নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/বাস্তবায়ন

বাস্তবায়ন

কোন সিস্টেমের গাণিতিক মডেলের নিরিখে (সেটি হয়তো ল্যাপ্লেস মডেল অথবা স্টেট স্পেস মডেল) একটি বাস্তব ভৌত ব্যাবস্থা বা সিস্টেম প্রস্তুতকরনের প্রক্রিয়াই হল বাস্তবায়বন বা রিয়ালাইজেশন। তবে সমস্ত সিস্টেম বাস্তবায়নযোগ্য নয়।

একটি গুরুত্বপূর্ণ জিনিষ মাথায় রাখা উচিত যে, সিস্টেমের গাণিতিক বিশ্লেষণের ক্ষেত্রে ল্যাপ্লেস ডোমেইন (ল্যাপ্লেস ক্ষেত্র) উপস্থাপনা এবং স্টেট স্পেস ডোমেইন (স্টেট স্পেস ক্ষেত্র) উপস্থাপনা একে অপরের সমতুল্য এবং উভয় ব্যাবস্থার মাধ্যমেই কোন ভৌত ব্যাবস্থা বা সিস্টেমকে সংজ্ঞায়িত করা হয় এবং তার গাণিতিক বিশ্লেষণ করা হয়। তাই আমাদের এমন একটি উপায় প্রয়োজন যার মাধ্যমে আমরা এই দুই ধরনের গাণিতিক মডেলের মধ্যে সম্পর্ক স্থাপন করতে পারি, কারণ সিস্টেমের নির্দিষ্ট বিশ্লেষণ পদ্ধতির জন্য প্রতিটি গাণিতিক মডেলই উপযোগী। উদাহরণস্বরূপ, যখন একটি সিস্টেমের নকশা থেকে আমরা বাস্তবে একটি সিস্টেম নির্মাণের পর্যায়ে পৌঁছেছি তখন সেক্ষেত্র স্টেট-স্পেস গাণিতিক মডেলের ব্যবহার সবচেয়ে বেশি উপযুক্ত। এই কারণেই, সিস্টেমের ল্যাপ্লেস উপস্থাপনাকে স্টেট-স্পেস উপস্থাপনায় রূপান্তর করার প্রক্রিয়াটি জানা জরুরী এবং সেই প্রক্রিয়াকেই বাস্তবায়ন বা রিয়ালাইজেশন হিসাবে চিহ্নিত করা হয়।

বাস্তবায়নের শর্ত

মন্তব্য:
এই শর্তগুলির মাধ্যনে বিচ্ছিন্ন-সময় (ডিসক্রিট) নির্ভরশীল সমস্ত সিস্টেম G(z) -এর বাস্তবায়নযোগ্যতা বিচার করা যায়

• ধরা যাক কোন সিস্টেমের গাণিতিক মডেল থেকে বিশ্লেষিত একটি ট্রান্সফার ফাংশন হল G(s)। এবার এই সিস্টেমটি তখনই বাস্তবায়নযোগ্য, যখন সিস্টেমটিকে শুধুমাত্র একটি সীমাবদ্ধ মাত্রার স্টেট-স্পেস সমীকরণ বা অবস্থান সমীকরনের মাধ্যমেই বর্ণনা করা যাবে।
• (A B C D), হল চারটি ম্যাট্রিক্সের একটি নির্দিষ্ট অনুক্রমিক সেট। এই ম্যাট্রিক্রসে অনুক্রমিক সেটের মাধ্যমে G(s) ট্রান্সফার ফাংশন সম্পন্ন একটি সিস্টেমের বাস্তবায়নযোগ্যতা বিচার করা যেতে পারে। যদি কোনো সিস্টেমকে এইরূপ একটি অনুক্রমিক ম্যাট্রিক্সের সেট হিসাবে প্রকাশ করা যায়, তাহলে একমাত্র তখনই সেই সিস্টেমকে বাস্তবায়নযোগ্য বলা যেতে পারে।
• কোনো সিস্টেম G তখনই বাস্তবায়নযোগ্য, যদি তার ট্রান্সফার ফাংশন G(s) একটি সুসংগত মূলদ(রেশিওনাল) ফাংশন হয়—অর্থাৎ, G(s) -এর গুণকের তুলনায় লঘুগণের ক্রম (ডিগ্রি) সমান বা বেশি হতে হবে।

আমরা ইতিমধ্যেই সিসো (সিংগল ইনপুট-সিংগল আউটপুট, অর্থাৎ একটিমাত্র ইনপুট বা নিবেশ মানের জন্য একটি ফলাফল বা আউটপুট) সিস্টেম বাস্তবায়নের পদ্ধতিটি আলোচনা করেছি, এই অধ্যায়ের বাকি অংশে মিমো (মাল্টিপল ইনপুট-মাল্টিপল আউটপুট, অর্থাৎ একাধিক ইনপুট বা নিবেশ মানের জন্য একাধিক ফলাফল বা আউটপুট) সিস্টেম বাস্তবায়নের সাধারণ পদ্ধতি সম্পর্কে আলোচনা করা হবে।

ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স বাস্তবায়ন

আমরা একটি ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স G(s) -কে একটি কঠোরভাবে সুসংগত ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সের মাধ্যমে নিম্নরূপে প্রকাশ করতে পারি;

$\mathbf {G} (s)=\mathbf {G} (\infty )+\mathbf {G} _{sp}(s)$

এখানে G_sp(s) একটি কঠোর সুসংগত ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্স। আমরা এই মান ব্যাবহার করে D ম্যাট্রিক্সের মান গননা করতে পারি:

$D=\mathbf {G} (\infty )$

এখন আমরা d(s)-কে G(s) ট্রান্সফার ফাংশনের সর্বনিম্ন সাধারণ হরের বহুপদ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি,

মনে রাখবেন, q হল সিস্টেমের ইনপুট সংখ্যা, p হল সিস্টেমের অন্তরবর্তী দশার সংখ্যা এবং r হল সিস্টেমের আউটপুটের সংখ্যা

$d(s)=s^{r}+a_{1}s^{r-1}+\cdots +a_{r-1}s+a_{r}$

তাহলে আমরাG_sp -কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$\mathbf {G} _{sp}(s)={\frac {1}{d(s)}}N(s)$

যেখানে,

$N(s)=N_{1}s^{r-1}+\cdots +N_{r-1}s+N_{r}$

এবং N_i হল p × q ধ্রুবক ম্যাট্রিক্স

যদি আমরা একটি ট্রান্সফার ফাংশনকে অবস্থান সমীকরণ বা স্টেট-স্পেস সমীকরণে রূপান্তর করার গাণিতিক পদ্ধতি মনে রাখি, তাহলে আমরা সেই একই সাধারণ পদ্ধতি অনুসরণ করতে পারি, কেবল নতুন ম্যাট্রিক্স A একটি ব্লক ম্যাট্রিক্স হবে, যেখানে প্রতিটি ব্লকের আকার হবে ট্রান্সফার ম্যাট্রিক্সের আকারের সমান।

$A={\begin{bmatrix}-a_{1}I_{p}&-a_{2}I_{p}&\cdots &-a_{r-1}I_{p}&-a_{r}I_{p}\\I_{p}&0&\cdots &0&0\\0&I_{p}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\cdots &I_{p}&0\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}I_{p}\\0\\0\\\vdots \\0\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}N_{1}&N_{2}&N_{3}&\cdots &Nr\end{bmatrix}}$

ম্যাট্রিক্সের স্তম্ভ অনুসারে সিস্টেম বাস্তবায়ন

আমরা G(s) কে একাধিক স্তম্ভে ভাগ করতে পারি, এবং এগুলোকে পৃথকভাবে বাস্তবায়ন করতে পারি এবং পরে আবার একসাথে জোড়া দিয়ে সিস্টেমের ট্রান্সফার ফাংশন G(s) -এর গঠন করতে পারি:

$G(s)={\begin{bmatrix}G_{1}&G_{2}&G_{3}&\dots &G_{n}\end{bmatrix}}$

যেখানে আমরা সেগুলিকে বাস্তবায়ন করি এবং পাই:

$G_{i}=>(A_{i},B_{i},C_{i},D_{i})$

এবং সিস্টেমের বাস্তবায়ন হবে:

$A={\begin{bmatrix}A_{1}&0&0&\dots &0\\0&A_{2}&0&&\vdots \\0&0&A_{3}\\\vdots &&&\ddots &0\\0&0&0&\dots &A_{n}\end{bmatrix}}$

$B={\begin{bmatrix}B_{1}&0&0&\dots &0\\0&B_{2}&0&&\vdots \\0&0&B_{3}\\\vdots &&&\ddots &0\\0&0&0&\dots &B_{n}\end{bmatrix}}$

$C={\begin{bmatrix}C_{1}&C_{2}&C_{3}&\dots &C_{n}\end{bmatrix}}$

$D={\begin{bmatrix}D_{1}&D_{2}&D_{3}&\dots &D_{n}\end{bmatrix}}$

← নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/MIMO সিস্টেম

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/গেইন →