নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/বহুপদী নকশা

বহুপদী নকশা

কন্ট্রোলার এবং ক্ষতিপূরণকারী সিস্টেমের নকশার জন্য একটি শক্তিশালী হাতিয়ার হল ''বহুপদী নকশা। বহুপদী নকশা সাধারণত দুটি পৃথক পর্যায় নিয়ে গঠিত:

1. সিস্টেমের কাঙ্ক্ষিত প্রতিক্রিয়া নির্ধারণ
2. কাঙ্ক্ষিত প্রতিক্রিয়ার সাথে মিল রেখে সিস্টেমকে সামঞ্জস্য করা

আমরা বহুপদী তৈরি করে এটি করি, যেমন ট্রান্সফর্ম-ডোমেন ট্রান্সফার ফাংশন, এবং প্রয়োজনীয় মান খুঁজে বের করার জন্য সহগ সমীকরণ। এই সমস্ত কিছুর লক্ষ্য হল আমাদের সিস্টেমের সমস্ত মেরুগুলিকে আমরা যে ট্রান্সফর্ম ডোমেনে চাই তার যেকোনো স্থানে নির্বিচারে স্থাপন করতে সক্ষম হওয়া। অন্য কথায়, আমরা যেকোনো কাঙ্ক্ষিত প্রতিক্রিয়ার সাথে মেলে আমাদের সিস্টেমের প্রতিক্রিয়াকে নির্বিচারে পরিবর্তন করতে চাই। এই অধ্যায়ের প্রয়োজনীয়তা হল সিস্টেমটি সম্পূর্ণরূপে নিয়ন্ত্রণযোগ্য এবং পর্যবেক্ষণযোগ্য হওয়া। যদি এই শর্তগুলির মধ্যে কোনটিই সন্তুষ্ট না হয়, তাহলে এই পদ্ধতির কৌশলগুলি সরাসরি বাস্তবায়ন করা যাবে না।

এই পদ্ধতির মাধ্যমে ধরে নেওয়া হয় যে উদ্ভিদটি দেওয়া হয়েছে এবং পরিবর্তনযোগ্য নয়। সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া সামঞ্জস্য করার জন্য, একটি নিয়ামক ইউনিট ডিজাইন করা প্রয়োজন যা সিস্টেমকে স্পেসিফিকেশন পূরণ করতে সাহায্য করে। যেহেতু নিয়ামকটি কাস্টম ডিজাইন করা হচ্ছে, তাই নিয়ামকের প্রতিক্রিয়া ইচ্ছামত নির্ধারণ করা যেতে পারে (অবশ্যই ভৌত সীমার মধ্যে)।

বহুপদী প্রতিনিধিত্ব

ধরুন যে আমাদের একটি উদ্ভিদ আছে, G(s), এবং একটি নিয়ামক আছে, C(s)। নিয়ামক এবং উদ্ভিদ উভয়ই সঠিক সিস্টেম, যা মনিক লব এবং হর বহুপদী দ্বারা গঠিত। উদ্ভিদ, G(s) এর একটি n ক্রম রয়েছে, দেওয়া হয়েছে এবং পরিবর্তন করা যাবে না। কাজটি হল C(s) কে m ক্রমানুসারে ডিজাইন করা:

$G(s)={\frac {b(s)}{a(s)}}$

$C(s)={\frac {B(s)}{A(s)}}$

আমাদের ক্লোজড-লুপ সিস্টেম, H(s) এর একটি ট্রান্সফার ফাংশন থাকবে:

$H(s)={\frac {C(s)G(s)}{1+C(s)G(s)}}={\frac {B(s)b(s)}{A(s)a(s)+B(s)b(s)}}$

আমাদের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ হল:

$\alpha _{H}(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

আমাদের উদ্ভিদটি দেওয়া হয়েছে যাতে আমরা a(s) এবং b(s) জানি, কিন্তু A(s) এবং B(s) আমাদের কন্ট্রোলারের অংশ হিসেবে কনফিগারযোগ্য। এগুলির মান নির্ধারণ করতে, আমাদের একটি কাঙ্ক্ষিত প্রতিক্রিয়া নির্বাচন করতে হবে, অর্থাৎ আমাদের সিস্টেমের "যে প্রতিক্রিয়া থাকা উচিত"। আমরা আমাদের কাঙ্ক্ষিত প্রতিক্রিয়াকে "D(s)" বলি। ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ সমাধান করে আমরা আমাদের কন্ট্রোলারকে কাঙ্ক্ষিত প্রতিক্রিয়ার সাথে মেলে এমনভাবে কনফিগার করতে পারি:

$D(s)=A(s)a(s)+B(s)b(s)$

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণটি "A(s)" এবং "B(s)" বহুপদীগুলির অজানা সহগের পরিপ্রেক্ষিতে রৈখিক সমীকরণের একটি ব্যবস্থায় পরিণত হয়। এমন কিছু পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ একটি অনন্য ফলাফল তৈরি করবে, তবে এমনও পরিস্থিতি রয়েছে যেখানে ফলাফলগুলি অ-অনন্য হবে।

আমরা বহুপদীকে গুণ করি এবং তারপর s এর ঘাত একত্রিত করি:

$D(s)=(A_{0}a_{0}+B_{0}b_{0})+$$(A_{0}a_{1}+A_{1}a_{0}+B_{0}b_{1}+B_{1}b_{0})s+$$\cdots +(A_{m}a_{n}+B_{m}b_{n})s^{m+n}$

এখন আমরা D(s) এর সহগগুলিকে সমীকরণ করতে পারি এবং আমাদের ফলস্বরূপ সমীকরণ ব্যবস্থাটি নিম্নরূপ দেওয়া হল:

${\begin{bmatrix}a_{0}&b_{0}&0&0&\cdots &0&0\\a_{1}&b_{1}&a_{0}&b_{0}&\cdots &0&0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\a_{n}&b_{n}&a_{n-1}&b_{n-1}&\cdots &a_{0}&b_{0}\\0&0&a_{n}&b_{n}&\cdots &a_{1}&b_{1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&0&0&\cdots &a_{n}&b_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\\\vdots \\A_{m}\\B_{m}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}D_{0}\\D_{1}\\\vdots \\D_{n+m}\end{bmatrix}}$

এই ম্যাট্রিক্সটি বড় হতে পারে, তবে প্যাটার্নটি সহজ: নতুন সহগগুলি স্থানান্তরিত হয় বাম দিকে, এবং পুরাতন সহগগুলি প্রতিটি সারিতে ডানদিকে স্থানান্তরিত হয়।

অনন্যতার শর্ত

ডায়োফ্যান্টাইন ম্যাট্রিক্স, যাকে আমরা "S" বলব, এর মাত্রা (n + m + 1) × (2m + 2)। যদি ডায়োফ্যান্টাইন ম্যাট্রিক্স বর্গক্ষেত্র হয় তবে এই সমীকরণের সমাধানটি অনন্য, এবং তাই এটি উল্টানো যায়। যদি ম্যাট্রিক্সে সারির চেয়ে বেশি কলাম থাকে, তাহলে সমাধানটি অ-অনন্য হবে। যদি ম্যাট্রিক্সে কলামের চেয়ে বেশি সারি থাকে, তাহলে কম্পোজিট সিস্টেমের মেরুগুলি ইচ্ছামত স্থাপন করা যাবে না।

m = n - 1 হলে অনন্যতার শর্তটি পূরণ করা যেতে পারে। নিয়ন্ত্রকের ক্রম উদ্ভিদের ক্রম থেকে এক কম হতে হবে। যদি নিয়ন্ত্রকের ক্রম বেশি হয়, তাহলে সমাধানটি অ-অনন্য হবে। যদি নিয়ন্ত্রকের ক্রম কম হয়, তাহলে সমস্ত মেরু ইচ্ছামত বরাদ্দ করা যাবে না।

