দেখতে পাচ্ছি, যদিও এটি একটি বৈধ অবস্থার-সমীকরণ, θ₁ এবং θ₂ ভেরিয়েবলগুলো কোনো পরিমাপযোগ্য শারীরিক ঘটনাকে নির্দেশ করে না; বরং এগুলো ব্যবহারকারীর তৈরি ডামি ভেরিয়েবল যা সিস্টেম সংজ্ঞায়নের জন্য ব্যবহৃত হয়েছে। তবে α এবং δ ভেরিয়েবলগুলো শারীরিক মান নির্দেশ করে এবং এগুলো পরিবর্তনযোগ্য নয়।

বিযুক্তীকরণ

যদি আমাদের কাছে একটি সিস্টেম (A, B, C, D) থাকে যা অবিচ্ছিন্ন কালে সংজ্ঞায়িত, তবে আমরা সেটিকে বিযুক্ত করতে পারি যাতে সমতুল্য প্রক্রিয়া একটি ডিজিটাল কম্পিউটারে সম্পাদন করা যায়। ডেরিভেটিভের সংজ্ঞা ব্যবহার করে আমরা পাই:

$x'(t)=\lim _{T\to 0}{\frac {x(t+T)-x(t)}{T}}$

এবং কিছু আপ্রক্সিমেশনসহ (এবং এখনই লিমিট উপেক্ষা করে) এটি অবস্থার সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে পাই:

$\lim _{T\to 0}{\frac {x(t+T)-x(t)}{T}}=Ax(t)+Bu(t)$

$x(t+T)=x(t)+Ax(t)T+Bu(t)T$

$x(t+T)=(1+AT)x(t)+(BT)u(t)$

আমরা লিমিট বাদ দিতে পারি কারণ একটি বিযুক্ত সিস্টেমে স্যাম্পলগুলোর মধ্যবর্তী সময়ের ব্যবধান একটি ধনাত্মক এবং অপরিহার্য মান। সংজ্ঞা অনুযায়ী, একটি বিযুক্ত সিস্টেম শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সময়বিন্দুতে সংজ্ঞায়িত, ধারাবাহিক সব পয়েন্টে নয়। যদি সেই বিন্দুগুলো প্রতি T সেকেন্ডে স্যাম্পল হয়, তবে স্যাম্পলসমূহ t = kT এ ঘটবে, যেখানে k একটি পূর্ণসংখ্যা। t এর পরিবর্তে kT বসালে পাই:

$x(kT+T)=(1+AT)x(kT)+TBu(kT)$

বা, আগের মতো স্কয়ার-ব্র্যাকেট সংক্ষিপ্ত রূপ ব্যবহার করে লেখা যায়:

$x[k+1]=(1+AT)x[k]+TBu[k]$

এই রূপে অবস্থার-স্থান সিস্টেম ডিজিটাল কম্পিউটার সফটওয়্যারে সহজেই প্রয়োগ করা যায়, জটিল অ্যানালগ হার্ডওয়্যার ছাড়াই। আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে এই সম্পর্ক এবং ডিজিটাল সিস্টেম নিয়ে আরও বিস্তারিত আলোচনা করব।

আমরা বিযুক্ত-কাল অবস্থার-স্থান সমীকরণ লিখব:

$x[n+1]=A_{d}x[n]+B_{d}u[n]$ :$y[n]=C_{d}x[n]+D_{d}u[n]$

নোটেশন সংক্রান্ত মন্তব্য

T ভেরিয়েবলটি নিয়ন্ত্রণ সিস্টেমে একটি প্রচলিত রূপ, বিশেষ করে অবিচ্ছিন্ন-কাল সিস্টেমের প্রারম্ভ ও সমাপ্তি বিন্দু, অথবা ডিজিটাল সিস্টেমের স্যাম্পলিং টাইম বোঝাতে ব্যবহৃত হয়। তবে, T অক্ষরটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোজ বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়। এই বিভ্রান্তি দূর করতে আমরা ট্রান্সপোজ বোঝাতে প্রাইম চিহ্ন ব্যবহার করব:

$A^{T}\to A'$

যেখানে A' হলো ম্যাট্রিক্স A-এর ট্রান্সপোজ।

প্রাইম চিহ্নটি সাধারণত সময়-ডেরিভেটিভ বোঝাতেও ব্যবহৃত হয়। অধিকাংশ ম্যাট্রিক্সই যেহেতু সময়-নিরপেক্ষ। তাই এখানে কোনো দ্ব্যর্থতা নেই। তবে, কোনো ম্যাট্রিক্স যদি সময়-নির্ভর হয়, তাহলে নিচের রূপে চিহ্নিত করব:

$A(t)'$ ট্রান্সপোজ।

$A'(t)$ সময়-ডেরিভেটিভ।

সময়-নির্ভর কিছু ভেরিয়েবল যেমন x, y, এবং u প্রথাগতভাবে (t) দিয়ে লেখা হয় না। এসব ভেরিয়েবলের ক্ষেত্রে প্রাইম চিহ্ন ডিফল্টভাবে টাইম-ডেরিভেটিভ বোঝাবে, যেমন অবস্থার সমীকরণে দেখা যায়। যদি এই ভেক্টরগুলোর ট্রান্সপোজ নিতে হয়, তাহলে আমরা স্পষ্টভাবে (t)' চিহ্ন যোগ করব।

যেখানে হার্মিশিয়ান ট্রান্সপোজ দরকার হবে, সেখানে আমরা নিচের রূপ ব্যবহার করব:

$A^{H}$

এই নোটেশন অন্যান্য সাহিত্যে প্রচলিত এবং এখানে কোনো দ্ব্যর্থতা তৈরি করে না।

ম্যাটল্যাব উপস্থাপনা

This operation can be performed using this MATLAB command:

ss

স্টেট-স্পেস সিস্টেমগুলোকে ম্যাটল্যাব-এ A, B, C এবং D এই ৪টি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করে উপস্থাপন করা যায়। আমরা ss ফাংশন ব্যবহার করে একটি সিস্টেম ডেটা স্ট্রাকচার তৈরি করতে পারি:

sys = ss(A, B, C, D);

এইভাবে তৈরি সিস্টেমগুলোকে পূর্বে বর্ণিত ট্রান্সফার ফাংশন বর্ণনার মতোই ব্যবহার ও বিশ্লেষণ করা যায়। ট্রান্সফার ফাংশন থেকে স্টেট-স্পেস উপস্থাপনায় রূপান্তর করতে আমরা tf2ss ফাংশন ব্যবহার করতে পারি:

[A, B, C, D] = tf2ss(num, den);

এবং এর বিপরীত রূপান্তর করার জন্য আমরা ss2tf ফাংশন ব্যবহার করতে পারি:

[num, den] = ss2tf(A, B, C, D);

← Poles and Zeros

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Linear System Solutions →