নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/নাইকুইস্ট স্থিতিশীলতা মানদণ্ড

নাইকুইস্ট স্থিতিশীলতা নির্ণায়ক

নাইকুইস্ট স্থিতিশীলতা নির্ণায়ক একটি নিয়ন্ত্রণ সিস্টেমের স্থিতিশীলতা যাচাইয়ের জন্য ব্যবহৃত একটি পরীক্ষণ পদ্ধতি, যা রাউথ-হারউইটজ পরীক্ষা অথবা মূলস্থান পদ্ধতি-এর মতোই। তবে, নাইকুইস্ট পদ্ধতি আমাদের সিস্টেম সম্পর্কিত অতিরিক্ত তথ্যও দিতে পারে। রাউথ-হারউইটজ ও মূলস্থান পদ্ধতিতে আমরা গেইনের নির্দিষ্ট মান অনুযায়ী সিস্টেমের মেরুগুলোর অবস্থান জানতে পারি। গেইন পরিবর্তন করে আমরা নির্ধারণ করতে পারি যে কোনো মেরু ডান হাফ-প্লেনে (RHP) স্থানান্তরিত হচ্ছে কিনা, যার ফলে সিস্টেমটি অস্থিতিশীল হয়ে পড়তে পারে। তবে নাইকুইস্ট পদ্ধতি আমাদের সিস্টেমের কম্পাংক-ভিত্তিক বৈশিষ্ট্য সম্পর্কেও তথ্য দেয়। উদাহরণস্বরূপ, কিছু সিস্টেম ধ্রুব গেইনের অধীনে নিম্ন কম্পাংকের ইনপুটের জন্য স্থিতিশীল হলেও উচ্চ কম্পাংকের ইনপুটের জন্য অস্থিতিশীল হয়ে যেতে পারে।

নিম্নোক্ত উদাহরণটি দেখুন যেখানে একটি সিস্টেম বিভিন্ন কম্পাংকের ইনপুটের জন্য ভিন্নভাবে প্রতিক্রিয়া দেখায়: একটি সাধারণ পানির গ্লাস বিবেচনা করুন। যদি পানিতে সাধারণ সূর্যালোক পড়ে, তাহলে এটি অতিরিক্ত গরম হওয়ার সম্ভাবনা কম। তবে যদি পানিতে মাইক্রোওয়েভ রশ্মি (যেমন আপনার মাইক্রোওয়েভ চুলা থেকে) প্রয়োগ করা হয়, তাহলে তা দ্রুত ফুটে উঠবে।

এছাড়াও, নাইকুইস্ট পদ্ধতি ইনপুট সংকেতের পর্যায় (phase), সিস্টেমের সময়-বিলম্ব এবং অন্যান্য গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য সম্পর্কেও তথ্য প্রদান করে।

কনট্যুর

কনট্যুর একটি জটিল গাণিতিক গঠন, তবে সৌভাগ্যক্রমে আমাদের কেবল কয়েকটি নিয়ম সম্পর্কে জানা দরকার। আমরা কনট্যুর নির্দেশ করতে গ্রিক অক্ষর Γ (গামা) ব্যবহার করব। কনট্যুর এমন একটি রেখা যা নিচের নিয়মগুলো মেনে চলে:

1. কনট্যুরটি অবশ্যই বন্ধ হতে হবে (সম্পূর্ণ একটি লুপ গঠন করবে)
2. কনট্যুর সরাসরি সিস্টেমের কোনো মেরুর মধ্য দিয়ে অতিক্রম করতে পারবে না।
3. কনট্যুরের একটি নির্দিষ্ট দিক থাকতে হবে (সাধারণত ঘড়ির কাঁটার দিক বা বিপরীত)
4. কনট্যুরকে "সরল (simple)" বলা হয় যদি এতে কোনো আত্ম-ছেদ না থাকে। আমরা কেবল সরল কনট্যুরই বিবেচনা করব।

এই ধরনের একটি কনট্যুরের ভিত্তিতে আমরা কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপপাদ্য প্রমাণ করতে পারি, যা ব্যবহার করে আমরা নাইকুইস্ট স্থিতিশীলতা নির্ণায়ক উদ্ভব করতে পারি।

