নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/বোডি চিত্র

বোডে প্লট

বোডে প্লট একটি উপযোগী সরঞ্জাম যা একটি প্রদত্ত LTI (রৈখিক সময় অপরিবর্তনীয়) সিস্টেমের বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সির জন্য গেইন ও ফেজ প্রতিক্রিয়া দেখায়। বোডে প্লট সাধারণত একটি প্রদত্ত সিস্টেমের ফুরিয়ার রূপান্তরের সঙ্গে ব্যবহৃত হয়।

বোডে ম্যাগনিচিউড ও ফেজ প্লটের একটি উদাহরণ। সাধারণত ম্যাগনিচিউড প্লটটি উপরে এবং ফেজ প্লটটি নিচে থাকে।

বোডে প্লটের ফ্রিকোয়েন্সিগুলি লঘুগাণিতিক স্কেলে অঙ্কিত হয়। ফ্রিকোয়েন্সি অক্ষে প্রতিটি দাগ আগের মানের ১০ গুণ। উদাহরণস্বরূপ, একটি স্ট্যান্ডার্ড বোডে প্লটে মানগুলি সাধারণত হয় (0.1, 1, 10, 100, 1000, ...) যেহেতু প্রতিটি দাগ ১০ গুণ বৃদ্ধি পাচ্ছে, সেগুলিকে ডেকেড বলা হয়। লক্ষ্য করুন যে ডানদিকে অগ্রসর হওয়ার সঙ্গে সঙ্গে একটি ডেকেডের "দৈর্ঘ্য" কমে যায়। (উল্লেখ্য, উপরোক্ত চিত্রের সঙ্গে এই বর্ণনা মিলে না... সেখানে প্রতি ডেকেডে ১০টি দাগ রয়েছে, কিন্তু যেহেতু এটি একটি লগ স্কেল, তাই সেগুলি সমানভাবে বিভক্ত নয়।)

বোডে ম্যাগনিচিউড প্লট ইনপুট/আউটপুট অনুপাতকে ডেসিবেল নামক বিশেষ এককে প্রকাশ করে। ফেজ প্লট সাধারণত ফেজ শিফটকে ডিগ্রিতে প্রকাশ করে (যদিও কখনও কখনও রেডিয়ানেও প্রকাশ করা হয়)।

ডেসিবেল

ডেসিবেল হলো একটি লগ স্কেল অনুযায়ী দুটি সংখ্যার অনুপাত। যদি আমরা দুটি সংখ্যার (A ও B) অনুপাতকে ডেসিবেলে প্রকাশ করতে চাই, তাহলে নিচের সূত্রটি প্রয়োগ করতে হয় (যেখানে A ও B অ্যামপ্লিটিউড নির্দেশ করে; যদি পাওয়ার হয় তবে ২০-এর পরিবর্তে ১০ ব্যবহার করা হয়):

dB=20\log \left({A \over B}\right)

এখানে dB হলো ডেসিবেল মান।

বা, যদি আমরা একটি একক সংখ্যার (C) ডেসিবেল নিতে চাই, তাহলে লিখতে পারি:

dB=20\log(C)

ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নোটেশন

যদি আমাদের একটি সিস্টেম ট্রান্সফার ফাংশন থাকে T(s), তাহলে আমরা সেটিকে লঘুগুণনীয় N(s) এবং হ্রাসনীয় D(s) রূপে ভাগ করতে পারি। আমরা লিখতে পারি:

T(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}

ম্যাগনিচিউড গেইন প্লট পাওয়ার জন্য, প্রথমে আমাদের ট্রান্সফার ফাংশনকে ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে রূপান্তর করতে হবে, এর জন্য পরিবর্তন করি:

s=j\omega

এখান থেকে আমরা বলতে পারি যে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াটি দুটি অংশ নিয়ে গঠিত: একটি বাস্তব অংশ R এবং একটি কাল্পনিক অংশ X:

T(j\omega )=R(\omega )+jX(\omega )

