নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/সময় ভেদে পরিবর্তনশীল সিস্টেম সমাধান

সাধারণ টাইম-ভেরিয়েন্ট সমাধান

স্টেট-স্পেস সমীকরণসমূহ টাইম-ভেরিয়েন্ট (সময়-পরিবর্তনশীল) সিস্টেমের জন্য সমাধান করা যায়, তবে এই সমাধান টাইম-ইনভেরিয়েন্ট (সময়-অপরিবর্তনশীল) সিস্টেমের তুলনায় অনেক বেশি জটিল। আমাদের টাইম-ভেরিয়েন্ট স্টেট সমীকরণ নিচে দেওয়া হলো:

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)u(t)$

আমরা বলতে পারি, টাইম-ভেরিয়েন্ট স্টেট-সমীকরণের সাধারণ সমাধান এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়:

[Time-Variant General Solution]

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

Matrix Dimensions:
A: p × p
B: p × q
C: r × p
D: r × q

$\phi$ ফাংশনটিকে স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স বলা হয়, কারণ এটি (টাইম-ইনভেরিয়েন্ট কেসে ম্যাট্রিক্স এক্সপোনেনশিয়ালের মতো) স্টেট সমীকরণে স্টেটগুলোর পরিবর্তন নিয়ন্ত্রণ করে। তবে, টাইম-ইনভেরিয়েন্ট কেসের মতো এটিকে একটি সাধারণ এক্সপোনেনশিয়াল রূপে সংজ্ঞায়িত করা যায় না। প্রকৃতপক্ষে, $\phi$ সাধারণভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায় না, কারণ এটি প্রতিটি সিস্টেমের জন্য আলাদা হবে। তবে, স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স কিছু মৌলিক বৈশিষ্ট্য অনুসরণ করে, যেগুলোর মাধ্যমে আমরা এটি নির্ধারণ করতে পারি।

একটি টাইম-ভেরিয়েন্ট সিস্টেমে, সাধারণ সমাধান তখনই পাওয়া যায় যখন স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স নির্ধারিত হয়। এই কারণেই, এখানে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো সেই ম্যাট্রিক্সটি বের করা। আমরা নিচে সেটির সমাধান নিয়ে আলোচনা করব।

স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স

নোট:
স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স $\phi$ হলো দুটি চলকের একটি ম্যাট্রিক্স ফাংশন (আমরা এখানে t এবং τ বলব)। একবার এর রূপ নির্ধারিত হয়ে গেলে, আমরা τ এর স্থানে প্রাথমিক সময় t₀ বসাবো। এই ম্যাট্রিক্সটির প্রকৃতি ও তার গুণাবলির কারণে, এটি সাধারণত এক্সপোনেনশিয়াল বা সাইনুসয়েডাল ফাংশন নিয়ে গঠিত হয়। স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সের সঠিক রূপ নির্ভর করে সংশ্লিষ্ট সিস্টেম এবং তার ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের ওপর। এই ম্যাট্রিক্সের জন্য কোনো একক "টেমপ্লেট সমাধান" নেই।

স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স $\phi$ সম্পূর্ণ অজানা নয়; এটি অবশ্যই নিচের সম্পর্কগুলো মেনে চলে:

${\frac {\partial \phi (t,t_{0})}{\partial t}}=A(t)\phi (t,t_{0})$

$\phi (\tau ,\tau )=I$

এছাড়াও $\phi$ এর নিম্নোক্ত গুণাবলিও থাকতে হবে:

১.	$\phi (t_{2},t_{1})\phi (t_{1},t_{0})=\phi (t_{2},t_{0})$
২.	$\phi ^{-1}(t,\tau )=\phi (\tau ,t)$
৩.	$\phi ^{-1}(t,\tau )\phi (t,\tau )=I$
৪.	${\frac {d\phi (t_{0},t_{0})}{dt}}=A(t)$

যদি সিস্টেমটি টাইম-ইনভেরিয়েন্ট হয়, তাহলে আমরা $\phi$ কে নিচেরভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$\phi (t,t_{0})=e^{A(t-t_{0})}$

পাঠক নিশ্চিত হতে পারেন যে টাইম-ইনভেরিয়েন্ট সিস্টেমের জন্য এই সমাধান উপরের সমস্ত বৈশিষ্ট্য পূরণ করে। তবে, টাইম-ভেরিয়েন্ট ক্ষেত্রে, অনেক ভিন্ন ভিন্ন ফাংশন এই শর্তগুলো পূরণ করতে পারে, এবং সমাধান নির্ভর করে সিস্টেমের কাঠামোর ওপর। টাইম-ভেরিয়েন্ট সমাধানের বিশ্লেষণ চালিয়ে যেতে হলে স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স অবশ্যই নির্ধারণ করতে হবে। আমরা নিচে সেই ম্যাট্রিক্স নির্ধারণের কয়েকটি পদ্ধতি আলোচনা করব।

এই অংশটির বাংলা অনুবাদ নিচে প্রদান করা হলো, যেখানে মূল উইকিমার্কআপ ও গাণিতিক রূপ সংরক্ষণ করা হয়েছে:

সময়-ভেদী, শূন্য ইনপুট

সবচেয়ে মৌলিক ক্ষেত্রে, আমরা একটি শূন্য ইনপুট বিশিষ্ট সিস্টেম বিবেচনা করব। যদি সিস্টেমের কোনো ইনপুট না থাকে, তবে অবস্থা সমীকরণটি হবে:

$x'(t)=A(t)x(t)$

এবং আমরা এই সিস্টেমটির প্রতিক্রিয়া নিয়ে আগ্রহী সময় ব্যবধানে T = (a, b)। এই ক্ষেত্রে আমাদের প্রথম কাজ হবে উপরোক্ত সমীকরণের একটি মূলগত ম্যাট্রিক্স খুঁজে বের করা। মূলগত ম্যাট্রিক্স সম্পর্কিত বিস্তারিত নিচে দেওয়া হলো:

মূলগত ম্যাট্রিক্স

এখানে x একটি n × 1 ভেক্টর, এবং A একটি n × n ম্যাট্রিক্স।

নিম্নোক্ত সমীকরণ দেওয়া আছে:

$x'(t)=A(t)x(t)$

এই সমীকরণের সমাধানগুলো T = (a, b) ব্যবধানে একটি n-মাত্রিক ভেক্টর স্থান গঠন করে। সমীকরণের যেকোনো nটি রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান {x₁, x₂, ..., x_n} কে বলা হয় সমাধানের একটি মূলগত সেট।

যাদের রৈখিক বীজগণিত সম্পর্কে পূর্বজ্ঞান আছে, তারা বুঝতে পারবেন যে মূলগত সেট হলো সমাধান স্থানটির একটি ভিত্তি সেট। যেকোনো ভিত্তি সেট যা সম্পূর্ণ সমাধান স্থানকে বিস্তৃত করে, সেটিই একটি বৈধ মূলগত সেট।

একটি মূলগত ম্যাট্রিক্স FM গঠিত হয় nটি মূলগত ভেক্টর নিয়ে একটি ম্যাট্রিক্স তৈরি করে। আমরা মূলগত ম্যাট্রিক্সকে একটি স্ক্রিপ্ট ক্যাপিটাল X দিয়ে চিহ্নিত করব:

${\mathcal {X}}={\begin{bmatrix}x_{1}&x_{2}&\cdots &x_{n}\end{bmatrix}}$

মূলগত ম্যাট্রিক্সটি নিম্নোক্ত অবস্থা সমীকরণটি সন্তুষ্ট করে:

${\mathcal {X}}'(t)=A(t){\mathcal {X}}(t)$

এছাড়াও, যেকোনো ম্যাট্রিক্স যেটি এই সমীকরণটি মেটায় সেটিকে একটি মূলগত ম্যাট্রিক্স বলা যাবে যদি এবং কেবল যদি T ব্যবধানে প্রতিটি সময় t-এর জন্য ম্যাট্রিক্সটির নির্ণায়ক শূন্য না হয়। নির্ণায়ক শূন্য না হওয়া জরুরি, কারণ আমরা অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ে মূলগত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করব।

অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স

একবার যদি আমরা সিস্টেমের মূলগত ম্যাট্রিক্স পেয়ে যাই, তখন তা ব্যবহার করে সিস্টেমের অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়:

$\phi (t,t_{0})={\mathcal {X}}(t){\mathcal {X}}^{-1}(t_{0})$

মূলগত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বিদ্যমান, কারণ আমরা পূর্বে উল্লেখ করেছি যে এর নির্ণায়ক শূন্য নয়, অর্থাৎ এটি অ-একক।পাঠকদের মনে রাখা উচিত এটি অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ধারণের শুধুমাত্র একটি পদ্ধতি; নিচে অন্যান্য পদ্ধতিও আলোচনা করা হয়েছে।

উদাহরণ: ২-মাত্রিক সিস্টেম

নিম্নোক্ত মূলগত ম্যাট্রিক্সটি দেওয়া আছে, অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করুন:

${\mathcal {X}}(t)={\begin{bmatrix}e^{-t}&{\frac {1}{2}}e^{t}\ 0&e^{-t}\end{bmatrix}}$

প্রথম কাজ হলো মূলগত ম্যাট্রিক্সের বিপরীত নির্ণয় করা। যেহেতু এটি একটি 2 × 2 ম্যাট্রিক্স, তাই সাধারণ সূত্র অনুযায়ী এর বিপরীত হবে:

${\mathcal {X}}^{-1}(t)={\frac {\begin{bmatrix}e^{-t}&-{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}{e^{-2t}}}$$={\begin{bmatrix}{e}^{t}&-{\frac {1}{2}}\,{e}^{3t}\\0&{e}^{t}\end{bmatrix}}$

অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স:

$\phi (t,t_{0})={\mathcal {X}}(t){\mathcal {X}}^{-1}(t_{0})={\begin{bmatrix}e^{-t}&-{\frac {1}{2}}e^{t}\\0&e^{-t}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{e}^{t_{0}}&{\frac {1}{2}}\,{e}^{3t_{0}}\\0&{e}^{t_{0}}\end{bmatrix}}$

$\phi (t,t_{0})={\begin{bmatrix}e^{-t+t_{0}}&{\frac {1}{2}}(e^{t+t_{0}}-e^{-t+3t_{0}})\\0&e^{-t+t_{0}}\end{bmatrix}}$

অন্যান্য পদ্ধতি

মূলগত ম্যাট্রিক্স নির্ণয় না করেও অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের কিছু অন্যান্য পদ্ধতি রয়েছে।

পদ্ধতি ১

যদি A(t) একটি ত্রিকোণী ম্যাট্রিক্স (উপর বা নিচের), তবে অবস্থা সমীকরণের প্রতিটি সারি ধারাবাহিকভাবে সমাকলন করে রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায়।

পদ্ধতি ২

যদি প্রতিটি τ এবং t-এর জন্য নিম্নোক্তটি সত্য হয়: ::$A(t)\left[\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta \right]=\left[\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta \right]A(t)$ :তবে অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স হবে: ::$\phi (t,\tau )=e^{\int _{\tau }^{t}A(\zeta )d\zeta }$ :উপরের সমাকলন সম্পর্কটি নিম্নোক্ত যেকোনো ক্ষেত্রে সত্য: :#A একটি ধ্রুব ম্যাট্রিক্স (সময়-অপরিবর্তনশীল) :#A একটি কর্ণীয় ম্যাট্রিক্স (diagonal matrix) :#যদি $A={\bar {A}}f(t)$, যেখানে ${\bar {A}}$ একটি ধ্রুব ম্যাট্রিক্স এবং f(t) একটি স্কেলার ফাংশন।

যদি উপরের কোন শর্তই সত্য না হয়, তবে আপনাকে পদ্ধতি ৩ ব্যবহার করতে হবে।

পদ্ধতি ৩

যদি A(t) নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়: ::$A(t)=\sum _{i=1}^{n}M_{i}f_{i}(t)$ :যেখানে M_i হলো ধ্রুব ম্যাট্রিক্স এবং M_iM_j = M_jM_i, এবং f_i হলো স্কেলার ফাংশন, তবে অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স হবে: ::$\phi (t,\tau )=\prod _{i=1}^{n}e^{M_{i}\int _{\tau }^{t}f_{i}(\theta )d\theta }$

এটি পাঠকদের জন্য একটি অনুশীলন হিসেবে রাখা হলো প্রমাণ করার জন্য যে, যদি A(t) সময়-অপরিবর্তনশীল হয়, তবে পদ্ধতি ২-এর সমীকরণটি $e^{A(t-\tau )}$ এ রূপান্তরিত হয়।

উদাহরণ: পদ্ধতি ৩ ব্যবহার করে

উপরের পদ্ধতি ৩ ব্যবহার করে নিচের সিস্টেমের অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করুন, যদি A ম্যাট্রিক্স হয়:

$A={\begin{bmatrix}t&1\ -1&t\end{bmatrix}}$

আমরা এই ম্যাট্রিক্সটি নিম্নরূপে বিভাজন করতে পারি:

$A={\begin{bmatrix}1&0\ 0&1\end{bmatrix}}t+{\begin{bmatrix}0&1\ -1&0\end{bmatrix}}$

এখানে f₁(t) = t, এবং f₂(t) = 1। সূত্র প্রয়োগ করে পাই:

$\phi (t,\tau )=e^{M_{1}\int _{\tau }^{t}\theta d\theta }e^{M_{2}\int _{\tau }^{t}d\theta }$

উভয় সমাকলনের ফলাফল:

$\phi (t,\tau )=e^{{\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}(t^{2}-\tau ^{2})&0\ 0&(t^{2}-\tau ^{2})\end{bmatrix}}}e^{\begin{bmatrix}0&t-\tau \ -t+\tau &0\end{bmatrix}}$

প্রথম টার্মটি একটি কর্ণীয় ম্যাট্রিক্স, এবং এর সমাধান হলো প্রতিটি উপাদানকে e-র ঘাত হিসেবে লেখা। দ্বিতীয় টার্মটি এইভাবে ভাঙা যায়:

$e^{\begin{bmatrix}0&t-\tau \\-t+\tau &0\end{bmatrix}}=e^{{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}(t-\tau )}={\begin{bmatrix}\cos(t-\tau )&\sin(t-\tau )\\-\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$

চূড়ান্ত সমাধান:

$\phi (t,\tau )=$${\begin{bmatrix}e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}&0\\0&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos(t-\tau )&\sin(t-\tau )\\-\sin(t-\tau )&\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$$={\begin{bmatrix}e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\cos(t-\tau )&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\sin(t-\tau )\\-e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\sin(t-\tau )&e^{{\frac {1}{2}}(t^{2}-\tau ^{2})}\cos(t-\tau )\end{bmatrix}}$

সময়-পরিবর্তী, অশূন্য ইনপুট

যদি সিস্টেমে ইনপুট অশূন্য হয়, তাহলে আগের সমস্ত বিশ্লেষণ এখনো প্রযোজ্য থাকে। আমরা এখনো মৌলিক ম্যাট্রিক্স নির্মাণ করতে পারি, এবং এখনো সিস্টেমের সমাধানকে স্টেট ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স $\phi$ দ্বারা প্রকাশ করতে পারি।

আমরা দেখাতে পারি যে স্টেট-স্পেস সমীকরণের সাধারণ সমাধান হলো:

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )u(\tau )d\tau$

← রৈখিক সিস্টেমের সমাধান

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

ডিজিটাল স্টেট স্পেস →