আর্গুমেন্ট নীতি

নিচে আর্গুমেন্ট নীতি দেয়া হলো, যা আমরা স্থিতিশীলতা নির্ণায়কের ভিত্তি হিসেবে ব্যবহার করব। যদি শব্দগুলো বোঝা কঠিন হয়, চিন্তা করবেন না, আমরা ধাপে ধাপে ব্যাখ্যা করব:

আর্গুমেন্ট নীতি

যদি আমাদের কাছে একটি কনট্যুর Γ থাকে, যা একটি তলের (যেমন ল্যাপ্লাসের জটিল তল) মধ্যে অঙ্কিত, তাহলে আমরা এই কনট্যুরকে একটি রূপান্তর ফাংশন F(s) এর মাধ্যমে অন্য একটি তলে (F(s) তল) রূপান্তর করতে পারি। রূপান্তরিত কনট্যুর $\Gamma _{F(s)}$ F(s) তলের কেন্দ্রে N বার ঘুরবে, যেখানে N = Z - P (Z = F(s)-এর শূন্যগুলোর সংখ্যা, P = মেরুগুলোর সংখ্যা)।

কনট্যুর Γ-এর প্রতিটি বিন্দু F(s)-এ প্রতিস্থাপন করে আমরা $\Gamma _{F(s)}$ পাই। এটি রূপান্তরিত কনট্যুরের প্রতিটি বিন্দু তৈরি করে।

উদাহরণ: প্রথম-অর্ডার সিস্টেম

ধরি Γ একটি একক বর্গাকৃতির কনট্যুর, যার কোণাগুলো হল I, J, K, L:

$I=1+j$

$J=1-j$

$K=-1-j$

$L=-1+j$

আমরা কনট্যুরের দিকও নির্ধারণ করি (ইচ্ছামতো) যে এটি ঘড়ির কাঁটার দিকে যাবে: I → J → K → L → I। রূপান্তর ফাংশন F(s) ধরি:

$F(s)=2s+1$

F(s)-এর হরফাংশ থেকে দেখা যায় একটি শূন্যবিন্দু আছে s = -0.5-এ এবং কোনো মেরু নেই। এই শূন্যবিন্দুটি কনট্যুরের ভিতরে অবস্থিত। যেহেতু s একটি জটিল চলরাশি, যাকে প্রকাশ করা যায়:

$s=\sigma +j\omega$

তাহলে F(s) ও জটিল হবে। ধরি, F(s) তলের অক্ষদ্বয় হল u ও v:

$F(s)=u+vj=2(\sigma +j\omega )+1$

এখান থেকে পাই:

$u=2\sigma +1$

$v=2\omega$

এখন Γ রূপান্তর করতে এর প্রতিটি বিন্দু F(s)-এ বসিয়ে $\Gamma _{F(s)}$ এর প্রতিটি বিন্দু নির্ণয় করি:

$F(I)=3+2j$

$F(J)=3-2j$

$F(K)=-1-2j$

$F(L)=-1+2j$

প্রতিটি রেখাংশের জন্য:

• I থেকে J পর্যন্ত রেখা: $\sigma =1,u=3,v=\omega$
• J থেকে K পর্যন্ত রেখা: $\omega =-1,u=2\sigma +1,v=-1$
• K থেকে L পর্যন্ত রেখা: $\sigma =-1,u=-1,v=\omega$
• L থেকে I পর্যন্ত রেখা: $\omega =1,u=2\sigma +1,v=1$

এই রেখাংশগুলো অঙ্কন করলে দেখা যায় রূপান্তরিত কনট্যুরটি একটি বড় বর্গক্ষেত্র যা কেন্দ্র থেকে সরে গেছে, তবে F(s) তলের কেন্দ্রবিন্দুকে একবার ঘিরে রেখেছে — এটি পরবর্তীতে গুরুত্বপূর্ণ হবে।

উদাহরণ: দ্বিতীয়-অর্ডার সিস্টেম

ধরি আমাদের একটি আরও জটিল রূপান্তর ফাংশন আছে:

$F(s)={\frac {s+0.5}{2s^{2}+2s+1}}$

F(s)-এ একটি শূন্য s = -0.5-এ, এবং দুটি জটিল সংযুগী মেরু আছে: s = -0.5 + 0.5j ও s = -0.5 - 0.5j। আগের মতোই নিচের বর্গাকার কনট্যুর ব্যবহার করব:

$I=1+j$

$J=1-j$

$K=-1-j$

$L=-1+j$

F(s)-এর শূন্য ও মেরুগুলো Γ-র ভিতরে রয়েছে। F(s) = u + vj হিসেবে ধরে সমাধান করলে:

$u+vj=F(\sigma +j\omega )={\frac {(\sigma +0.5)+j(\omega )}{(2\sigma ^{2}-2\omega ^{2}+2\sigma +1)+j(2\sigma \omega +\omega )}}$

এটি কিছুটা জটিল, কারণ আমাদের এটি সরল করতে হবে এবং বাস্তব ও কাল্পনিক অংশ আলাদা করতে হবে। এর দুটি উপায় আছে:

1. লব ও হরকে মেরু আকারে (r ও θ হিসেবে) রূপান্তর করে ভাগ করে আবার আয়তক্ষেত্রীয় আকারে নিয়ে আসা।
2. কনট্যুরের প্রতিটি অংশকে এই সমীকরণে প্রতিস্থাপন করে সংখ্যাগতভাবে সরলীকরণ করা।

নাইকুইস্ট কনট্যুর

নাইকুইস্ট কনট্যুর, যা সমগ্র নায়কুইস্ট মানদণ্ডকে কার্যকর করে, সেটি জটিল সমতলের সম্পূর্ণ অস্থিতিশীল অঞ্চলকে বেষ্টন করতে হবে। এনালগ (অ্যানালগ) সিস্টেমের জন্য, এটি হলো s-সমতলের ডানার্ধ। ডিজিটাল সিস্টেমের জন্য, এটি হলো একক বৃত্তের বাইরের সম্পূর্ণ সমতল। মনে রাখতে হবে, যদি ক্লোজড-লুপ স্থানান্তর ফাংশনের একটি ধ্রুবক (বা সমতুল্যভাবে বৈশিষ্ট্য সমীকরণের একটি শূন্য) জটিল সমতলের অস্থিতিশীল অঞ্চলে থাকে, তবে সেই সিস্টেমটি অস্থিতিশীল হবে।

এনালগ সিস্টেমসমূহঃ এনালগ সিস্টেমের জন্য নায়কুইস্ট কনট্যুর একটি অসীম আধা-বৃত্ত যা s-সমতলের পুরো ডানার্ধকে ঘিরে রাখে। এই আধা-বৃত্ত ঋণাত্মক অসীমতা থেকে ধনাত্মক অসীমতা পর্যন্ত কাল্পনিক অক্ষে উপরের দিকে অগ্রসর হয়। ধনাত্মক অসীমতা থেকে কনট্যুরটি কাল্পনিক অক্ষ থেকে ঘড়ির কাঁটার দিকে বিচ্যুত হয়ে একটি বিশাল আধা-বৃত্ত গঠন করে।

ডিজিটাল সিস্টেমসমূহঃ ডিজিটাল সিস্টেমের নায়কুইস্ট কনট্যুর হলো একক বৃত্তের একটি প্রতিক্রিয়াবাহী ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী ঘূর্ণন।

নায়কুইস্ট মানদণ্ড

নায়কুইস্ট মানদণ্ড নিয়ে কাজ করার সময় আমাদের প্রথমে সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সমীকরণটি উপস্থাপন করতে হবে:

$N=Z-P$

যেখানে:

• N হলো (-1, 0) বিন্দুর চারপাশে আবর্তনের সংখ্যা।
• Z হলো বৈশিষ্ট্য সমীকরণের শূন্যের সংখ্যা।
• P হলো ওপেন-লুপ বৈশিষ্ট্য সমীকরণের ধ্রুবকের সংখ্যা।

এই সমীকরণ দেওয়ার পর, এখন আমরা নায়কুইস্ট স্থিতিশীলতা মানদণ্ড উপস্থাপন করতে পারি:

নায়কুইস্ট স্থিতিশীলতা মানদণ্ডঃ একটি প্রতিপ্রেক্ষিত নিয়ন্ত্রণ সিস্টেম তখনই স্থিতিশীল হবে, যদি এবং কেবল যদি F(s) সমতলে কনট্যুর $\Gamma _{F(s)}$ বিন্দু (-1, 0) কে বেষ্টন না করে, যখন P = 0 হয়।

