নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/পোল ও জিরো

মেরু এবং শূন্যবিন্দু

একটি স্থানান্তর ফাংশনের মেরু এবং শূন্যবিন্দু হল জটিল ফ্রিকোয়েন্সি চলরাশি ( s )-এর সেই মান যেগুলোর জন্য স্থানান্তর ফাংশনের মান অনন্ত (মেরু) অথবা শূন্য (শূন্যবিন্দু) হয়। বিশেষভাবে, শূন্যবিন্দু হল সেই মান যেগুলো স্থানান্তর ফাংশনের লঘুপাতক শূন্য করে, এবং মেরু হল সেই মান যেগুলো গুণপাতক শূন্য করে। একটি সিস্টেমের মেরু এবং শূন্যবিন্দুর মান নির্ধারণ করে যে সিস্টেমটি স্থিতিশীল কিনা এবং সেটি কতটা ভালোভাবে কাজ করে। নিয়ন্ত্রণ সিস্টেমকে সহজভাবে নকশা করা যায় মেরু এবং শূন্যবিন্দুর নির্দিষ্ট মান নির্ধারণের মাধ্যমে।

বাস্তবায়নযোগ্য নিয়ন্ত্রণ সিস্টেমে শূন্যবিন্দুর তুলনায় মেরুর সংখ্যা বেশি হতে হবে। এই ধরনের সিস্টেমকে বলা হয় যথাযথ। আমরা এটি নিচে বিশদভাবে ব্যাখ্যা করব।

সময়-ডোমেইন সম্পর্ক

ধরুন আমাদের কাছে একটি তিনটি মেরুর স্থানান্তর ফাংশন রয়েছে:

$H(s)={\frac {a}{(s-l)(s-m)(s-n)}}$

মেরুগুলো হল s = l, m, n। এখন আমরা আংশিক ভগ্নাংশে প্রসারণ ব্যবহার করে স্থানান্তর ফাংশনকে আলাদা করি:

$H(s)={\frac {a}{(s-l)(s-m)(s-n)}}={\frac {A}{s-l}}+{\frac {B}{s-m}}+{\frac {C}{s-n}}$

এই ভগ্নাংশগুলোর উপর বিপরীত লাপ্লাস রূপান্তর প্রয়োগ করে পাই:

$h(t)=Ae^{lt}u(t)+Be^{mt}u(t)+Ce^{nt}u(t)$

কিন্তু যেহেতু s একটি জটিল চলরাশি, তাই l m এবং n সবই জটিল হতে পারে, যার একটি বাস্তব অংশ (σ) এবং একটি কাল্পনিক অংশ (jω) থাকে। প্রথম পদটির জন্য যদি দেখি:

$Ae^{lt}u(t)=Ae^{(\sigma _{l}+j\omega _{l})t}u(t)=Ae^{\sigma _{l}t}e^{j\omega _{l}t}u(t)$

ঐলারের সমীকরণ ব্যবহার করে পাই:

$Ae^{\sigma _{l}t}[\cos(\omega _{l}t)+j\sin(\omega _{l}t)]u(t)$

যদি একটি জটিল মেরু থাকে তবে তার জটিল যৌগনিক মেরুও থাকবে। তখন তাদের কাল্পনিক অংশগুলো পরস্পরকে বাতিল করে দেয় এবং বাস্তব অংশ দুবার পাওয়া যায়। প্রথম পদের জটিল যৌগিক মেরু ধরা হলে, সমীকরণের বাস্তব অংশ দ্বিগুণ করে পাই:

$2Ae^{\sigma _{l}t}\cos(\omega _{l}t)u(t)$

এই সমীকরণ থেকে দেখা যায় প্রতিটি মেরুর প্রতিক্রিয়ায় একটি সূচীয়াংশ এবং একটি সাইনাসয়েডাল অংশ থাকে। এখন আমরা কিছু নিয়ম দাঁড় করাতে পারি:

• যদি σ_l = 0 হয়, তবে প্রতিক্রিয়া হবে নিখুঁত সাইনাসয়েডাল (অসিলেটর)
• যদি ω_l = 0 হয়, তবে প্রতিক্রিয়া হবে নিখুঁত সূচীয়।
• যদি σ_l < 0 হয়, প্রতিক্রিয়ার সূচীয়াংশ শূন্যের দিকে ক্ষয় হবে
• যদি σ_l > 0 হয়, প্রতিক্রিয়ার সূচীয়াংশ অনন্তের দিকে যাবে

এই শেষ দুটি নিয়ম থেকে বোঝা যায় যে সিস্টেমের সব মেরুর বাস্তব অংশ নেতিবাচক হতে হবে এবং তাদের রূপ (s + l) হতে হবে, যাতে সিস্টেম স্থিতিশীল থাকে। স্থিতিশীলতা আমরা পরবর্তী অধ্যায়ে আলোচনা করব।

মেরু ও শূন্যবিন্দু কী

ধরা যাক আমাদের একটি স্থানান্তর ফাংশন রয়েছে, যা দুটি বহুপদের অনুপাত:

$H(s)={N(s) \over D(s)}$

যেখানে N(s) এবং D(s) হল যথাক্রমে লঘুপাতক ও গুণপাতক। শূন্যবিন্দু হল N(s)-এর মূল (roots), অর্থাৎ যেখানে N(s) = 0 হয়, সেই মানগুলোই শূন্যবিন্দু।

একটি ফাংশনের বহুপদীয় ক্রম হল বহুপদের সর্বোচ্চ ঘাতের মান।

মেরু হল D(s)-এর মূল, অর্থাৎ যেখানে D(s) = 0 হয়। পূর্বোক্ত শর্ত অনুসারে, একটি স্থানান্তর ফাংশনে মেরুর সংখ্যা শূন্যবিন্দুর চেয়ে বেশি বা সমান হতে হবে, অর্থাৎ D(s)-এর ক্রম ≥ N(s)-এর ক্রম।

উদাহরণ

ধরা যাক একটি স্থানান্তর ফাংশন:

$H(s)={s+2 \over s^{2}+0.25}$

এখানে N(s) এবং D(s) হল:

$N(s)=s+2$

$D(s)=s^{2}+0.25$

N(s) শূন্য করে পাই:

$N(s)=s+2=0\to s=-2$

অতএব, একটি শূন্যবিন্দু আছে s = -2-এ। এবার D(s) = 0 করে পাই:

$D(s)=s^{2}+0.25=0\to s=+i{\sqrt {0.25}},-i{\sqrt {0.25}}$

সরলীকরণ করলে পাই: s = -i/2 , s = +i/2। মনে রাখতে হবে, s একটি জটিল চলরাশি, তাই এটি বাস্তব এবং কাল্পনিক মান নিতে পারে।

মেরু ও শূন্যবিন্দুর প্রভাব

যখন s শূন্যবিন্দুর দিকে যায়, তখন স্থানান্তর ফাংশনের মান শূন্যের দিকে যায়। আর s মেরুর দিকে গেলে গুণপাতক শূন্য হয়, ফলে স্থানান্তর ফাংশনের মান অনন্তের দিকে যায়। আউটপুট মান অনন্ত হওয়া মানে সম্ভাব্য অস্থিতিশীলতা, যা আমরা BIBO স্থিতিশীলতা আলোচনায় বিস্তারিত বলব।

মেরুর অবস্থান এবং তার বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ সিস্টেমের প্রতিক্রিয়া নির্ধারণ করে। বাস্তব অংশ সূচীয় প্রতিক্রিয়া এবং কাল্পনিক অংশ সাইনাসয়েডাল প্রতিক্রিয়া নির্দেশ করে। মেরু যোগ করলে রুট লোকাস ডান দিকে সরে যায়, ফলে সিস্টেম কম স্থিতিশীল হয়। শূন্যবিন্দু যোগ করলে রুট লোকাস বাম দিকে সরে যায়, ফলে সিস্টেম বেশি স্থিতিশীল হয়।

দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেম

দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেমের সাধারণ রূপ হল:

[দ্বিতীয়-ক্রম স্থানান্তর ফাংশন]

$H(s)={\frac {K\omega ^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega s+\omega ^{2}}}$

এখানে K হল সিস্টেম গেইন, ζ হল ড্যাম্পিং অনুপাত, এবং ω হল স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সি। ζ এবং ω জানা থাকলে দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেমের সময়-প্রতিক্রিয়া সহজে আঁকা যায় এবং স্থিতিশীলতা যাচাই করা যায়। বিস্তারিত জানতে এখানে দেখুন।

ড্যাম্পিং অনুপাত

দ্বিতীয়-ক্রম সিস্টেমের ড্যাম্পিং অনুপাত (ζ) একটি বাস্তব সংখ্যা যা সিস্টেমের ড্যাম্পিং বৈশিষ্ট্য নির্ধারণ করে। বেশি ড্যাম্পিং মানে কম পারসেন্ট ওভারশুট এবং ধীর সেটলিং টাইম। ড্যাম্পিং সিস্টেমের অসিলেটরি প্রতিক্রিয়াকে প্রশমিত করার ক্ষমতা নির্দেশ করে। বেশি ড্যাম্পিং মানে কম অসিলেশন।

স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সি

স্বাভাবিক ফ্রিকোয়েন্সিকে কখনও সাবস্ক্রিপ্ট দিয়ে লেখা হয়:

$\omega \to \omega _{n}$

আমরা সাধারণত সাবস্ক্রিপ্ট বাদ দিই যখন প্রসঙ্গ স্পষ্ট থাকে, কিন্তু অন্য রকম মান ব্যবহারের সময় তা রাখি। এছাড়াও, $\omega ~=~\omega _{n}$ যখন $\zeta ~=0$।

উচ্চ-ক্রম সিস্টেম

← System Delays

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

State-Space Equations →