উদাহরণ: দ্বিতীয় ক্রম ব্যবস্থা

আমাদের একটি সিস্টেম G(s) দেওয়া হয়েছে, এবং বলা হয়েছে যে আমাদের একটি পছন্দসই সিস্টেম প্রতিক্রিয়া D(s) সহ একটি ট্র্যাকিং সিস্টেম ডিজাইন করতে হবে। G(s) এবং D(s) কে এভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়েছে:

$G(s)={\frac {1}{s^{2}-1}}$

$D(s)=(s+2)^{3}=s^{3}+6s^{2}+12s+8$

আমাদের প্ল্যান্টে n = 2 অর্ডার আছে, যার অর্থ একটি অনন্য সমাধানের জন্য কন্ট্রোলারের অবশ্যই m = 1 অর্ডার থাকতে হবে। এছাড়াও, আমাদের পছন্দসই প্রতিক্রিয়া হল n + m = 3 অর্ডার। আমাদের কন্ট্রোলারটি একটি PID কন্ট্রোলার ফর্মের অনুরূপ:

$C(s)={\frac {B_{0}+B_{1}s}{A_{0}+A_{1}s}}$

ডায়োফ্যান্টাইন সমীকরণ তৈরি করলে আমাদের যা যা পাওয়া যায়:

${\begin{bmatrix}-1&1&0&0\\0&0&-1&1\\1&0&0&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}8\\12\\6\\1\end{bmatrix}}$

নীচের দুটি সারি আমাদের যা দেওয়া যায়:

$A_{1}=1$

$A_{0}=6$

এবং উপরের দুটি সারি আমাদের দেওয়া যায়:

$B_{0}=14$

$B_{1}=13$

এবং আমাদের চূড়ান্ত নিয়ামক হয়ে ওঠে:

$C(s)={\frac {14+13s}{6+s}}$

উদাহরণ: হেলিকপ্টার নিয়ন্ত্রণ

মেরু স্থাপন হল কন্ট্রোলার ডিজাইনের সবচেয়ে সহজ উপায়। পোল স্থাপন কৌশল ব্যবহার করে একটি সিস্টেম ডিজাইন করার ধাপগুলি এখানে দেওয়া হল:

1. নকশাটি একটি অনুমান দিয়ে শুরু হয় যে প্রদত্ত প্ল্যান্ট নিয়ন্ত্রণ করার জন্য কন্ট্রোলারকে কী রূপ নিতে হবে।
2. এই অনুমান থেকে একটি প্রতীকী বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ তৈরি হয়।
3. এই সময়ে কাঙ্ক্ষিত ক্লোজড-লুপ মেরু নির্ধারণ করতে হবে।
4. সাধারণত, স্পেসিফিকেশনগুলি ওভারশুট, উত্থানের সময় ইত্যাদি নির্ধারণ করে। এর ফলে একটি 2nd ক্রম সমীকরণ তৈরি হয়। বেশিরভাগ সময় চূড়ান্ত বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে 2টির বেশি মেরু থাকবে। তাই অতিরিক্ত পছন্দসই মেরু নির্ধারণ করতে হবে।

1. একবার বন্ধ লুপ খুঁটিগুলি নির্ধারণ করা হলে একটি কাঙ্ক্ষিত বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ তৈরি হয়।

1. প্রতিটি s শক্তির সহগগুলি প্রতীকী বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণ থেকে কাঙ্ক্ষিতের সাথে সমান করা হয়।

1. অনুমিত নিয়ামক ফর্মের সাথে কাঙ্ক্ষিত ক্লোজড-লুপ খুঁটি অর্জনের জন্য প্রয়োজনীয় নিয়ামক সহগ নির্ধারণ করতে বীজগণিত ব্যবহার করা হয়।

সাধারণত, স্থির-অবস্থার ত্রুটিকে 0 এর দিকে চালিত করার জন্য একটি ইন্টিগ্রেটর ব্যবহার করা হয়। এর অর্থ হল চূড়ান্ত বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে অনিয়ন্ত্রিত সিস্টেমের শুরুর চেয়ে কমপক্ষে 1টি বেশি মেরু থাকবে।

নিম্নলিখিত মেরু স্থাপনের উদাহরণগুলি আপনাকে দেখায় যে কীভাবে কাঙ্ক্ষিত ক্লোজড-লুপ খুঁটিগুলি নির্ধারণ করতে হয়, "অতিরিক্ত" ক্লোজড-লুপ খুঁটিগুলি নির্ধারণ করতে হয় এবং একটি জেনেরিক এবং PID নিয়ন্ত্রক তৈরি করতে হয় যাতে কাঙ্ক্ষিত ক্লোজড-লুপ খুঁটিগুলি অর্জন করা যায়।

ধরে নেওয়া যাক একটি দ্বিতীয় ক্রমিক সিস্টেম যার নিম্নলিখিত ফর্ম রয়েছে:

$H(s)=K{\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}{\mbox{ for }}0\leq \zeta \leq 1$

যেখানে

$K$ হল সিস্টেম লাভ

$\omega _{n}$ হল সিস্টেমের প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সি

$\zeta$ হল সিস্টেমের স্যাঁতসেঁতে অনুপাত।

এছাড়াও, আমরা ধরে নিই ফর্মের একটি ক্ষতিপূরণকারী

[1]

$K\left(s\right)={\frac {\left(B_{0}+B_{1}s\right)}{A_{0}+A_{1}s}}$

উদ্ভিদ নিয়ন্ত্রণের জন্য যথেষ্ট। ফলে প্রাপ্ত বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণটি হল:

$\Phi =\left(s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}\right)\left(A_{0}+A_{1}s\right)+\left(B_{0}+B_{1}s\right)\omega _{n}^{2}$.

এটিকে কমিয়ে আনা যেতে পারে:

[2a]

$\Phi =A_{1}s^{3}+\left(2A_{1}\zeta \omega _{n}+A_{0}\right)s^{2}+\left(A1\omega _{n}^{2}+2A_{0}\zeta \omega _{n}+B_{1}\omega _{n}^{2}\right)s+\omega _{n}^{2}\left(A_{0}+B_{0}\right)$

ম্যাট্রিক্স আকারে এটি হল:

[2b]

${\begin{bmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\omega _{n}^{2}&\omega _{n}^{2}&0&0\\2\zeta \omega _{n}&0&\omega _{n}^{2}&\omega _{n}^{2}\\1&0&2\zeta \omega _{n}&0\\0&0&1&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A_{0}\\B_{0}\\A_{1}\\B_{1}\end{bmatrix}}$

এই মুহুর্তে আমাদের কোন ক্লোজড লুপ পোলগুলি চাই তা নির্ধারণ করতে হবে। এটি করার জন্য আমাদের সিস্টেম ওভারশুট এবং সেটলিং সময় (অথবা পিক করার সময়) বিবেচনা করতে হবে। প্রতিটির সমীকরণ হল

$M_{p}=e^{\left({\frac {-\pi \zeta }{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}\right)}$

$\tau _{s}={\frac {4.6}{\zeta \omega _{n}}}$

$\tau _{p}={\frac {\pi }{\omega _{n}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}}$

যেখানে

$M_{p}$ অতিরিক্ত,

$\tau _{s}$ হল ১% স্থির সময়, এবং

$\tau _{p}$ হল শীর্ষে পৌঁছানোর সময়।

ওভারশুট সমীকরণ ব্যবহার করে আমরা দেখতে পাই যে একটি সাধারণ মান, $\zeta ={\frac {1}{\sqrt {2}}}$, মাত্র 4.3% ওভারশুট প্রদান করে। সময় থেকে শিখার সমীকরণ পরীক্ষা করলে আপনি জানতে পারবেন যে $\omega _{n}={\sqrt {2}}$ এর মান $\pi$ সেকেন্ডের সর্বোচ্চ সময় প্রদান করে। তবে, 3 সেকেন্ডের একটু বেশি সময় সম্ভবত খুব ধীর। এর পরিবর্তে 0.5 সেকেন্ডের জন্য শুটিং করা যাক। এর জন্য প্রয়োজন

$\omega _{n}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{0.5}}$।

সংক্ষিপ্তসার

• $\zeta =\zeta _{desired}={\frac {1}{\sqrt {2}}}$
• $\omega _{n}=\omega _{desired}={\sqrt {2}}{\frac {\pi }{0.5}}=8.8858$

যাইহোক, এর ফলে আমাদের কাঙ্ক্ষিত চরিত্রগত সমীকরণে মাত্র 2টি মূল (মেরু) অবশিষ্ট থাকে। যেহেতু আমরা চাই উপরের প্যারামিটারগুলি বন্ধ লুপ সিস্টেমের গতিবিদ্যায় প্রাধান্য পাক, তাই আমরা একটি তৃতীয় মেরু বেছে নিই যা কাঙ্ক্ষিত প্রাকৃতিক ফ্রিকোয়েন্সির অনেক উপরে।

[3]

$\left(s+a\right)\left(s^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}s+\omega _{desired}^{2}\right)$

যেখানে

• $a=10\omega _{desired}$ আমাদের তৃতীয় মেরু।

এই তৃতীয় মেরুটি একটি উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি মেরু যা কাঙ্ক্ষিত মেরুগুলিকে ক্লোজড-লুপ সিস্টেম প্রতিক্রিয়ার উপর আধিপত্য বিস্তার করতে দেয় এবং কাঙ্ক্ষিত চরিত্রগত সমীকরণে সঠিক সংখ্যক মেরু থাকতে দেয়।

আমাদের কাঙ্ক্ষিত চরিত্রগত সমীকরণ, সমীকরণ। ৩, কে কমিয়ে আনা যায়

$\Phi _{desired}\left(s\right)=s^{3}+\left(2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a\right)s^{2}+\left(\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a\right)s+a\omega _{desired}^{2}$

এর ফলে

$p_{3}=1$

$p_{2}=2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a$

$p_{1}=\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a$

$p_{0}=a\omega _{desired}^{2}$

এখান থেকে আমরা আমাদের বৈশিষ্ট্যগত সমীকরণে ফিরে যাই (সমীকরণ 2a অথবা 2b) নির্ধারণ করতে

$A_{1}=1$

$A_{0}=2\zeta _{desired}\omega _{desired}+a-2\zeta \omega _{n}$

$B_{0}={\frac {\left(a\omega _{desired}^{2}-A_{0}\omega _{n}^{2}\right)}{\omega _{n}^{2}}}$

$B_{1}={\frac {\omega _{desired}^{2}+2\zeta _{desired}\omega _{desired}a-2\zeta \omega _{n}A_{0}-A_{1}\omega _{n}^{2}}{\omega _{n}^{2}}}$

সতর্কতা

এই পদ্ধতি থেকে অনেক সমস্যা দেখা দিতে পারে।

অপর্যাপ্ত ক্রম

যদি K(s) এর একটি বহুপদী ডিগ্রি m থাকে এবং G(s) এর একটি বহুপদী ডিগ্রি n থাকে, তাহলে আমাদের যৌগিক সিস্টেম H(s) এর মোট ডিগ্রি m + n হবে। যদি আমাদের নিয়ামকের যথেষ্ট উচ্চ ক্রম না থাকে, তাহলে আমরা আমাদের সিস্টেমের প্রতিটি মেরুকে ইচ্ছামত বরাদ্দ করতে পারব না। স্টেট স্পেস থেকে, আমরা জানি যে যে মেরুগুলিকে ইচ্ছামত বরাদ্দ করা যায় না তাদের বলা হয় অনিয়ন্ত্রিত। অপর্যাপ্ত ক্রম বিশিষ্ট একটি নিয়ামক যোগ করলে আমাদের সিস্টেমের এক বা একাধিক মেরু অনিয়ন্ত্রিত হতে পারে।

বাহ্যিক লিঙ্ক

• ControlTheoryPro.com এর মেরু স্থান নির্ধারণের উপর নিবন্ধ

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

টেমপ্লেট:Control Systems/Stub