একটি প্রতিপ্রেক্ষিত নিয়ন্ত্রণ সিস্টেম তখনই স্থিতিশীল হবে, যদি এবং কেবল যদি F(s) সমতলে কনট্যুর $\Gamma _{F(s)}$ বিন্দু (-1, 0) কে এমন সংখ্যক বার বেষ্টন করে, যা Γ দ্বারা বেষ্টিত F(s)-এর ধ্রুবকের সংখ্যার সমান।

অন্যভাবে বললে, যদি P = 0 হয় তবে অবশ্যই N = 0 হতে হবে। অন্যথায়, N অবশ্যই P এর সমান হতে হবে। মূলত, এখানে আমরা বলছি যে Z সর্বদা শূন্য হতে হবে, কারণ Z হলো বৈশিষ্ট্য সমীকরণের শূন্যের সংখ্যা (এবং তাই ক্লোজড-লুপ স্থানান্তর ফাংশনের ধ্রুবকের সংখ্যা) যা s-সমতলের ডানার্ধে অবস্থান করে।

মনে রাখতে হবে, আমরা সবসময় বৈশিষ্ট্য সমীকরণের সব শূন্যের অবস্থান জানি না। তাই যদি আমরা নায়কুইস্ট মানদণ্ড ব্যবহার করে দেখি যে ধ্রুবকের সংখ্যা N এর সমান নয়, তবে আমরা নিশ্চিত হতে পারি যে ডানার্ধে অবশ্যই একটি শূন্য আছে, এবং সেই অনুযায়ী সিস্টেমটি অস্থিতিশীল।

নাইকুইস্ট ও বোদে

নায়কুইস্ট চিত্র গভীরভাবে পর্যবেক্ষণ করলে এটি বোধগম্য হয় যে সিস্টেমের বোডে চিত্রের সঙ্গে এর একটি চমকপ্রদ সম্পর্ক রয়েছে। যদি আমরা বোডে পর্যায় চিত্রটিকে কোণ θ হিসেবে ধরি, এবং বোডে পরিমাণ চিত্রকে r হিসেবে ধরি, তবে এটি স্পষ্ট হয় যে, নায়কুইস্ট চিত্রটি বোধে চিত্রের একটি মেরু উপস্থাপন (polar representation) মাত্র।

বোডে চিত্র থেকে নায়কুইস্ট চিত্র তৈরি করতে হলে, আমাদের প্রতিটি কৌণিক ফ্রিকোয়েন্সি ω-এর জন্য পর্যায় কোণ এবং পরিমাণ মান নিতে হয়। এরপর, পরিমাণ মানটিকে ডেসিবেল (dB) থেকে আবার গেইন অনুপাত (gain ratio)-এ রূপান্তর করতে হয়। তারপর আমরা ক্রমিক জোড়া (r, θ) একটি মেরু গ্রাফে অঙ্কন করি।

জেড-ডোমেইনে নায়কুইস্ট

নায়কুইস্ট মানদণ্ড ডিজিটাল ডোমেইনেও প্রয়োগ করা যায়, যেমনটি এনালগ সিস্টেমের ক্ষেত্রে করা হয়। এখানে প্রধান পার্থক্য হলো কনট্যুরের আকৃতি পরিবর্তন করতে হয় যাতে জেড-সমতলের অস্থিতিশীল অঞ্চলকে বেষ্টন করা যায়। তাই অসীম আধা-বৃত্তের পরিবর্তে, ডিজিটাল সিস্টেমের জন্য নায়কুইস্ট কনট্যুর হলো একটি প্রতিক্রিয়াবাহী ঘড়ির কাঁটার বিপরীতমুখী একক বৃত্ত। এই কনট্যুরের আকৃতি পরিবর্তনের মাধ্যমে আগের $N=Z-P$ সমীকরণ এখনো প্রযোজ্য থাকে, এবং উৎপন্ন নায়কুইস্ট চিত্রটি সাধারণত একটি এনালগ সিস্টেমের মতোই দেখা যায়, এবং একইভাবে ব্যাখ্যা করা যায়।

← Root Locus

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Controllability and Observability →