নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/শব্দচালিত সিস্টেম

শব্দ-চালিত সিস্টেম

সিস্টেমগুলো প্রায়ই কেবলমাত্র নিয়ন্ত্রণ ইনপুট u-র সাথেই নয়, বরং একটি র‍্যান্ডম শব্দ ইনপুট v-এর সাথেও কাজ করতে হয়। কিছু শাস্ত্রে, যেমন বৈদ্যুতিক যোগাযোগ ব্যবস্থা অধ্যয়নে, শব্দ এবং ডেটা সংকেতকে একত্র করে একটি যৌগিক ইনপুট r = u + v হিসেবে বিবেচনা করা যেতে পারে। তবে, নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা অধ্যয়নের ক্ষেত্রে বিভিন্ন কারণে এই ইনপুটগুলোকে একত্রিত করা যায় না:

1. নিয়ন্ত্রণ ইনপুট সিস্টেমকে স্থিতিশীল করতে কাজ করে, আর শব্দ ইনপুট সিস্টেমকে অস্থিতিশীল করতে পারে।
2. এই দুটি ইনপুট স্বাধীন র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল।
3. এই দুটি ইনপুট সিস্টেমের উপর সম্পূর্ণ ভিন্নভাবে কাজ করতে পারে।

আমরা পরবর্তী উদাহরণে দেখাব, নিয়ন্ত্রণ ইনপুট এবং শব্দ ইনপুট আলাদাভাবে বিবেচনা করাটা প্রায়ই একটি ভালো ধারণা:

উদাহরণ: একটি চলন্ত গাড়িকে বিবেচনা করুন। গাড়ির নিয়ন্ত্রণ সংকেতগুলো হলো বেগবৃদ্ধি (গ্যাস প্যাডেল) এবং বেগহ্রাস (ব্রেক প্যাডেল), যেগুলো চাকায় প্রভাব ফেলে এবং সামনের দিকে গতি তৈরি করে। শব্দ ইনপুট হতে পারে হাওয়া যা গাড়ির উল্লম্ব মুখে ধাক্কা দেয়, অসমান বা ধুলাযুক্ত রাস্তা যা টায়ারের নিচে পড়ে, গাড়ির সামনের কাঁচে পতঙ্গ বা ধ্বংসাবশেষ আঘাত করে ইত্যাদি। দেখা যাচ্ছে, নিয়ন্ত্রণ ইনপুটগুলো চাকায় প্রভাব ফেলে, আর শব্দ ইনপুট বিভিন্ন দিক থেকে বিভিন্নভাবে প্রভাব ফেলে।

সম্ভাব্যতা পুনঃস্মরণ

এখানে আমরা ক্যালকুলাস-ভিত্তিক সম্ভাব্যতার একটি সংক্ষিপ্ত পুনঃস্মরণ করবো, বিশেষ করে যেসব বিষয় আমরা এই অধ্যায়ে ব্যবহার করবো সেগুলোর উপর গুরুত্ব দিয়ে।

প্রত্যাশা

E প্রতীকটি একটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবলের প্রত্যাশিত বা গড় মান বের করতে ব্যবহৃত হয়। প্রত্যাশা অপারেটরটি সংজ্ঞায়িত:

$E[x]=\int _{-\infty }^{\infty }xf_{x}(x)dx$

যদি আমাদের দুটি র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল একে অপরের থেকে স্বাধীন হয়, তাহলে তাদের গুণফলের প্রত্যাশা শূন্য হবে।

কোভেরিয়েন্স

কোভেরিয়েন্স ম্যাট্রিক্স, Q হল একটি র‍্যান্ডম ভেক্টরের সাথে তার ট্রান্সপোজের গুণফলের প্রত্যাশা:

$E[x(t)x'(t)]=Q(t)$

যদি আমরা x-এর ট্রান্সপোজের মান ভিন্ন সময়ে নিই, তাহলে কোভেরিয়েন্স হবে:

$E[x(t)x'(s)]=Q(t)\delta (t-s)$

এখানে δ একটি ইমপালস ফাংশন।

শব্দ-চালিত সিস্টেমের বিবরণ

আমরা শব্দ ভেক্টর v যুক্ত করে একটি সিস্টেমের অবস্থা সমীকরণ সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$x'(t)=A(t)x(t)+H(t)u(t)+B(t)v(t)$

সাধারণতা রক্ষার্থে আমরা টাইম-ভ্যারিয়েন্ট সিস্টেম বিবেচনা করবো। টাইম-ইনভ্যারিয়েন্ট সিস্টেম তার একটি সরলীকরণ হবে। এছাড়া, আমরা ধরে নেব v একটি গাউসীয় র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল। কারণ বাস্তবিক সিস্টেমগুলো প্রায়ই গাউসীয় প্রক্রিয়ার সন্নিকটে থাকে, এবং গাউসীয় প্রক্রিয়ার জন্য অনেক গাণিতিক সরঞ্জাম বিদ্যমান। আমরা ধরে নেব আমাদের গাউসীয় প্রক্রিয়াটি শূন্য-মধ্যমান বিশিষ্ট।

গড় সিস্টেম প্রতিক্রিয়া

আমরা জানতে চাই আমাদের সিস্টেম নতুন শব্দ ইনপুটে কিভাবে প্রতিক্রিয়া দেখাবে। প্রতিটি সিস্টেম পুনরাবৃত্তি শব্দ ইনপুটের উপর নির্ভর করে ভিন্ন ফলাফল দিবে, কিন্তু সব পুনরাবৃত্তির গড় একটি নির্দিষ্ট মানে উপনীত হবে।

যদি নিয়ন্ত্রণ ইনপুট শূন্য হয়, তাহলে:

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)v(t)$

যার সাধারণ সমাধান:

$x(t)=\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau$

এই ফাংশনের প্রত্যাশিত মান নিলে আমরা সিস্টেম আউটপুটের প্রত্যাশিত মান পাই। অর্থাৎ, আমরা জানতে চাই যে শব্দ ইনপুট যোগ করে সিস্টেমের প্রত্যাশিত আউটপুট কী হবে।

$E[x(t)]=E[\phi (t,t_{0})x_{0}]+E[\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau ]$

এই সমীকরণের দ্বিতীয় পদে φ এবং B র‍্যান্ডম ভেরিয়েবল নয়, তাই তারা প্রত্যাশার বাইরে চলে যেতে পারে। যেহেতু v-এর গড় শূন্য, তাই তার প্রত্যাশা শূন্য। তাই দ্বিতীয় পদ শূন্য হবে। প্রথম পদে φ র‍্যান্ডম নয়, তবে x₀ সিস্টেম আউটপুটের উপর নির্ভরতা তৈরি করে, তাই সেটার প্রত্যাশা নিতে হবে। এর ফলে:

$E[x(t)]=\phi (t,t_{0})E[x_{0}]$

অর্থাৎ, সিস্টেমের প্রত্যাশিত আউটপুট হল সেই আউটপুট যা শব্দ না থাকলে হতো। লক্ষ্য করুন, যদি শব্দ ভেক্টর v শূন্য-মধ্যমান না হতো, অথবা গাউসীয় না হতো, তাহলে এই ফলাফল থাকতো না।

সিস্টেম কোভেরিয়েন্স

এখন আমরা শব্দ-চালিত সিস্টেমের কোভেরিয়েন্স বিশ্লেষণ করবো। আমরা সিস্টেম সমাধানকে তার ট্রান্সপোজের সাথে গুণ করবো এবং প্রত্যাশা নেবো: (এই সমীকরণটি লম্বা এবং একাধিক লাইনে ভেঙে যেতে পারে)

$E[x(t)x'(t)]=E[\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )v(\tau )d\tau ]$$E[(\phi (t,t_{0})x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}\phi (\tau ,t_{0})B(\tau )v(\tau )d\tau )']$

যদি আমরা ধাপে ধাপে গুণ করি এবং যেসব প্রত্যাশা শূন্য সেগুলো বাদ দিই, তাহলে পাই:

$E[x(t)x'(t)]=\phi (t,t_{0})E[x_{0}x_{0}']\phi '(t,t_{0})=P$

এই ফলাফলকে P বলা হয়, এবং আমরা চেইন রুল ব্যবহার করে P-এর প্রথম ডেরিভেটিভ বের করতে পারি:

$P'(t)=A(t)\phi (t,t_{0})P_{0}\phi (t,t_{0})+\phi (t,t_{0})P_{0}\phi '(t,t_{0})A'(t)$

যেখানে,

$P_{0}=E[x_{0}x_{0}']$

এটি সরলীকরণ করলে পাই:

$P'(t)=A(t)P(t)+P(t)A'(t)+B(t)Q(t)B'(t)$

অর্থাৎ, আমরা সিস্টেম বিশ্লেষণ করতে পারি স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স গণনা না করেই। এটি ভালো কারণ স্টেট-ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স অনেক সময় খুব কঠিন হয়।

বিকল্প বিশ্লেষণ

আবার দেখুন সাধারণ সমাধানটি:

$x(t)=\phi (t,t_{0})x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}\phi (t,\tau )B(\tau )v(\tau )d\tau$

গাউসীয় বণ্টনে, বিশেষ করে যেখানে ভ্যারিয়েন্স অনেক বেশি (বা অসীম), v-এর মান ক্ষণিকের জন্য অনির্ধারিত (অসীম) হয়ে যেতে পারে, ফলে x-এর মানও অনির্ধারিত হয়ে যায়। এটি গ্রহণযোগ্য নয় এবং বিশ্লেষণ কঠিন করে তোলে। আবার দেখুন মূল সমীকরণটি, যেখানে নিয়ন্ত্রণ ইনপুট শূন্য:

$x'(t)=A(t)x(t)+B(t)v(t)$

উভয় পাশে dt দ্বারা গুণ করলে পাই:

$dx=A(t)x(t)dt+B(t)v(t)dt$

এই নতুন পদ, dw, একটি র্যান্ডম প্রক্রিয়া যাকে ভিনার প্রক্রিয়া বলা হয়, যা গাউসীয় প্রক্রিয়াকে এইভাবে রূপান্তরিত করার ফলাফল।

আমরা একটি নতুন অন্তরক, dw(t), সংজ্ঞায়িত করতে পারি, যা সময়ের একটি অতি ক্ষুদ্র ফাংশন:

$dw(t)=v(t)dt$

এখন উভয় পাশে ইন্টিগ্রেশন করলে পাই:

$x(t)=x(t_{0})+\int _{t_{0}}^{t}A(\tau )x(\tau )d\tau +\int _{t_{0}}^{t}B(\tau )dw(\tau )$

তবে এটি আমাদের একটি অস্বাভাবিক পরিস্থিতির মুখোমুখি করে, যার জন্য আমরা (সম্ভবত) প্রস্তুত নই: তৃতীয় পদে, আমরা একটি ফাংশন-এর সাথে ইন্টিগ্রেশন করার চেষ্টা করছি, ভেরিয়েবল-এর সাথে নয়। এই ক্ষেত্রে, সাধারণ রিম্যান ইন্টিগ্রাল এই সমীকরণ সমাধান করতে পারে না। তবে ইতো ক্যালকুলাস নামে কিছু উন্নত কৌশল আছে যেগুলো এই সমীকরণ সমাধান করতে পারে, কিন্তু সেগুলো এই বইয়ের পরিধির বাইরে।

← Common Nonlinearities

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা