নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/রূপান্তর পরিশিষ্ট

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম

যখন আমরা ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম সম্পর্কে কথা বলি, তখন আমরা আসলে ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সংস্করণ সম্পর্কে কথা বলি যা "ইউনিলিনিয়ার ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম" নামে পরিচিত। অন্য সংস্করণ, "বাইলিনিয়ার ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম" (নীচে বাইলিনিয়ার ট্রান্সফর্মের সাথে সম্পর্কিত নয়) এই বইটিতে ব্যবহৃত হয়নি।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

[ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম]

$F(s)={\mathcal {L}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }x(t)e^{-st}dt$

এবং ইনভার্স ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

[ইনভার্স ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম]

$f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi j}}\int _{\sigma -j\infty }^{\sigma +j\infty }X(s)e^{st}ds$

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের সারণী

এটি সাধারণ ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের একটি সারণী।

ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এর বৈশিষ্ট্য

এটি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এর সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্যের একটি সারণী।

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম একটি টাইম-ডোমেন সিগন্যালকে তার ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন উপাদানগুলিতে বিভক্ত করতে ব্যবহৃত হয়। ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এর সাথে খুব ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কিত, এবং শুধুমাত্র যখন সিস্টেমটি একটি ফ্রিকোয়েন্সি প্রসঙ্গে বিশ্লেষণ করা হচ্ছে তখন ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম এর জায়গায় ব্যবহৃত হয়।

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

[ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম]

$F(j\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-j\omega t}dt$

এবং বিপরীত ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

[বিপরীত ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম]

$f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{F(j\omega )\right\}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(j\omega )e^{-j\omega t}d\omega$

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সারণী

এটি সাধারণ ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের একটি সারণী।

প্রকৌশল সারণি/ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্ম বৈশিষ্ট্য

ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম বৈশিষ্ট্যের সারণী

এটি ফুরিয়ার ট্রান্সফর্মের সাধারণ বৈশিষ্ট্যের একটি সারণী।

প্রকৌশল সারণি/ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম বৈশিষ্ট্য

Z-ট্রান্সফর্ম

Z-ট্রান্সফর্ম মূলত বিচ্ছিন্ন ডেটা সেটগুলিকে একটি অবিচ্ছিন্ন উপস্থাপনায় রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়। Z-ট্রান্সফর্মটি লক্ষণীয়ভাবে তারকা ট্রান্সফর্মের সাথে খুব মিল, তবে Z ট্রান্সফর্মটি নমুনা সময়কালের জন্য স্পষ্টভাবে বিবেচনা করে না। ডিজিটাল সিগন্যাল প্রক্রিয়াকরণ এবং সাধারণভাবে বিচ্ছিন্ন সংকেত অধ্যয়নের ক্ষেত্রে Z ট্রান্সফর্মের বেশ কয়েকটি ব্যবহার রয়েছে এবং এটি কার্যকর কারণ Z-ট্রান্সফর্ম ফলাফলগুলি ব্যাপকভাবে সারণীবদ্ধ করা হয়, যেখানে তারকা-ট্রান্সফর্ম ফলাফলগুলি নয়।

Z ট্রান্সফর্মকে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

[Z ট্রান্সফর্ম]

$X(z)={\mathcal {Z}}[x[n]]=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x[n]z^{-n}$

বিপরীত Z ট্রান্সফর্ম

বিপরীত Z ট্রান্সফর্ম একটি অত্যন্ত জটিল রূপান্তর, এবং ক্যালকুলাসে পর্যাপ্ত পটভূমি নেই এমন শিক্ষার্থীদের কাছে এটি অ্যাক্সেসযোগ্য হতে পারে। তবে, এই ধরণের ইন্টিগ্রেলগুলির সাথে পরিচিত শিক্ষার্থীদের কিছু বিপরীত Z ট্রান্সফর্ম গণনা করতে উৎসাহিত করা হয়, যাতে সূত্রটি সারণীবদ্ধ ফলাফল তৈরি করে তা যাচাই করা যায়।

[বিপরীত Z রূপান্তর]

$x[n]={\frac {1}{2\pi j}}\oint _{C}X(z)z^{n-1}dz$

Z-ট্রান্সফর্ম টেবিল

প্রকৌশল সারণি/Z ট্রান্সফর্ম সারণি

পরিবর্তিত Z-ট্রান্সফর্ম

পরিবর্তিত Z-ট্রান্সফর্ম Z-ট্রান্সফর্ম এর অনুরূপ, তবে পরিবর্তিত সংস্করণটি ডিজাইন অনুসারে সিস্টেমটিকে যেকোনো ইচ্ছামত বিলম্বের শিকার হতে দেয়। পরিবর্তিত Z-ট্রান্সফর্ম ডিজিটাল সিস্টেম সম্পর্কে কথা বলার সময় খুবই কার্যকর যেখানে সিস্টেমের প্রক্রিয়াকরণ সময় নগণ্য নয়। উদাহরণস্বরূপ, একটি ধীর কম্পিউটার সিস্টেমকে আউটপুট বিলম্ব সহ একটি তাৎক্ষণিক সিস্টেম হিসাবে মডেল করা যেতে পারে।

পরিবর্তিত Z ট্রান্সফর্মটি বিলম্বিত Z ট্রান্সফর্মের উপর ভিত্তি করে তৈরি:

[পরিবর্তিত Z-ট্রান্সফর্ম]

$X(z,m)=X(z,\Delta )|_{\Delta \to 1-m}={\mathcal {Z}}\left\{X(s)e^{-\Delta Ts}\right\}|_{\Delta \to 1-m}$

স্টার ট্রান্সফর্ম

স্টার ট্রান্সফর্ম হল একটি বিচ্ছিন্ন ট্রান্সফর্ম যার Z ট্রান্সফর্ম এবং ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মধ্যে মিল রয়েছে। প্রকৃতপক্ষে, স্টার ট্রান্সফর্মকে Z ট্রান্সফর্মের প্রায় অনুরূপ বলা যেতে পারে, তবে স্টার ট্রান্সফর্ম স্পষ্টভাবে স্যাম্পলারের নমুনা সময়কে বোঝায়।

স্টার ট্রান্সফর্মকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

[স্টার ট্রান্সফর্ম]

$F^{*}(s)={\mathcal {L}}^{*}[f(t)]=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT)e^{-skT}$

উপরের Z-ট্রান্সফর্ম জোড়ায় $z=e^{sT}$ প্লাগ করে স্টার ট্রান্সফর্ম জোড়া পাওয়া যেতে পারে।

দ্বি-রৈখিক রূপান্তর

বাই-রৈখিক রূপান্তরটি Z ডোমেনের একটি সমীকরণকে ইচ্ছামত W ডোমেনে রূপান্তর করতে ব্যবহৃত হয়, যার নিম্নলিখিত বৈশিষ্ট্য রয়েছে:

Z-ডোমেনে ইউনিট বৃত্তের ভিতরে #রুটস W সমতলের বাম-অর্ধে রুটস-এ ম্যাপ করা হবে।

Z-ডোমেনে ইউনিট বৃত্তের বাইরে #রুটস W সমতলের ডান-অর্ধে রুটস-এ ম্যাপ করা হবে Z-ডোমেনে ইউনিট বৃত্তের #রুটস W ডোমেনের উল্লম্ব অক্ষে ম্যাপ করা হবে।

তাই দ্বি-রৈখিক রূপান্তরটি Z-ডোমেন সমীকরণকে এমন একটি আকারে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা রুথ-হারউইটজ মানদণ্ড ব্যবহার করে বিশ্লেষণ করা যেতে পারে। তবে, এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে W-ডোমেন জটিল ল্যাপ্লেস S-ডোমেনের মতো নয়। দ্বি-রৈখিক রূপান্তরের আউটপুটকে S-ডোমেনের সমান করতে, দ্বি-রৈখিক রূপান্তরের অ-রৈখিক প্রকৃতির জন্য সংকেতটি প্রিওয়ার্প করা আবশ্যক।

দ্বি-রৈখিক রূপান্তরটি S-ডোমেন সিস্টেমকে Z ডোমেনে রূপান্তর করতেও ব্যবহার করা যেতে পারে। আবার, দ্বি-রৈখিক রূপান্তর প্রয়োগ করার আগে ইনপুট সিস্টেমটি প্রিওয়ার্প করতে হবে, অন্যথায় ফলাফল সঠিক হবে না।

দ্বি-রৈখিক রূপান্তর নিম্নলিখিত পরিবর্তনশীল রূপান্তর দ্বারা নিয়ন্ত্রিত হয়:

[দ্বি-রৈখিক রূপান্তর]

$z={\frac {(T/2)+w}{(T/2)-w}},\quad w={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

যেখানে T হল বিচ্ছিন্ন সংকেতের নমুনা সময়।

w ডোমেনের ফ্রিকোয়েন্সিগুলি নিম্নলিখিত সম্পর্কের মাধ্যমে s ডোমেনের ফ্রিকোয়েন্সির সাথে সম্পর্কিত:

$\omega _{w}={\frac {2}{T}}\tan \left({\frac {\omega _{s}T}{2}}\right)$

এই সম্পর্কটিকে দ্বি-রৈখিক রূপান্তরের ফ্রিকোয়েন্সি ওয়ার্পিং বৈশিষ্ট্য বলা হয়। ফ্রিকোয়েন্সি ওয়ার্পিংয়ের প্রভাব মোকাবেলা করার জন্য, আমরা ইনভার্স ওয়ার্পিং বৈশিষ্ট্য ব্যবহার করে Z-ডোমেন সমীকরণকে "প্রি-ওয়ার্প" করতে পারি। যদি সমীকরণটি রূপান্তরিত হওয়ার আগে প্রিওয়ার্প করা হয়, তাহলে সিস্টেমের ফলস্বরূপ মেরুগুলি s-ডোমেনের মেরুগুলির সাথে আরও বিশ্বস্তভাবে সারিবদ্ধ হবে।

[দ্বি-রৈখিক ফ্রিকোয়েন্সি প্রিওয়ার্পিং]

$\omega ={\frac {2}{T}}\arctan \left(\omega _{a}{\frac {T}{2}}\right).$

বাইলিনার ট্রান্সফর্ম প্রয়োগ করার আগে এই রূপান্তরগুলি প্রয়োগ করলে S-ডোমেন এবং Z-ডোমেনের মধ্যে সরাসরি রূপান্তর সম্ভব হয়। রূপান্তরের আগে এই ফ্রিকোয়েন্সি ওয়ার্পিং বৈশিষ্ট্যগুলির মধ্যে একটিকে একটি ফাংশনে প্রয়োগ করার ক্রিয়াকে "প্রিওয়ার্পিং" বলা হয়।

উইকিপিডিয়া উৎস সমূহ

• w:ল্যাপ্লেস transform
• w:ফুরিয়ার ট্রান্সফর্ম
• w:Z-transform
• w:Star transform
• w:Bilinear transform

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা