নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/মূল স্থান

সমস্যাটি

একটি রেডিও সিস্টেম কল্পনা করুন। রেডিওতে একটি "ভলিউম" নব আছে, যা সিস্টেমের গেইন নিয়ন্ত্রণ করে। বেশি ভলিউম মানে স্পিকারে বেশি শক্তি যাবে, কম ভলিউম মানে কম শক্তি যাবে। যখন ভলিউম বাড়ে, তখন রেডিওর ট্রান্সফার ফাংশনের পোলগুলোর অবস্থান পরিবর্তিত হয় এবং কখনো কখনো এটি অস্থিতিশীল হয়ে যেতে পারে। আমরা জানতে চাই, রেডিও কখন অস্থিতিশীল হয় এবং কেমন ভলিউম মানে (বা গেইন K মানে) এটা হয়। প্রচলিত পদ্ধতিতে আমাদের প্রতিটি ভিন্ন গেইনের জন্য ট্রান্সফার ফাংশনের রুট বের করতে হয়, যা সময়সাপেক্ষ। ভাগ্যক্রমে, একটি পদ্ধতি আছে যেটাকে Root-Locus বলা হয়, যা আমাদের সব গেইন মানের জন্য পোলের অবস্থান গ্রাফিক্যালভাবে বের করতে সাহায্য করে।

Root-Locus

যখন গেইন পরিবর্তন করি, তখন S-plane-এ পোল এবং জিরোগুলোর অবস্থান পরিবর্তিত হয়। এতে প্রতিবার উচ্চ-অর্ডার সমীকরণ সমাধান করা কঠিন হয়ে যায়। এই সমস্যার সমাধান হলো Root-Locus গ্রাফ। এটি কিছু সহজ নিয়ম মেনে পোল ও জিরোর অবস্থান নির্ধারণ করে। যেমনভাবে ফ্যান সুইচ ঘুরিয়ে স্পিড বাড়ানো যায়।

ধরা যাক একটি সিস্টেমের ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন হলো:

${\frac {N(s)}{D(s)}}={\frac {KG(s)}{1+KG(s)H(s)}}$

এখানে N হলো নিউমেরেটর পলিনোমিয়াল এবং D হলো ডিনোমিনেটর পলিনোমিয়াল। পোল বের করতে হলে ডিনোমিনেটরকে ০ ধরে সমাধান করতে হয়:

$D(s)=1+KG(s)H(s)=0$

এটিকে পরিবর্তন করে পাই:

$KG(s)H(s)=-1$

এবং পোলার কোঅর্ডিনেটে রূপান্তর করে:

$\angle KG(s)H(s)=180^{\circ }$

এখন আমাদের দুটি মূল সমীকরণ হলো:

[The Magnitude Equation]

$1+KG(s)H(s)=0$

[The Angle Equation]

$\angle KG(s)H(s)=180^{\circ }$

ডিজিটাল সিস্টেম

এই একই পদ্ধতি Z-ডোমেইনের ডিজিটাল সিস্টেমের জন্যও প্রযোজ্য:

${\frac {N(z)}{D(z)}}={\frac {KG(z)}{1+K{\overline {GH}}(z)}}$

এখানে ${\overline {GH}}(z)$ হলো ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন। ডিনোমিনেটর:

$D(z)=1+K{\overline {GH}}(z)=0$

এটিকে রূপান্তর করে:

$K{\overline {GH}}(z)=-1$

এবং পোলার কোঅর্ডিনেটে:

$\angle K{\overline {GH}}(z)=180^{\circ }$

এখন আমাদের আবার দুটি সমীকরণ:

[The Magnitude Equation]

$1+K{\overline {GH}}(z)=0$

[The Angle Equation]

$\angle K{\overline {GH}}(z)=180^{\circ }$

S-ডোমেইন ও Z-ডোমেইনের সমীকরণ প্রায় একই। বাকি অধ্যায়ে আমরা শুধু S-ডোমেইন নিয়ে আলোচনা করব।

Root-Locus পদ্ধতি

Note:
এই অংশে S-Plane ও Z-plane এর নিয়ম একই, তাই আলাদা করে আলোচনা করব না।

ট্রান্সফর্ম ডোমেইনে যখন গেইন ছোট থাকে, পোলগুলো ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের পোল থেকে শুরু করে। গেইন অসীম হলে পোলগুলো জিরোতে চলে যায়। যদি জিরোর সংখ্যা কম হয়, তাহলে কিছু ইম্প্লিসিট জিরো ইনফিনিটিতে থাকে যেগুলো পোলগুলো অনুসরণ করে।

প্রথমে ম্যাগনিটিউড সমীকরণটিকে রূপান্তর করি:

$KG(s)H(s)+1=0\to G(s)H(s)={\frac {-1}{K}}$

Note:
Frequency domain-এ সাধারণত বড় হাতের অক্ষর ব্যবহার করা হয়। তবে a(s) এবং b(s) তেমন গুরুত্বপূর্ণ না, তাই ছোট হাতের অক্ষরে লেখা হয়েছে।

G(s)H(s)-কে একটি ভগ্নাংশ হিসেবে ধরা যাক:

${\frac {a(s)}{b(s)}}={\frac {-1}{K}}$

এখন b(s)-এর রুটগুলোকে গ্রাফে 'X' দিয়ে চিহ্নিত করি, এবং a(s)-এর রুটগুলোকে 'O' দিয়ে চিহ্নিত করি।

এরপর বাস্তব অক্ষ (real axis) পর্যবেক্ষণ করি। ডান দিক থেকে বাম দিকে গিয়ে, এমন জায়গায় Root-Locus আঁকি যেখানে অক্ষের ডানে বিজোড় সংখ্যক পোল বা জিরো আছে।

Root-locus লাইন পোল থেকে শুরু হয়। কখনো দুটি পোল একে অপরের দিকে এগিয়ে আসে এবং একটি বিন্দুতে তারা অক্ষ ছেড়ে চলে যায়, যেটাকে বলে breakaway point।

S-plane বাস্তব অক্ষের উপর প্রতিচ্ছায়া হয়, তাই উপরের অংশে যা আঁকা হয় তা নিচেও প্রতিচ্ছায়া আঁকা উচিত।

একটি পোল যদি ইনফিনিটিতে চলে যায়, তাহলে সেটা অ্যাসিম্পটোট অনুসরণ করে। অ্যাসিম্পটোটের সংখ্যা ইনফিনিটিতে থাকা ইম্প্লিসিট জিরোর সংখ্যা।

Root Locus নিয়মাবলি

এখানে ১১টি নিয়ম দেওয়া হলো যেগুলো অনুসরণ করে Root-Locus আঁকা যায়:

১ম নিয়ম

b(s)-এর প্রতিটি রুটের জন্য একটি করে শাখা থাকবে।

২য় নিয়ম

b(s)-এর রুটগুলো ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের পোল। এগুলো গ্রাফে X দিয়ে চিহ্নিত করো।

৩য় নিয়ম

a(s)-এর রুটগুলো ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনের জিরো। এগুলোকে O দিয়ে চিহ্নিত করো। যদি জিরোর সংখ্যা কম হয়, তাহলে কিছু জিরো ইনফিনিটিতে থাকবে।

৪র্থ নিয়ম

বাস্তব অক্ষের এমন অংশ root-locus এর অংশ হবে যেখানে ডান পাশে বিজোড় সংখ্যক পোল বা জিরো আছে।

৫ম নিয়ম

যেকোনো বিন্দুতে গেইন নির্ধারণ করা যাবে ম্যাগনিটিউড সমীকরণের বিপরীত মান দিয়ে:

$\left|{\frac {b(s)}{a(s)}}\right|=|K|$

৬ষ্ঠ নিয়ম

Root-locus গ্রাফ বাস্তব অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিসম হয়।

৭ম নিয়ম

দুটি পোল একত্রিত হয়ে একটি breakaway point তৈরি করে। তখন:

$K=-{\frac {b(\sigma )}{a(\sigma )}}$

এবং স্থানীয় সর্বোচ্চ নির্ধারণে:

${\frac {dK}{d\sigma }}={\frac {d}{d\sigma }}{\frac {b(\sigma )}{a(\sigma )}}$

৮ম নিয়ম

Breakaway লাইনের মধ্যবর্তী কোণ:

${\frac {\pi }{\alpha }}$, যেখানে α হলো ঐ বিন্দুতে পোলের সংখ্যা।

৯ম নিয়ম

Root-locus অ্যাসিম্পটোটগুলোর কোণ:

$\phi _{\omega }={\frac {\pi +2N\pi }{p-z}}$

Origin:

$OA={\frac {\sum _{p}P_{i}-\sum _{z}Z_{i}}{p-z}}$

১০ম নিয়ম

Root-locus কাল্পনিক অক্ষ অতিক্রম করে যখন অ্যাঙ্গেল সমীকরণ হয় π।

১১শ নিয়ম

Complex পোল/জিরোর ক্ষেত্রে Root-locus যে কোণে চলে আসে বা যায়, তা নির্ধারণ হয়:

$\sum _{p}\psi _{i}+\sum _{z}\rho _{i}+\phi _{d}=\pi$

$\sum _{z}\rho _{i}+\sum _{p}\psi _{i}+\phi _{a}=\pi$

এই নিয়মগুলো পরবর্তী অংশে বিস্তারিত ব্যাখ্যা করা হবে।

Root Locus সমীকরণসমূহ

দুটি প্রধান সমীকরণ হলো:

[Root Locus Equations]

S-Domain Equations	Z-Domain Equations
$1+KG(s)H(s)=0$	$1+K{\overline {GH}}(z)=0$
$\angle KG(s)H(s)=180^{o}$	$\angle K{\overline {GH}}(z)=180^{o}$

সব পোল এবং জিরোর কোণের যোগফল ১৮০ ডিগ্রি হতে হবে।

অ্যাসিম্পটোটের সংখ্যা

জিরোর সংখ্যা Z এবং পোলের সংখ্যা P হলে অ্যাসিম্পটোটের সংখ্যা:

[Number of Asymptotes]

$N_{a}=P-Z$

অ্যাসিম্পটোটের কোণ:

[Angle of Asymptotes]

$\phi _{k}=(2k+1){\frac {\pi }{P-Z}}$

যেখানে $k=[0,1,...N_{a}-1]$

অ্যাসিম্পটোট ইন্টারসেকশন পয়েন্ট

[Origin of Asymptotes]

$\sigma _{0}={\frac {\sum _{P}-\sum _{Z}}{P-Z}}$

এখানে $\sum _{P}$ হলো সব পোলের অবস্থানের যোগফল এবং $\sum _{Z}$ হলো সব জিরোর যোগফল।

Breakaway পয়েন্ট

Breakaway পয়েন্ট নির্ধারণ হয় নিচের সমীকরণ থেকে:

[Breakaway Point Locations]

${\frac {dG(s)H(s)}{ds}}=0$ অথবা ${\frac {d{\overline {GH}}(z)}{dz}}=0$

z সমাধান করে যেসব রিয়েল রুট পাওয়া যায় সেগুলো breakaway/reentry পয়েন্ট। Complex রুট হলে Breakaway থাকে না।

Root Locus ও Stability

Root locus গ্রাফ আমাদের দেখায় যে গেইন K-এর যেকোনো মানের জন্য পোলগুলো কোথায় থাকে। যদি D-এর যেকোনো রুট অস্থিতিশীল অঞ্চলে যায়, তাহলে সিস্টেম অস্থিতিশীল হয়। যদি কোনো রুট মার্জিনালি স্টেবল জোনে যায়, তাহলে সিস্টেম অস্থিরতাপূর্ণ। সব রুট যদি স্টেবল অঞ্চলে থাকে, তাহলে সিস্টেম সম্পূর্ণ স্থিতিশীল।

একটি সিস্টেম গেইন K₁-এর জন্য স্থিতিশীল হলেও অন্য গেইন K₂-এর জন্য অস্থিতিশীল হতে পারে। এমনও হয় যেখানে পোল একাধিকবার স্থিতিশীল থেকে অস্থিতিশীল অঞ্চলে যায়।