এই রূপগুলি আমরা নিচে ব্যবহার করবো।

সরলরেখা অনুমান

বোডে ম্যাগনিচিউড এবং ফেজ প্লট সহজেই কিছু সোজা রেখার মাধ্যমে আনুমানিকভাবে অঙ্কন করা যায়। এই আনুমানিক গ্রাফগুলি কয়েকটি সহজ নিয়ম অনুসরণ করে আঁকা যায় (যা নিচে তালিকাভুক্ত)। একবার সোজা-রেখার গ্রাফ নির্ধারিত হলে, প্রকৃত বোডে প্লটটি ঐ রেখাগুলিকে অনুসরণ করে একটি মসৃণ বক্ররেখা হয় এবং এটি ব্রেক পয়েন্ট-এর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে।

ব্রেক পয়েন্ট

যদি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া পোল-জিরো রূপে থাকে:

T(j\omega )={\frac {\prod _{n}|j\omega +z_{n}|}{\prod _{m}|j\omega +p_{m}|}}

তাহলে আমরা বলি যে সমস্ত z_n এবং p_m মানগুলো হলো বোডে প্লটের ব্রেক পয়েন্ট। এই পয়েন্টগুলোতে বোডে প্লটে সবচেয়ে বড় দিক পরিবর্তন ঘটে।

ব্রেক পয়েন্টগুলোকে কখনও কখনও "ব্রেক ফ্রিকোয়েন্সি", "কাট-অফ পয়েন্ট", বা "কোণ পয়েন্ট" হিসেবেও উল্লেখ করা হয়।

বোডে গেইন প্লট

বোডে গেইন প্লট, অথবা বোডে ম্যাগনিচিউড প্লট একটি সিস্টেমের প্রতিটি ইনপুট ফ্রিকোয়েন্সিতে গেইনের অনুপাত প্রদর্শন করে।

বোডে গেইন গণনা

ট্রান্সফার ফাংশন T-এর ম্যাগনিচিউড সংজ্ঞায়িত হয়:

|T(j\omega )|={\sqrt {R^{2}+X^{2}}}

তবে, একটি "লঘুগুণনীয়/হ্রাসনীয়" রূপকে "বাস্তব + কাল্পনিক" রূপে রূপান্তর করা প্রায়ই কঠিন হয়। সৌভাগ্যক্রমে, আমাদের ডেসিবেল গণনাটি এখানে কার্যকর হয়। ধরুন আমাদের ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স একটি ভগ্নাংশরূপে সংজ্ঞায়িত যেখানে লঘুগুণনীয় ও হ্রাসনীয় বহুপদী রয়েছে:

T(j\omega )={\frac {\prod _{n}|j\omega +z_{n}|}{\prod _{m}|j\omega +p_{m}|}}

যদি আমরা উভয় পাশকে ডেসিবেলে রূপান্তর করি, তাহলে লগারিদম সূত্র অনুযায়ী গুণফলগুলো যোগফলে এবং ভাগফলগুলো বিয়োগফলে পরিণত হয়:

Gain=\sum _{n}20\log(|j\omega +z_{n}|)-\sum _{m}20\log(|j\omega +p_{m}|)

প্রতিটি পদে গেইন হিসাব করে সবগুলো যোগ করলে ঐ নির্দিষ্ট ফ্রিকোয়েন্সিতে সিস্টেমের মোট গেইন পাওয়া যায়।

বোডে গেইনের আনুমানিক রূপরেখা

বোডে ম্যাগনিচিউড প্লটে সোজা রেখার ঢাল প্রকাশ করা হয় ডেসিবল/দশক এককে, কারণ উল্লম্ব অক্ষের একক dB এবং অনুভূমিক অক্ষের একক ডেকেড।

ω = 0 মানটি বোডে প্লটের সম্পূর্ণ বাম প্রান্তে অবস্থান করে (যেহেতু লগারিদমিক স্কেলে শূন্য মান কখনও পৌঁছায় না), তাই ω = 0-এ গেইন নির্ধারণ করলে সেটি প্রথম ব্রেক পয়েন্ট পর্যন্ত সম্পূর্ণ বামদিকের গেইন মান হিসেবে ধরা হয়। ω = 0-এ রেখার ঢাল হয় 0 ডেসিবল/দশক।

প্রতিটি পোল ব্রেক পয়েন্ট থেকে রেখার ঢাল 20 ডেসিবল/দশক করে হ্রাস পায়। রেখাটি সোজা থাকে যতক্ষণ না এটি পরবর্তী ব্রেক পয়েন্টে পৌঁছায়। প্রতিটি জিরো ব্রেক পয়েন্ট থেকে রেখার ঢাল 20 ডেসিবল/দশক করে বৃদ্ধি পায়। দ্বিগুণ, ত্রিগুণ, বা আরও বেশি সংখ্যক পুনরাবৃত্ত পোল ও জিরো গেইনের উপর গুণিত হারে প্রভাব ফেলে। নিচে কিছু উদাহরণ দেওয়া হলো:

2টি পোল: -40 ডেসিবল/দশক
10টি পোল: -200 ডেসিবল/দশক
5টি জিরো: +100 ডেসিবল/দশক

বোডে ফেজ প্লট

বোডে ফেজ প্লট একটি ইনপুট তরঙ্গরূপের সাথে ফেজ শিফট কেমনভাবে পরিবর্তিত হয় তা প্রদর্শন করে, যা সিস্টেম ইনপুটের ফ্রিকোয়েন্সি বৈশিষ্ট্যের উপর নির্ভর করে। এখানে আবার লক্ষ্য করা যায় যে, লাপ্লাস রূপান্তর সিস্টেমের ফেজ শিফট বৈশিষ্ট্যকে বিবেচনা করে না, কিন্তু ফুরিয়ার রূপান্তর তা করতে পারে। একটি জটিল ফাংশনের ফেজ, "বাস্তব + কাল্পনিক" রূপে, নিম্নরূপে প্রকাশ করা হয়:

\angle T(j\omega )=\tan ^{-1}\left({\frac {X}{R}}\right)

বোডে পদ্ধতি

একটি ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া যদি পোল-জিরো রূপে দেওয়া হয়:

T(j\omega )=A{\frac {\prod _{n}|j\omega +z_{n}|}{\prod _{m}|j\omega +p_{m}|}}

যেখানে A একটি শূন্য-নয় এমন ধ্রুবক (ইহা ঋণাত্মক অথবা ধনাত্মক হতে পারে)।

বোডে ম্যাগ্নিচুড প্লটের আনুমানিক রেখাচিত্র আঁকার ধাপসমূহ নিম্নরূপ:

বোডে ম্যাগ্নিচুড প্লট

ধাপ ১: ট্রান্সফার ফাংশনটিকে পোল-জিরো রূপে রূপান্তর করুন।
ধাপ ২: ট্রান্সফার ফাংশন থেকে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করুন।
ধাপ ৩: লগারিদম ব্যবহার করে ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়াকে ডেসিবল পদগুলোর যোগফলে ভাগ করুন।
ধাপ ৪: $\omega =0$ ব্যবহার করে প্রাথমিক ম্যাগ্নিচুড নির্ণয় করুন।
ধাপ ৫: প্রতিটি পোল এবং জিরোর অবস্থানকে ব্রেক পয়েন্ট বলা হয়। একটি জিরো ব্রেক পয়েন্টে রেখার ঢাল ২০ ডেসিবল/দশক করে বৃদ্ধি পায়। একটি পোল ব্রেক পয়েন্টে ঢাল ২০ ডেসিবল/দশক করে হ্রাস পায়।
ধাপ ৬: একটি জিরো ব্রেক পয়েন্টে, প্রকৃত গ্রাফের মান সরল রেখা থেকে ৩ dB বেশি হয়। একটি পোল হলে তা সরল রেখার চেয়ে ৩ dB কম হয়।
ধাপ ৭: প্রকৃত বোডে প্লটটি একটি মসৃণ-বক্ররেখা হিসেবে আঁকুন যা আগের ধাপে নির্ধারিত সরল রেখাগুলোর অনুসরণে চলে এবং ব্রেক পয়েন্টগুলোর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করে।

বোডে ফেজ প্লট আঁকার ধাপসমূহ নিচে দেওয়া হলো:

