নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/ম্যাট্রিক্স অপারেশন

বিষয় সম্পর্কে আরও জানতে দেখুন:
রৈখিক বীজগণিত
এবং
প্রকৌশল বিশ্লেষণ

ম্যাট্রিক্স বীজগনিতের সূত্র

দুই বা ততোধিক ম্যাট্রিক্সের মধ্যে গানিতিক ক্রিয়াকলাপের বৈধতার জন্য ম্যাট্রিক্সগুলির মধ্যে বিশেষ সামঞ্জস্য থাকা প্রয়োজন:

যোগ

দুই বা ততোধিক ম্যাট্রিক্সের মধ্যে যোগ প্রক্রিয়া তখনই সম্ভব হবে যখন তাদের মাত্রা সমান হবে, অর্থাৎ তাদের সকলের সারি ও স্তম্ভের সংখ্যা সমান হতে হবে। ম্যাট্রিক্স যোগ প্রক্রিয়া একটি পরিবর্তনমূলক(কম্যুটেটিভ) গাণিতিক প্রক্রিয়া:

$A+B=B+A$

গুন

দুটি ম্যাট্রিক্সের মধ্যে গুন প্রক্রিয়া তখনই সম্ভব হবে যখন তাদের অন্তরবর্তী মাত্রা সমান হবে, অর্থাৎ যে দুটি ম্যাট্রিক্সের গুন করা হবে, তাদের মধ্যে প্রথম ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভের সংখ্যা দ্বিতীয় ম্যাট্রিক্সের সারির সংখ্যার সমান হতে হবে। উদাহরন স্বরূপ ধরুন একটি ম্যাট্রিক্স $A$ -কে n × m -এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা হল (সারি সংখ্যা n এবং স্তম্ভের সংখ্যা m), এবং অপর একটি ম্যাট্রিক্স $B$ -কে m × k, -এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা হল (সারি সংখ্যা m এবং স্তম্ভের সংখ্যা k)। দেখা যাচ্ছে ম্যাট্রিক্স $A$ -এর স্তম্ভের সংখ্যা (m) ম্যাট্রিক্স $B$ -এর সারির সংখ্যা (m) -এর সমান অতএব এই দুই ম্যাট্রিক্সের গুনন সম্ভব। এই দুই ম্যাট্রিক্সকে গুন করলে আমরা আরেকটি ম্যাট্রিক্স পাই যাকে নিচের সমীকরনে C হিসাবে চিহ্নিত করা হয়েছে:

$AB=C$

C ম্যাট্রিক্সকে n × k হিসাবে চিহ্নিত করা যায় (সারি সংখ্যা n এবং স্তম্ভের সংখ্যা k)। ম্যাট্রিক্সের গুনন প্রক্রিয়া পরিবর্তনমূলক(কম্যুটেটিভ) গাণিতিক প্রক্রিয়া নয়, অর্থাৎ উপরের উদাহরনে আমরা যেমন ম্যাট্রিক্স $A$ -কে ম্যাট্রিক্স $B$ দিয়ে গুন করছি সেভাবেই ম্যাট্রিক্স $B$ -কে $A$ দিয়ে গুন করা যাবেনা, কারন ম্যাট্রিক্স $B$ -এর স্তম্ভের সংখ্যা $A$ -এর সারির সংখ্যার সমান নয়:

$AB\neq BA$

যেহেতু ম্যাট্রিক্স গুনন পরিবর্তনশীল নয় তাই গুনন প্রক্রিয়ার সময় গুননীয়ক এবং গুনীতকের ব্যাপারে সতর্কতা অবলম্বন করা উচিত।

ভাগ

ম্যাট্রিক্স বীজগনিতে ভাগ প্রক্রিয়া অনুপস্থিত। যদিও ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স বা বীপরিত ম্যাট্রিক্স (ইনভার্স ম্যাট্রিক্সকে বিলোম ম্যাট্রিক্স হিসাবেও চিহ্নিত করা যেতে পারে) নির্নয় করার প্রক্রিয়া আছে কিন্তু ম্যাট্রিক্সের মধ্যে ভাগ প্রক্রিয়া করা যায়না। কোন ম্যাট্রিক্সের বিলোম বা বীপরিত ম্যাট্রিক্স নির্নয় করতে গেলে সবার প্রথমে দেখা দরকার যেন ম্যাট্রিক্সটি যেন ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স (সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স) না হয় এবং এর নির্ধারক মান (ডিটারমিন্যান্ট) যেন অশূন্য হয়।

স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স (ট্রান্সপোস ম্যাট্রিক্স)

স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স (ট্রান্সপোস ম্যাট্রিক্স) -কে নিম্নরূপে চিহ্নিত করা যায়:

$X^{T}$

কোন ম্যাট্রিক্সের সারি এবং স্তম্ভের উপাদানগুলির পারস্পরিক পরিবর্তনের মাধ্যমে সেই ম্যাট্রিক্সের স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স (ট্রান্সপোস ম্যাট্রিক্স) নির্ধারন করা যায়। কিছু কিছু ক্ষেত্রে স্থানান্তর ম্যাট্রিক্স (ট্রান্সপোস ম্যাট্রিক্স) -কে নিম্নরূপেও চিহ্নিত করা যায়:

$X'$

যখন একাধিক ম্যাট্রিক্স একটি ব্যাতিক্রমী সমীকরনে উপস্থিত থাকে তখন সেই ম্যাট্রিক্স সমুহের ট্রান্সপোস নির্ধারন করার সময় T চিহ্ন্টি ব্যাবহার হয়। গনিতের কিছু কিছু ক্ষেত্রে এক্স চিহ্নের মাধ্যমে অন্তরকলন প্রক্রিয়াকেও চিহ্নিত করা হয় তাই সে ব্যাপারে সতর্ক থাকা দরকার:

${\frac {d}{dt}}X(t)$

নির্ধারক (ডিটারমিন্যান্ট)

কোন ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক (ডিটারমিন্যান্ট) হল একটি স্কেলার রাশি, যাকে নিম্নলিখিতভাবে চিহ্নিত করা যায়:

$|X|$

কোন ম্যাট্রিক্স যদি বর্গ ম্যাট্রিক্স (স্কোয়ার ম্যাট্রিক্স) হয় এবং তার নির্ধারক (ডিটারমিন্যান্ট) -এর মান যদি অশূন্য হয় তবে তার বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ধারন করা যায়।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স

$A$ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্সকে যদি $B$ হিসাবে চিহ্নিত করা যায় তাহলে $A$ এবং $B$ ম্যাট্রিক্স নিম্নলিখিত শর্ত পূরন করবে:

$AB=BA=I$

যেসকল ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ধারন করা সম্ভব তাদের ইনভার্টেবল ম্যাট্রিক্স বলা হয় এবং তারা নন-সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স বা অব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স নামেও পরিচিত। যেসকল ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ধারন করা সম্ভব নয় তাদেরকে নন-ইনভার্টেবল ম্যাট্রিক্স বা সিঙ্গুলার ম্যাট্রিক্স অথবা ব্যাতিক্রমী ম্যাট্রিক্স বলা হয়।

বিপরীত ম্যাট্রিক্স বা ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ধারন করার বিভিন্ন পদ্ধতি আছে:

1. সারি-হ্রাস বা রো-রিডাকশন পদ্ধতি:

   ম্যাট্রিক্স $A$ -এর পাশে একই আকারের আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স (এই ম্যাট্রিক্সের প্রধান কর্ন বরাবর সমস্ত উপাদানের মান এক এবং ম্যাট্রিক্সের অন্যান্য স্থানের সকল উপাদান শূন্য) $I$ বসিয়ে একটি সম্প্রসারিত ম্যাট্রিক্স কাঠামো $[A|I]$ -এর গঠন করুন। এরপর সারি-হ্রাস বা রো-রিডাকশন পদ্ধতি ব্যাওহার করে $A$ ম্যাট্রিক্সকে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত করুন। সারি-হ্রাস পদ্ধতিটির মাধ্যমে যখন $A$ ম্যাট্রিক্সকে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্সে রূপান্তরিত তখন ডান পাশে আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স $I$ -এর উপরেও সারি-হ্রাস পদ্ধতি প্রয়োগ হবে এবং তার রূপ পরিবর্তন হবে। আইডেন্টিটি ম্যাট্রিক্স $I$ -এর শেষ পরিবর্তিত রূপটিই হল $A$ ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স বা বিপরীত ম্যাট্রিক্স:

   $[A|I]\to [I|B]$

2. অ্যাডজয়েন্ট ও ডিটারমিন্যান্ট পদ্ধতি:

   ইনভার্স ম্যাট্রিক্স নির্ণয় করা যায় নিম্নলিখিত সূত্রের মাধ্যমে:

   $A^{-1}={\frac {\operatorname {adj} (A)}{|A|}}$

   এখানে $adj(A)$ হল $A$ ম্যাট্রিক্সের অনুবন্ধী ম্যাট্রিক্স বা অ্যাডজয়েন্ট ম্যাট্রিক্স এবং $|A|$ হল $A$ ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক বা ডিটারমিন্যান্ট।

3. কেলি-হ্যামিলটন উপপাদ্য: কেলি-হ্যামিলটন উপপাদ্যের সাহায্যে একটি স্কোয়ার ম্যাট্রিক্স বা বর্গ ম্যাট্রিক্সের বিপরীত ম্যাট্রিক্স ইনভার্স নির্ণয় করা যায়, যদি ম্যাট্রিক্সটি অব্যাতক্রমী বা নন-সিঙ্গুলার হয় (অর্থাৎ সেই ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক বা ডিটারমিন্যান্ট -এর মান অশূন্য হতে হবে)।

স্বত্বমান বা আইজেন ভ্যালু

কোন ম্যাট্রিক্সের স্বত্বমান বা আইজেন ভ্যালু -কে গ্রীক অক্ষর lambda λ -এর মাধ্যমে চিহ্নিত করা হয়। ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ (ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন) সমাধান করলে স্বত্বমান বা আইজেন ভ্যালুর মান পাওয়া যায়:

$|X-\lambda I|=0$

স্বত্বমান বা আইজেন ভ্যালু কেবলমাত্র বর্গ ম্যাট্রিক্সের থাকে। যে ম্যাট্রিক্স বর্গ ম্যাট্রিক্স নয় তাদের স্বত্বমান বা আইজেন ভ্যালু থাকেনা। যদি ম্যাট্রিক্স $X$ একটি বাস্তব ম্যাট্রিক্স হয় তাহলে তার স্বত্বমান বা আইজেন ভ্যালু -গুলি হয় বাস্তব রাশি হবে অথবা জটিল অনুবন্ধী সংখ্যা (কম্প্লেক্স কনজুগেট) হবে।

স্বত্ব ভেক্টর বা আইজেন ভেক্টর

একটি ম্যাট্রিক্সের স্বত্ব ভেক্টর বা আইজেন ভেক্টর হল সেই ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ (ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন) -এর নালস্পেস বা শূন্য সেট সম্পর্কিত সমাধান:

$(X-\lambda _{i}I)v_{i}=0$

ম্যাট্রিক্সের প্রত্যেক স্বতন্ত্র আইজেন ভ্যালুর জন্য একটি স্বতন্ত্র আইজেন ভেক্টর থাকে। কোন আইজেন ভেক্টরের গুনিতক গুলিও একটি স্বতন্ত্র আইজেন ভেক্টর হয়।

বাম-আইজেনভেক্টর

যেহেতু ম্যট্রিক্সের আইজেনভেক্টর একটি ভেক্টর রাশি তাই এর নিজস্ব মানের সাথে সাথে এর নির্দিষ্ট অবস্থান ও দিকনির্দেশের ব্যাপারটিও বিবেচনা করতে হবে। বাম আইজেনভেক্টর বা লেফট আইজেনভেক্টর হল ম্যাট্রিক্সের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ (ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন) -এর নালস্পেস বা শূন্য সেট সম্পর্কিত সমাধান, যা নিম্নে দেখানো হয়েছে:

$w_{i}(A-\lambda _{i}I)=0$

এগুলি মূলত বিপরীত ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্সের সারি।

সাধারণীকৃত (জেনারালাইজড) আইজেনভেক্টর

পুনরাবৃত্ত আইজেন মানের ক্ষেত্রে, সকল আইজেন মানের সাথে সম্পর্কিত n সংখ্যাক স্বতন্ত্র আইজেন ভেক্টরের (বাম ও ডান) অস্তিত্ব নাও থাকতে পারে। সাধারণীকৃত (জেনারালাইজড) আইজেনভেক্টর নিম্নলিখিতভাবে নির্ধারন করা যায়:

$(A-\lambda I)v_{n+1}=v_{n}$

যেহেতু সাধারণীকৃত আইজেনভেক্টরগুলি অন্য একটি আইজেনভেক্টরের সাথে সম্পর্কিত হয়, তাই তাদের একটি নির্দিষ্ট ক্রমযুক্ত সেট থাকে এবং বিশ্লেষণের সময় এই সাধারনীকৃত আইজেনভেক্টরগুলি সেই ক্রমের বাইরে ব্যবহার করা উচিত নয়।

রূপান্তর (ট্রান্সফরমেশন) ম্যাট্রিক্স

রূপান্তর (ট্রান্সফরমেশন) ম্যাট্রিক্স হল এমন ম্যাট্রিক্স যার সমস্ত উপাদান একটি নির্দিষ্ট ম্যাট্রিক্সের আইজেন ভেক্টর। এটি আসলে সাধারণীকৃত আইজেনভেক্টরের ক্রমযুক্ত সেট:

$T=[v_{1}v_{2}\cdots v_{n}]$

এর বিপরীত ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স হল বাম-আইজেনভেক্টরগুলির ম্যাট্রিক্স:

$T^{-1}={\begin{bmatrix}w_{1}'\\w_{2}'\\\cdots \\w_{n}'\end{bmatrix}}$

একটি ম্যাট্রিক্সকে ট্রানজিশন ম্যাট্রিক্স দিয়ে গুণ করলে নিম্নরূপ ফলাফল পাওয়া যায়:

$A=TDT^{-1}$

অথবা:

$T^{-1}AT=D$

যদি কোন ম্যাট্রিক্সের একটি অসম্পূর্ন আইজেন ভেক্টরের সেট বা সংগ্রহ থাকে এবং তার সাথে কিছু সাধারনীকৃত (জেনেয়ালাইজড) আইজেন ভেক্টরের সেট থাকে, তাহলে সেই ম্যাট্রিক্সকে তীর্যক ম্যাট্রিক্স বা ডায়াগোনাল ম্যাট্রিক্সে পরিবর্তিত করা যায়না, কিন্তু তাদেরকে জর্ডান ক্যানোনিকাল আকারে রূপান্তরিত করা যেতে পারে:

$T^{-1}AT=J$

ম্যাটল্যাব

ম্যাটল্যাব হল এমন একটি প্রোগ্রামিং ভাষা যেটি ম্যাট্রিক্স বীজগনিতের জন্যই গঠন করা হয়েছে। কিভাবে ম্যাটল্যবের সাহায্যে ম্যাট্রিক্সের মধ্যে গানিতিক ক্রিয়াকলাপ উপস্থাপিত করা যায় তা নিম্নে দেখানো হল:

যোগ

দুটি ম্যাট্রিক্সের যোগ করার জন্য দুটি ম্যাট্রিক্সের মাঝে একটি যোগ চিহ্ন ("+") ব্যাবহার করুন:

C = A + B;

গুন

দুটি ম্যাট্রিক্সের গুন করার জন্য দুটি ম্যাট্রিক্সের মাঝে একটি তারকা চিহ্ন ("*") ব্যাবহার করুন:

C = A * B;

যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের ক্রম এবং মাত্রার মধ্যে সামঞ্জস্য না থাকলে তাহলে ম্যাটল্যাবে ত্রুটি প্রদর্শন করবে।

ট্রান্সপোস

একটি ম্যাট্রিক্সের ট্রান্সপোস নির্নয়ের জন্য উর্ধকমা বা অ্যাপোস্টপি চিহ্ন (" ' ") ব্যাবহার করুন:

C = A';

ডিটারমিন্যান্ট

দুটি ম্যাট্রিক্সের নির্ধারক বা ডিটারমিন্যান্ট নির্নয় করতে det ফাংশন ব্যাবহার করুন:

d = det(A);

ইনভার্স

একটি ম্যাট্রিক্সের ইনভার্স নির্ণয় করতে, inv ফাংশন ব্যাবহার করুন:

C = inv(A);

আইজেন মান এবং আইজেন ভেক্টর

একটি ম্যাট্রিক্সের আইজেন মান এবং আইজেন ভেক্টর নির্ণয় করতে, eig নির্দেশ ব্যাবহার করুন:

[E, V] = eig(A);

এখানে $E$ হল একটি বর্গ ম্যাট্রিক্স যার কর্নের উপাদানগুলি হল $A$ ম্যাট্রিক্সের আইজেন মান এবং এই আইজেন মানের সাথে সংস্লিষ্ট আইজেন ভেক্টরগুলি $V$ ম্যাট্রিক্সে সংরক্ষিত। যদি আইজেনভেক্টরগুলি স্বতন্ত্র না হয়, তাহলে সেগুলির পুনরাবৃত্তি করা হবে। ম্যাটল্যাব সাধারণীকৃত আইজেনভেক্টর গণনা করবে না।

বাম আইজেনভেক্টর

আমরা আইজেনভেক্টর ম্যাট্রিক্সের বিপরীত বা ইনভার্স নির্নয়ের মাধ্যমে বাম আইজেনভেক্টরগুলি নির্ধারন পারি:

[E, V] = eig(A);
C = inv(V);

$C$ ম্যাট্রিক্সের সারিগুলি $A$ ম্যাট্রিক্সের বাম আইজেনভেক্টর হবে।

অতিরিক্ত তথ্যের জন্য দেখুন নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/ম্যাটল্যাব

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা