নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/সিস্টেম বিলম্ব

বিলম্ব

বিশ্লেষণের সুবিধার্থে কোন একট যান্ত্রিক সিস্টেম বা ব্যাবস্থাকে এমনভাবে নির্মাণ করা যেতে পারে যাতে তার মধ্যে একটি সহজাত বিলম্ব -এর প্রবৃত্তি বা ডিলে বিদ্যমান থাকে। কোন সিস্টেমে বিলম্ব বা ডিলে বিদ্যমান থাকলে তা সিস্টেমে নিবেশিত সংকেত বা ইনপুট সিগন্যালের একটি সময়গত পরিবর্তন ঘটায়, কিন্তু এর ফলে সংকেতের গুণগত বৈশিষ্ট্যে কোনও প্রভাব পরেনা। একটি আদর্শ বিলম্ব হল সিস্টেমের এমন একটি বৈশিষ্ট্য যা সিগন্যাল বা সংকেতের গঠনগত বৈশিষ্ট্যের একেবারেই কোনো পরিবর্তন না এনে শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সময়কাল পর্যন্ত সিগন্যাল বা সংকেতকে বিলম্বিত করে। বিলম্বের কিছু নির্দিষ্ট প্রকার, যেমন প্রক্রিয়াকরণ বিলম্ব (প্রসেসিং ডিলে) বা সংকেত প্রেরণ বিলম্ব (ট্রান্সমিশন ডিলে, ইনপুট থেকে আউটপুটে সংকেত বা সিগন্যাল প্রেরনে যে বিলম্ব হয়) -এই সমস্ত কিছু অনিচ্ছাকৃত কারনবশত হয়। অন্যদিকে, কিছু বিলম্ব যেমন সিঙ্ক্রোনাইজেশন বিলম্ব -এগুলি একটি সিস্টেমের অবিচ্ছেদ্য অংশ। এই অধ্যায়ে আমরা আলোচনা করব সিস্টেমে কীভাবে বিলম্ব বা ডিলে ব্যবহৃত হয় এবং ল্যাপ্লেস গাণিতিক ক্ষেত্রে (ডোমেইনে) তা কীভাবে উপস্থাপন করা হয়। একবার বিলম্বকে ল্যাপ্লেস ডোমেইনে উপস্থাপন করা হলে, নির্দিষ্ট চলরাশির পরিবর্তনের মাধ্যমে অন্যান্য গাণিতিক রূপয়ান্তরন প্রক্রিয়ার সাহায্যে বিলম্বকে সহজেই ব্যাখা করা যায়।

আদর্শ বিলম্ব

আদর্শ বিলম্ব কোন ব্যাবস্থা বা সিস্টেমের ইনপুট সিগন্যাল বা নিবেশিত সংকেতকে, সময়ের সাপেক্ষে তরান্বিত করে। আদর্শ বিলম্বের ফলে সিস্টেমের আউটপুট বা বহিঃসংকেত একটি সীমিত, পূর্বনির্ধারিত সময়ের জন্য বিলম্বিত হয়।

সময় পরিবর্তন

ধরা যাক আমাদের কাছে একটি ফাংশন আছে, এবার আমরা সেই ফাংশনের সময়কালে কিছুটা পরিবর্তিত করা হল এবং সেই পরিবর্তনের মান একটি নির্দিষ্ট ধ্রুবক সময়কাল T -এর সমান। এবার আমরা এই সময়য় সাপেক্ষে বিলম্বিত ফাংশনকে আমরা গাণিতিকভাবে x(t - T) -এর মাধ্যমে প্রকাশ করতে পারি। তাহলে এবার x(t - T) -এর ল্যাপ্লেস রূপান্তরটি হবে:

${\mathcal {L}}\{x(t-T)\}\Leftrightarrow e^{-sT}X(s)$

- আমরা দেখতে পাচ্ছি যে, সময় পরিবর্তনের মান (T) ল্যাপ্লেস ক্ষেত্রে পরিবর্তিত জটিল রাশির সূচকে পরিনত হয়েছে।

Z-গাণিতিক ক্ষেত্রে (ডোমেইন) পরিবর্তন

যেহেতু আমরা Z গাণিতিক রূপান্তরন এবং স্টার গাণিতিক রূপান্তরনের মধ্যে নিম্নলিখিত সাধারণ সম্পর্কটি জানি:

$z\Leftrightarrow e^{sT}$:

এর মাধ্যমে আমরা দেখাতে পারি, যে বিচ্ছিন্ন-সময় (ডিসক্রিট-টাইম) সাপেক্ষে একটি সিস্টেমের সময় পরিবর্তনকে Z (জেড) গাণিতিক রূপান্তরনের মাধ্যমে কিভাবে প্রকাশ করা যায়:

$x((n-n_{s})\cdot T)\equiv x[n-n_{s}]\Leftrightarrow z^{-n_{s}}X(z)$

বিলম্ব এবং স্থিতিশীলতা

উপরের সমীকরন থেকে আমরা দেখছি যে কোন সিস্টেমের সময় এককের পরিবর্তন ঘটিয়ে বিলম্ব ঘটালে সেই পরিবর্তিত সময়ের মান সিস্টেমের ল্যাপ্লেস রূপান্তর চিহ্নিতকারী জটিল রাশির সূচকীয় পরিবর্তন ঘটায়। এর মাধ্যমে ধারনা করা যেতে পারে যে, সময়ের পরিবর্তন কোন সিস্টেমের স্থিতিশীলতার উপর প্রভাব ফেলতে পারে এবং তার ফলে সিস্টেম অস্থির হইয়ে উঠতে পারে। এই সমস্যার সমাধানের জন্য একটি নতুন পরামিতির ধারনা বিস্তারলাভ করেছে যাকে মূলত সময় সীমানা বা টাইম মার্জিন হিসাবে সম্বোধন করা হয়। এই পরামিতির মাধ্যমে আমরা পরিমাপ করে পারি যে, কোন সিস্টেমের কতখানি সময় পরিবর্তন করা উপযুক্ত, অর্থাৎ সিস্টেমের ইনপুট ফাংশন বা নিবেশিত ফাংশনে ঠিক কতখানি সময় পরিবর্তন করলে সিস্টেমে অস্থির হবেনা। যদি কোন সিস্টেমে সময় পরিবর্তন করার পরও সিস্টেমটি তার স্থিতাবস্থা হারায়না তাহলে আমরা বলে পারি যে সেই সিস্টেমের টাইম মার্জিন বা সময় সীমানার মান অসীম।

বিলম্ব সীমানা(ডিলে মার্জিন)

সাইন তরঙ্গ সিগন্যাল -এর ক্ষেত্রে সময় পরিবর্তন বা টাইম সিফট সম্পর্কে আলোচনা করা অপ্রয়োজনীয়, কারন এই ধরনের সংকেতে সময়ের থেকে তরঙ্গের ফেজ্‌ বা দশা -এর গুরুত্ব বেশি। তাই এক্ষেত্রে আমরা সিগন্যাল বা সংকেতের দশা পরিবর্তনের উপর মনোনিবেশ করব। সময় পরিবর্তনের জন্য যেমন আছে টাইম মার্জিন বা সময় সীমানা সেরকমই দশা পরিবর্তনের ক্ষেত্রে আছে ফেজ্‌ মার্জিন বা দশা সীমানা। সিস্টেমের ইনপুট সিগন্যাল বা নিবেশিত সংকেতে যে পরিমান দশা পরিবর্তন ঘটালে সিস্টেম অস্থির হবেনা সেই মানই হল দশা সীমানা বা ফেজ্‌ মার্জিন।

দশা সীমানা বাফেজ্‌ মার্জিন -কে গ্রীক অক্ষর φ (ফাই) -এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা যায়। দশা সীমানা -কে গাণিতিক ভাষায় একটি দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেম বিশ্লেষণকারী সমীকরনের মাধ্যমে প্রদর্শন করা যায়,

[বিলম্ব সীমানা]

$\phi _{m}=\tan ^{-1}\left[{\frac {2\zeta }{({\sqrt {4\zeta ^{4}+1}}-2\zeta ^{2})^{1/2}}}\right]$

দশা সীমানা -এর আনুমানিক মান নিম্নলিখিত সম্পর্ক দ্বারা নির্ধারিত করা হয়,

[বিলম্ব সীমানা (আনুমানিক)]

$\phi _{m}\approx 100\zeta$

-এখানে গ্রীক অক্ষর জীটা (ζ) -এর মাধ্যমে সিস্টেমের অবমন্দন অনুপাত বা ড্যাম্পিং রেশিও -কে নির্দেশ করা হয়। আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে এই রাশি সম্পর্কে আরও বিস্তারিত আলোচনা করব।

গাণিতিক রূপান্তরনের ক্ষেত্রে বিলম্বের প্রভাব

যেখানে সময় পরিবর্তনের জন্য সিস্টেম প্রভাবিত হয় অথবা যেখানে সিস্টেমে প্রক্রিয়াকরন বিলম্ব বর্তমান থাকে, সাধারণ জেড-রূপান্তরন সেইসকল সিস্টেমের ক্ষেত্রে প্রভাবশালী নয়। তবে এইসকল ক্ষেত্রে জেড রূপান্তরনকে কার্যকরী করে তুলতে সামান্য পদ্ধতিগত পরিবর্তন করা হয়। জেড রূপান্তরনের এই বিশেষ পরিবর্তিত সংস্করণটিকে অ্যাডভান্সড জেড-ট্রান্সফর্ম বা উন্নত জেড-রূপান্তরন বলা হয়।

বিলম্বিত তারকা রূপান্তর (ডিলেড স্টার ট্রান্সফর্ম)

আদর্শ বিলম্ব বা আইডিয়াল ডিলের ধারনা প্রদর্শনের জন্য, আমরা এখানে দেখাবো যে কিভাবে স্টার ট্রান্সফর্ম বা তারকা রূপান্তর কোন সিস্টেমের ইনপুট সিগন্যাল বা নিবেশিত সংকেতের সময় পরিবর্তনকে প্রকাশ করা যায়। ধরা যাক ইনপুট সিগন্যালে বিলম্ব বা ডিলে -এর পরিমান হল T. তাহলে, :$X^{*}(s,\Delta )$ -এই ফাংশনের মাধ্যমে বিলম্বিত তারকা রূপান্তর বা স্টার ট্রান্সফর্মকে নির্দেশিত করা হয় যেখানে Δ হল একটি বিলম্ব পরামিতি বা ডিলে প্যারামিটার। বিলম্বিত তারকা রূপান্তর বা ডিলেড স্টার ট্রান্সফর্ম-কে গানিতিকভাবে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়:

[বিলম্বিত তারকা রূপান্তর]

$X^{*}(s,\Delta )={\mathcal {L}}^{*}\left\{x(t-\Delta )\right\}=X(s)e^{-\Delta Ts}$

অর্থাৎ, তারকা রূপান্তরনের ক্ষেত্রে, সময়ের বিলম্বিত মানকে রূপান্তরিত ক্ষেত্রে একটি ক্ষয়প্রাপ্ত সূচকীয় মানের দ্বারা গুণ করা হয়।

বিলম্বিত জেড রূপান্তরন

যেহেতু আমরা জানি যে তারকা রূপান্তরন বা স্টার ট্রান্সফর্ম জেড রুপান্তরন সাথে নিম্নলিখিত চলরাশির পরিবর্তনের মাধ্যমে সম্পর্কিত:

$z=e^{-sT}$

উপরের ফলাফলটি ব্যাখ্যা করে আমরা দেখাতে পারি যে জেড রূপান্তরন সিস্টেমের বিলম্বের প্রতি কীভাবে প্রতিক্রিয়া দেখায়:

${\mathcal {Z}}(x[t-T])=X(z)z^{-T}$

জেড রূপান্তরনের ধারনা অনুসারে এই ফলাফল প্রত্যাশিত ছিল।

এখন আমরা জানি যে, কিভাবে সময়ের পরিবর্তনের ফলে সিস্টেমের জেড রূপান্তরনে প্রভাব ফেলে, জেড রূপান্তরনের এই পরিবর্তনকে বিশ্লেষনের সুবিধার্থে বিলম্বিত জেড রূপান্তরন বা ডিলেড জেড ট্রান্সফর্ম হিসাবে অভিহিত করা হয়। বিলম্বিত জেড রূপান্তরন একটি ফাংশন যার দুটি চলরাশি বর্তমান z এবং Δ, একে গানিতিকভাবে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

$X(z,\Delta )={\mathcal {Z}}\left\{x(t-\Delta )\right\}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}$

এবং অবশেষে:

[বিলম্বিত জেড রূপান্তরন]

${\mathcal {Z}}(x[n],\Delta )=X(z,\Delta )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n-\Delta ]z^{-n}$

পরিবর্তিত জেড রূপান্তরন

বিলম্বিত জেড রুপান্তরনের বেশ কিছু ব্যাবহার আছে, তবে গনিতজ্ঞ ও প্রকৌশলবিদরা জেড রূপান্তরনের একটি পরিবর্তিত এবং আরও বেশি সুবিধাযুক্ত একটি সংস্করনের উদ্ভাবন করেছে। জেড রূপান্তরনের এই নতুন সংস্করনঅটি বিলম্বিত জেড রূপান্তরনের সমতুল্য, কিন্তু নতুন সংস্করনে চলরাশির সামান্য পরিবর্তন আছে। এই নতুন সংস্করন মডিফায়েড জেড ট্রান্সফর্ম বা পরিবর্তিত জেড রূপান্তরন নামে পরিচিত। এই পরিবর্তিত জেড রূপান্তরন -কে বিলম্বিত জেড রূপান্তরন -এর মাধ্যমে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

$X(z,m)=X(z,\Delta ){\big |}_{\Delta \to 1-m}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}{\big |}_{\Delta \to 1-m}$

এবং স্পষ্টভাবে বলতে গেলে:

[পরিবর্তিত জেড রূপান্তরন]

$X(z,m)={\mathcal {Z}}(x[n],m)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n+m-1]z^{-n}$

← নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/স্যাম্পলড ডেটা সিস্টেম

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/পোল ও জিরো →