বোডে ফেজ প্লট

ধাপ ১: যদি A ধনাত্মক হয়, তাহলে ০ ডিগ্রি থেকে (শূন্য ঢালে) গ্রাফ শুরু করুন। যদি A ঋণাত্মক হয়, তাহলে গ্রাফটি ১৮০ ডিগ্রি (বা -১৮০ ডিগ্রি — উভয় একই) থেকে শুরু করুন।
ধাপ ২: প্রতিটি জিরোর জন্য, রেখাটি উর্ধ্বগামী করুন ৪৫ ডিগ্রি/দশক হারে যখন $\omega ={\frac {z_{n}}{10}}$ (ব্রেক ফ্রিকোয়েন্সির এক দশক আগে)। একাধিক জিরো থাকলে ঢাল আরও খাড়া হয়।
ধাপ ৩: প্রতিটি পোলের জন্য, রেখাটি অধঃগামী করুন ৪৫ ডিগ্রি/দশক হারে যখন $\omega ={\frac {p_{m}}{10}}$ (ব্রেক ফ্রিকোয়েন্সির এক দশক আগে)। একাধিক পোল থাকলে ঢাল আরও খাড়া হয়।
ধাপ ৪: যখন ফেজ ৯০ ডিগ্রি (জিরোর জন্য) বা -৯০ ডিগ্রি (পোলের জন্য) পরিবর্তন শেষ হয়, তখন ঢাল পুনরায় সমতল করুন (একাধিক পোল বা জিরোর ক্ষেত্রে এই মান বেশি হতে পারে)।

উদাহরণসমূহ

উদাহরণ: ধ্রুবক গেইন

একটি পরিবর্ধক সিস্টেমের বোডে প্লট আঁকুন, যার গেইন বৃদ্ধি ধ্রুবক ৬ dB।

যেহেতু গেইনের মান ধ্রুবক এবং ফ্রিকোয়েন্সির উপর নির্ভর করে না, আমরা জানি যে ম্যাগ্নিচুড গ্রাফের মান গ্রাফের সকল স্থানে ধ্রুবক থাকবে। এখানে কোনো ব্রেক পয়েন্ট নেই, তাই গ্রাফের ঢাল কখনও পরিবর্তিত হয় না। আমরা গ্রাফটিকে একটি সরল, অনুভূমিক রেখা হিসেবে ৬ dB উচ্চতায় আঁকতে পারি:

উদাহরণ: ইন্টিগ্রেটর

একটি নিখুঁত ইন্টিগ্রেটর সিস্টেমের বোডে প্লট আঁকুন, যার ট্রান্সফার ফাংশন হলো:

T(s)={\frac {2}{s}}

প্রথমে, পরিবর্তনশীল রূপান্তরের মাধ্যমে সিস্টেমের ফ্রিকোয়েন্সি প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করি:

T(j\omega )={\frac {2}{j\omega }}

এরপর আমরা ম্যাগ্নিচুডকে লগারিদমে রূপান্তর করি:

Gain=20\log(2)-20\log(|j\omega |)

লক্ষ্য করুন যে পোলের ব্রেক পয়েন্টের অবস্থান ω → 0-এ অবস্থিত, যা গ্রাফের একেবারে বাঁ দিকে। এছাড়াও, ω = 0 বসালে মান অনির্ধারিত হয় (যা সীমা অনুযায়ী ঋণাত্মক অসীমের দিকে যায়)। আমরা জানি, যেহেতু শূন্যে একটি পোল আছে, তাই শূন্যের ডানদিকে (অর্থাৎ সর্বত্র) রেখার ঢাল -20 dB/Decade হয়। আমাদের ম্যাগ্নিচুড গণনা থেকে, যদি আমরা ω = 1 বসাই, তাহলে দ্বিতীয় পদটি ০ হয় এবং ম্যাগ্নিচুড ৬ dB হয়। এখন আমাদের কাছে রেখার ঢাল এবং একটি বিন্দু রয়েছে, যেখানে রেখাটি গ্রাফকে অতিক্রম করে। আমরা সেই অনুযায়ী গ্রাফ আঁকতে পারি: