নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/বিচ্ছিন্ন-সময় স্থিতিশীলতা

বিচ্ছিন্ন-সময় স্থিতিশীলতা

একটি বিচ্ছিন্ন-সময় বা ডিজিটাল সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ, একটি ধারাবাহিক সময়ের সিস্টেম বিশ্লেষণের সঙ্গে সাদৃশ্যপূর্ণ। তবে এখানে পর্যাপ্ত পার্থক্য রয়েছে, যা এটিকে একটি স্বতন্ত্র অধ্যায় হিসেবে বিবেচনার উপযোগী করে তোলে।

ইনপুট-আউটপুট স্থিতিশীলতা

ইউনিফর্ম স্থিতিশীলতা

একটি LTI (রৈখিক-সময়-অপরিবর্তনশীল) এবং কারণমূলক সিস্টেমকে তখনই ইউনিফর্ম BIBO (Bounded Input, Bounded Output) স্থিতিশীল বলা হয়, যখন এমন একটি ধনাত্মক ধ্রুবক L বিদ্যমান থাকে, যাতে নিচের শর্তগুলো পূরণ হয়:

$x[n_{0}]=0$

$\|u[n]\|\leq k$

$k\geq 0$

এই শর্তগুলো থেকে এটি নিশ্চিত করা যায় যে:

$\|y[n]\|\leq L$

অর্থাৎ, ইনপুট যদি সীমার মধ্যে থাকে, তাহলে আউটপুটও একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকবে।

ইমপালস রেসপন্স ম্যাট্রিক্স

একটি বিচ্ছিন্ন-সময় সিস্টেমের ইমপালস রেসপন্স ম্যাট্রিক্স নিচের মতোভাবে সংজ্ঞায়িত করা যায়:

[ইমপালস রেসপন্স ম্যাট্রিক্স]

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ যদি }}k>0\\0&{\mbox{ যদি }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

আর যদি সিস্টেমটি সময়-পরিবর্তনশীল হয়, তাহলে:

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ যদি }}k>0\\0&{\mbox{ যদি }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

একটি ডিজিটাল সিস্টেম তখনই BIBO স্থিতিশীল হবে, যখন একটি ধনাত্মক ধ্রুবক L বিদ্যমান থাকবে, যাতে সমস্ত অ-ঋণাত্মক k এর জন্য নিচের শর্তটি সন্তুষ্ট হয়:

$\sum _{n=0}^{k}\|G[n]\|\leq L$

অর্থাৎ, ইমপালস রেসপন্সের মোট মান যদি একটি নির্দিষ্ট সীমার মধ্যে থাকে, তাহলে ইনপুট সীমিত হলে আউটপুটও সীমিত থাকবে।

স্থানান্তর ফাংশনের স্থিতিশীলতা

একটি MIMO (মাল্টি-ইনপুট মাল্টি-আউটপুট) বিচ্ছিন্ন-সময় সিস্টেম তখনই BIBO (Bounded Input, Bounded Output) স্থিতিশীল হয়, যখন স্থানান্তর ফাংশন ম্যাট্রিক্সে থাকা প্রতিটি স্থানান্তর ফাংশনের সব পোলের মান ১-এর চেয়ে ছোট হয়। অর্থাৎ, প্রতিটি পোল Z-প্লেনে একক বৃত্তের (unit circle) ভেতরে অবস্থান করতে হবে।

সহজভাবে বললে, যদি ইনপুট সীমিত থাকে এবং আউটপুটও সীমিত রাখতে চাই, তাহলে স্থানান্তর ফাংশনের সব পোল একক বৃত্তের ভেতরে থাকাটা অত্যন্ত জরুরি।

লাইয়াপুনভ স্থিতিশীলতা

ডিজিটাল সিস্টেমের ক্ষেত্রে একটি বিচ্ছিন্ন-রূপ লাইয়াপুনভ স্থিতিশীলতা উপপাদ্য বিদ্যমান। নিচে একটি বিচ্ছিন্ন লাইয়াপুনভ সমীকরণ উপস্থাপন করা হলো:

[ডিজিটাল লাইয়াপুনভ সমীকরণ]

$A^{T}MA-M=-N$

এই লাইয়াপুনভ সমীকরণের রূপ ব্যবহার করে, আমরা একটি বিচ্ছিন্ন-সময়ের সিস্টেমের স্থিতিশীলতার জন্য একটি শর্ত নির্ধারণ করতে পারি:

লাইয়াপুনভ স্থিতিশীলতা উপপাদ্য (ডিজিটাল সিস্টেম)

যদি একটি ডিজিটাল সিস্টেমের সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A হয়, তবে সেই সিস্টেমটি অনতিক্রমণীয়ভাবে স্থিতিশীল হবে যদি এবং কেবল যদি প্রতিটি ধনাত্মক-নির্ধারক ম্যাট্রিক্স N-এর জন্য একটি একক ম্যাট্রিক্স M বিদ্যমান থাকে, যা লাইয়াপুনভ সমীকরণটি পূরণ করে।

পোল ও আইগেনভ্যালু

G(z)-এর প্রতিটি পোল সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর একটি আইগেনভ্যালু হয়ে থাকে। তবে, সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর প্রতিটি আইগেনভ্যালু আবশ্যিকভাবে G(z)-এর পোল হবে—এমনটি নয়। স্থানান্তর ফাংশনের পোলগুলোর মতোই, সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের সমস্ত আইগেনভ্যালুর মান অবশ্যই ১-এর চেয়ে কম হতে হবে। গাণিতিকভাবে এটি প্রকাশ করা যায়:

${\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}\leq 1$

যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর কোনো আইগেনভ্যালু অথবা স্থানান্তর ফাংশনের কোনো পোলের মান ১-এর বেশি হয়, তাহলে সেই সিস্টেমটিকে অস্থিতিশীল হিসেবে বিবেচনা করা হয়।

সীমিত শব্দ দৈর্ঘ্য

ডিজিটাল কম্পিউটার ব্যবস্থায় একটি অন্তর্নিহিত সীমাবদ্ধতা হলো—বাস্তব ব্যবস্থায় ব্যবহৃত কম্পিউটারগুলোকে নির্দিষ্ট বা সীমিত শব্দ দৈর্ঘ্যের মধ্যে কাজ করতে হয়। এর ফলে কিছু গুরুত্বপূর্ণ সমস্যা দেখা দেয়:

1. বাস্তব সংখ্যাগুলোকে শুধুমাত্র নির্দিষ্ট সংখ্যক দশমিক ঘর পর্যন্তই সঠিকভাবে উপস্থাপন করা যায়। সাধারণভাবে একটি কম্পিউটার ব্যবস্থা কেবলমাত্র নির্দিষ্ট একটি সীমার মধ্যে সংখ্যাকে নিখুঁতভাবে উপস্থাপন করতে সক্ষম।

1. এই সীমাবদ্ধতার কারণে প্রতিক্রিয়াশীল ব্যবস্থাগুলোতে প্রতিটি প্রোগ্রাম চালনার পুনরাবৃত্তিতে ত্রুটি ধীরে ধীরে বাড়তে পারে। একটি ধাপে সামান্য ত্রুটি পরবর্তী ধাপে গিয়ে বড়ো ভুলে রূপ নিতে পারে।

1. পূর্ণসংখ্যা উপস্থাপনেও একটি নির্দিষ্ট সীমা থাকে। এর ফলে পূর্ণসংখ্যাগুলো হয় রোল-ওভার করে (অর্থাৎ সীমা অতিক্রম করলে আবার শূন্য থেকে শুরু করে), অথবা স্যাচুরেট করে (সর্বোচ্চ বা সর্বনিম্ন মানে আটকে যায়)—যা ব্যবস্থার নকশার উপর নির্ভর করে। উভয় ক্ষেত্রেই ভুল ফলাফল দেখা দিতে পারে।