নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/মানক ফর্ম

কম্প্যানিয়ন ফর্ম

একটি 'কম্প্যানিয়ন ফর্ম' এর দূরবর্তী সারি বা কলাম বরাবর একটি সংশ্লিষ্ট বৈশিষ্ট্যপূর্ণ বহুপদী সহগ ধারণ করে। উদাহরণস্বরূপ, একটি কম্প্যানিয়ন ফর্ম ম্যাট্রিক্স হল:

${\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&0&\cdots &0&-a_{2}\\0&0&1&\cdots &0&-a_{3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{bmatrix}}$

এবং আরেকটি হল:

${\begin{bmatrix}0&0&0&\cdots &0&-a_{0}\\1&0&0&\cdots &0&-a_{1}\\0&1&0&\cdots &0&-a_{2}\\0&0&1&\cdots &0&-a_{3}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&-a_{n-1}\end{bmatrix}}$

নিয়ন্ত্রণ তত্ত্বে দুটি সহচর রূপ ব্যবহার করা সুবিধাজনক, যথা পর্যবেক্ষণযোগ্য ক্যানোনিকাল রূপ এবং নিয়ন্ত্রণযোগ্য ক্যানোনিকাল রূপ। এই দুটি রূপ মোটামুটি একে অপরের সাথে স্থানান্তরযোগ্য (যেমন পর্যবেক্ষণযোগ্যতা এবং নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা হল দ্বৈত ধারণা)। এই রূপগুলোর একটিতে স্থাপন করা হলে, নিয়ন্ত্রক বা পর্যবেক্ষকের নকশা সরলীকৃত হয় কারণ সিস্টেমের কাঠামো স্পষ্ট হয়ে ওঠে (এবং পছন্দসই নিয়ন্ত্রণের মাধ্যমে তা সহজেই পরিবর্তন করা যায়)।

পর্যবেক্ষণযোগ্য ক্যানোনিকাল ফর্ম

পর্যবেক্ষণযোগ্য-ক্যানোনিকাল ফর্ম বিভিন্ন ক্ষেত্রে সহায়ক হয়ে থাকে, বিশেষ করে পর্যবেক্ষক ডিজাইনের ক্ষেত্রে।

পর্যবেক্ষণযোগ্য-প্রামাণিক রূপটি নিম্নরূপ:

$A={\begin{bmatrix}-a_{1}&1&0&\cdots &0\\-a_{2}&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n-1}&0&0&\cdots &1\\-a_{n}&0&0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\\\vdots \\b_{n}\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\end{bmatrix}}$

নিয়ন্ত্রণযোগ্য প্রামাণিক ফর্ম

নিয়ন্ত্রণযোগ্য-ক্যানোনিকাল ফর্ম অনেক ক্ষেত্রেই সহায়ক, বিশেষ করে যখন সিস্টেমের সম্পূর্ণ অবস্থা জানা থাকে তখন কন্ট্রোলার ডিজাইন করার ক্ষেত্রে।

নিয়ন্ত্রণযোগ্য-প্রামাণিক রূপটি নিম্নরূপ:

$A={\begin{bmatrix}-a_{1}&-a_{2}&-a_{3}&\cdots &-a_{n-1}&-a_{n}\\1&0&0&\cdots &0&0\\0&1&0&\cdots &0&0\\0&0&1&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1&0\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}1\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}b_{1}&b_{2}&b_{3}&\cdots &b_{n}\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}b_{0}\end{bmatrix}}$

যদি আমাদের দুইটি স্পেস থাকে, স্পেস v যা সিস্টেমের মূল স্পেস (A, B, C, এবং D), তাহলে আমরা আমাদের সিস্টেমকে w স্পেসে রূপান্তর করতে পারি যা নিয়ন্ত্রণযোগ্য-প্রামাণিক আকারে (A_w, B_w, C_w, D_w) একটি রূপান্তর ম্যাট্রিক্স T_w ব্যবহার করে। আমরা এই রূপান্তর ম্যাট্রিক্সকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

$T=\zeta _{v}\zeta _{w}^{-1}$

যেখানে ζ নিয়ন্ত্রণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স।

লক্ষ্য করুন যে আমরা আগে থেকেই A_w এবং B_w জানি, কারণ আমরা ম্যাট্রিক্সের ফর্ম এবং সমীকরণের সহগ উভয়ই জানি (যেমন ধ্রুবক সহগ বা একটি স্থানান্তর ফাংশন সহ একটি রৈখিক অডিই)।

যদি আমরা এই দুটি ম্যাট্রিক্স জানি তবে আমরা ζ_w গঠন করতে পারি। তারপর আমরা আমাদের রূপান্তর ম্যাট্রিক্স তৈরি করতে এই ম্যাট্রিক্স ব্যবহার করতে পারি।

আমরা পরে রাষ্ট্র প্রতিক্রিয়া এবং বন্ধ-লুপ সিস্টেম নিয়ে আলোচনা করার সময় নিয়ন্ত্রণযোগ্য ক্যানোনিকাল ফর্ম নিয়ে আলোচনা করব।

ফেজ ভেরিয়েবল ফর্ম

ফেজ ভেরিয়েবল ফর্ম কেবল নিয়ন্ত্রণযোগ্য ক্যানোনিকাল ফর্মের বিপরীত ক্রমে ফেজ ভেরিয়েবলগুলোকে পুনরায় সংখ্যায়িত করেই পাওয়া যায়। এইভাবে:

$A_{c}={\begin{bmatrix}0&1&\cdots &0&0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &1&0&0\\0&0&\cdots &0&1&0\\0&0&\cdots &0&0&1\\-a_{n}&-a_{n-1}&-a_{n-2}&\cdots &-a_{2}&-a_{1}\end{bmatrix}}$

$B_{c}={\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$

$C_{c}={\begin{bmatrix}b_{n}&b_{n-1}&\cdots &b_{2}&b_{1}\end{bmatrix}}$

$D_{c}={\begin{bmatrix}b_{0}\end{bmatrix}}$

মোডাল ফর্ম

এই ফর্মে, স্টেট ম্যাট্রিক্স হল তার (পুনরাবৃত্তি না করা) আইজেন মানের একটি তির্যক ম্যাট্রিক্স। প্রতিটি আইজেন স্পেসের উপর নিয়ন্ত্রণের একক প্রভাব রয়েছে এবং আউটপুট হল আইজেন স্পেস থেকে প্রাপ্ত অবদানের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ (যেখানে মাত্রা হল প্রতিটি মেরুতে জটিল অবশিষ্টাংশ)।

$A_{m}={\begin{bmatrix}-p_{1}&0&0&\cdots &0&0\\0&-p_{2}&0&\cdots &0&0\\0&0&-p_{3}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&\cdots &0&-p_{n}\end{bmatrix}}$

$B_{m}={\begin{bmatrix}1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$

$C_{m}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\end{bmatrix}}$

$D_{m}={\begin{bmatrix}D_{c}\end{bmatrix}}$

জর্ডান ফর্ম

এই "প্রায় তির্যক" ফর্মটি সেই ক্ষেত্রে পরিচালনা করে যেখানে আইজেন মানগুলো পুনরাবৃত্তি হয়। পুনরাবৃত্ত আইজেন মানগুলো একটি বহুমাত্রিক আইজেন স্পেসকে প্রতিনিধিত্ব করে, এবং তাই নিয়ন্ত্রণটি কেবল একবার আইজেন স্পেসে প্রবেশ করে এবং এটি সেই ছোট সাবসিস্টেমের অন্যান্য অবস্থার মাধ্যমে সংহত হয়।

$A={\begin{bmatrix}-p_{1}&1&0&0&0&\cdots &0&0\\0&-p_{1}&1&0&0&\cdots &0&0\\0&0&-p_{1}&0&0&\cdots &0&0\\0&0&0&-p_{4}&0&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&0&\cdots &0&-p_{n}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}0\\0\\1\\1\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&\cdots &c_{n}\end{bmatrix}}$

MATLAB-এ স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম গণনা করা

MATLAB tf2ss কমান্ড ব্যবহার করে একটি ট্রান্সফার ফাংশনকে একটি নিয়ন্ত্রণ ক্যানোনিকাল ফর্মে রূপান্তর করা যেতে পারে।

tf2ss(num, den);

ফর্মে % num এবং den: [x_0*s^n, x_1*s^n-1,..., x_n*s^n-n]।

MATLAB-তে একটি ফাংশন রয়েছে যা একটি স্টেট-স্পেস সমীকরণকে স্বয়ংক্রিয়ভাবে একটি সঙ্গীতে রূপান্তর করে

(যেমন, নিয়ন্ত্রণযোগ্য বা পর্যবেক্ষণযোগ্য ক্যানোনিকাল ফর্ম) ফর্মে।

[Ap, Bp, Cp, Dp, P] = canon(A, B, C, D, 'companion');

একটি কম্প্যানিয়ন ফর্ম থেকে অন্য কম্প্যানিয়নে স্থানান্তরিত করার জন্য সাধারণত ম্যাট্রিক্স এবং ভেক্টরের উপর প্রাথমিক ক্রিয়াকলাপ জড়িত থাকে (যেমন, সারি স্থানান্তর বা আন্তঃপরিবর্তন)। একটি চরিত্রগত বহুপদী সহগসহ একটি ভেক্টর দেওয়া হলে, MATLAB উপরের সারির সহগগুলোর সাথে একটি কম্প্যানিয়ন ফর্ম গণনা করতে পারে (অন্যান্য ৩টি সম্ভাব্য কম্প্যানিয়ন ফর্ম রয়েছে যা সেই ফাংশন দ্বারা উৎপন্ন হয় না)

compan(P)

একটি ট্রান্সফার ফাংশনের লব বহুপদী সহগসহ অন্য ভেক্টর দেওয়া হলে, canon কমান্ড একই কাজ করতে পারে।

[Ap, Bp, Cp, Dp, P] = canon(tf(Pnum,Pden), 'companion');

একই কমান্ড একটি অবস্থা-স্থান সমীকরণকে একটি মডেল (যেমন, তির্যক) আকারে রূপান্তর করতে ব্যবহার করা যেতে পারে।

[Ap, Bp, Cp, Dp, P] = canon(A, B, C, D, 'modal');

তবে, MATLAB-এ জর্ডান ম্যাট্রিক্সের ফর্ম গণনা করার জন্য একটি কমান্ডও অন্তর্ভুক্ত রয়েছে, এটি একটি পরিবর্তিত মোডাল ফর্ম যা পুনরাবৃত্ত ইজেন মানসহ ম্যাট্রিক্সের জন্য উপযুক্ত।

jordan(A);

হাতে স্ট্যান্ডার্ড ফর্ম গণনা

ক্যানোনিকাল ফর্ম নিয়ন্ত্রণ

আমাদের একটি সিস্টেম দেওয়া হয়েছে যা ট্রান্সফার ফাংশন দ্বারা বর্ণিত হয়েছে:

${\frac {Y(s)}{U(s)}}={\frac {s^{2}+6s+8}{s^{3}+9s^{2}+23s+15}}$

এবং এখন নিয়ন্ত্রণ ক্যানোনিকাল আকারে স্টেট-স্পেস ম্যাট্রিক্সগুলো প্রাপ্ত করার দায়িত্ব আমাদের উপর ন্যস্ত। আমরা প্রথমে লক্ষ্য করি যে লবের ক্রম হল ২, যখন হরটিতে সংশ্লিষ্ট ক্রম হল ৩। এর মানে হল আমাদের কোনও ফিড-ফরোয়ার্ড থাকবে না এবং তাই, স্কেলার D হল ০।

আমরা এখন ট্রান্সফার ফাংশনটিকে দুটি ফ্যাক্টরে বিভক্ত করছি:

${\frac {Y(s)}{x_{1}(s)}}\times {\frac {x_{1}(s)}{U(s)}}={\frac {s^{2}+6s+8}{1}}\times {\frac {1}{s^{3}+9s^{2}+23s+15}}.$

তারপর আমরা টাইম-ডোমেনের বর্ণনাটি প্রকাশ করি,

$Y(s)=(s^{2}+6s+8)x_{1}.$

$Y(s)=s^{2}x_{1}+6sx_{1}+8x_{1}.$

$y(t)={\ddot {x_{1}}}+6{\dot {x_{1}}}+8x_{1}.$

আমরা এখন দুটি নতুন অবস্থা তৈরি করছি যা এই সমস্ত ডেরিভেটিভ বর্ণনা করে। যেহেতু সিস্টেমের সর্বোচ্চ ক্রম হল ৩ (TF এর হর) , আমাদের অবশ্যই ২টি নতুন অবস্থা তৈরি করতে হবে, যাতে আমাদের মোট ৩টি অবস্থা থাকে।

${\dot {x_{1}}}=x_{2},{\dot {x_{2}}}=x_{3}={\ddot {x_{1}}}.$

আমরা উপরের সমীকরণে নতুন অবস্থাগুলো প্রতিস্থাপন করি:

$y(t)=x_{3}+6x_{2}+8x_{1}.$

এখন আমরা সিস্টেমের ইনপুট একইভাবে মূল্যায়ন করি:

$U(s)=(s^{3}+9s^{2}+23s+15)x_{1}.$

$U(s)=s^{3}x_{1}+9s^{2}x_{1}+23sx_{1}+15x_{1}.$

$u(t)=x_{1}^{(3)}+9{\ddot {x_{1}}}+23{\dot {x_{1}}}+15x_{1}.$

মনে রাখবেন যে প্রথম পদটি একটি তৃতীয় অন্তরজ। আমরা এখন উপরের সমীকরণে আমাদের নতুন অবস্থা সন্নিবেশ করতে পারি:

$u(t)={\dot {x_{3}}}+9x_{3}+23x_{2}+15x_{1}.$

আমরা তৃতীয় অবস্থার অন্তরজকে বাম দিকে সরাব এবং তখন পাই:

${\dot {x_{3}}}=-15x_{1}-23x_{2}-9x_{3}+u.$

আমরা এখন এই সমীকরণগুলোকে স্টেট-স্পেস আকারে পুনর্লিখন করতে প্রস্তুত। আমরা ইনপুটটি সমীকরণের ডান দিকে সরানোর মাধ্যমে শুরু করি যাতে প্রতিটি স্টেট-এর জন্য আমাদের একটি রাশি থাকে।

${\begin{bmatrix}{\dot {x_{1}}}\\{\dot {x_{2}}}\\{\dot {x_{3}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-15&0-23&-9\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\0\\1\\\end{bmatrix}}u$

$y={\begin{bmatrix}8&6&1\\\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\\\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0\\\end{bmatrix}}u$

← স্বত্বমান ও স্বত্বভেক্টর

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

MIMO সিস্টেম →