নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/ডিজিটাল নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

ডিজিটাল ব্যবস্থা

ডিজিটাল ব্যবস্থা এমন একধরনের ব্যবস্থা যা বিচ্ছিন্ন তথ্য বা স্যাম্পলকৃত (sampled) ইনপুট ব্যবহার করে কাজ করে। আগে আমরা যেভাবে পার্থক্য সমীকরণ (difference equations) বা Z-রূপান্তরের সহায়তায় ডিজিটাল ব্যবস্থা প্রকাশ করেছি, ঠিক তেমনি এই ব্যবস্থাগুলোকে অবস্থা-স্থান উপস্থাপন (state-space representation) দিয়েও প্রকাশ করা যায়। যেমনটি এনালগ ব্যবস্থার ক্ষেত্রেও করা যায়।

অবস্থা সমীকরণ (State Equations)

ডিজিটাল ব্যবস্থার জন্য আমরা নিচের মত করে অবস্থা সমীকরণ লিখতে পারি, যেখানে ইনপুট, আউটপুট এবং অবস্থা সবই বিচ্ছিন্ন সময় বিন্দুতে নির্ধারিত:

$x[k+1]=Ax[k]+Bu[k]$

$y[k]=Cx[k]+Du[k]$

এখানে,

• $x[k]$ হলো অবস্থা ভেক্টর (state vector)
• $u[k]$ হলো ইনপুট
• $y[k]$ হলো আউটপুট
• A, B, C, D হলো উপযুক্ত মাত্রার গাণিতিক ম্যাট্রিক্স

শূন্য-ধাপ ধারণ প্রক্রিয়া (Zero-Order Hold Derivation)

ধরা যাক, আমাদের একটি নিরবিচ্ছিন্ন (continuous-time) অবস্থা সমীকরণ আছে:

${\frac {dx(t)}{dt}}=Ax(t)+Bu(t)$

এখন এই নিরবিচ্ছিন্ন সমীকরণকে ডিজিটাল ব্যবস্থায় রূপান্তর করার জন্য আমরা ল্যাপ্লাস রূপান্তর ব্যবহার করি:

$X(s)=(sI-A)^{-1}Bu(s)+(sI-A)^{-1}x(0)$

এখানে, $(sI-A)^{-1}$ অংশটির ইনভার্স ল্যাপ্লাস রূপান্তর হচ্ছে অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স, $\Phi (t)$।

$x(t)=\Phi (t-t_{0})x(0)+\int _{t_{0}}^{t}\Phi (t-\tau )Bu(\tau )d\tau$

এখন, আমরা ইনপুটে শূন্য-ধাপ ধারণ প্রয়োগ করি, অর্থাৎ একটি নির্দিষ্ট স্যাম্পল সময়ে ইনপুট অপরিবর্তিত থাকে:

$u(t)=u(kT),\quad kT\leq t<(k+1)T$

ফলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$x(t)=\Phi (t,kT)x(kT)+\int _{kT}^{t}\Phi (t,\tau )Bd\tau \cdot u(kT)$

এখানে $u(kT)$ কে ইন্টিগ্রালের বাইরে আনা হয়েছে কারণ এটি $\tau$ এর উপর নির্ভরশীল নয়।

নতুন একটি ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করা যাক:

$\Gamma (t,t_{0})=\int _{t_{0}}^{t}\Phi (t,\tau )Bd\tau$

তাহলে, যদি $t=(k+1)T$ ধরি, তাহলে:

$x((k+1)T)=\Phi ((k+1)T,kT)x(kT)+\Gamma ((k+1)T,kT)u(kT)$

এখানে, আমরা ম্যাট্রিক্সগুলোর জন্য নতুন নাম ব্যবহার করতে পারি:

$A_{d}=\Phi (T)$

$B_{d}=\Gamma (T)$

ফলে, ডিজিটাল সমীকরণ দাঁড়ায়:

$x[k+1]=A_{d}x[k]+B_{d}u[k]$

নিরবিচ্ছিন্ন এবং বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থার সম্পর্ক

যদি কোনো নিরবিচ্ছিন্ন ব্যবস্থা নির্দিষ্ট সময় অন্তর স্যাম্পল করা হয়, তবে সেটি একটি ডিজিটাল বা বিচ্ছিন্ন ব্যবস্থা হিসেবে বিবেচিত হয়। এই রূপান্তর প্রক্রিয়াকে বলা হয় ডিজিটাইজেশন বা বিচ্ছিন্নীকরণ (Discretization)।

রূপান্তর সমীকরণ

$A_{d}=e^{A_{c}T}$

$B_{d}=\int _{0}^{T}e^{A_{c}\tau }d\tau \cdot B_{c}$

$C_{d}=C_{c}$

$D_{d}=D_{c}$

যদি $A_{c}$ ম্যাট্রিক্সটি ইনভার্টেবল হয়:

$B_{d}=A_{c}^{-1}(A_{d}-I)B_{c}$

এখানে $T$ হলো স্যাম্পল সময়।

পার্থক্য সমীকরণ থেকে অবস্থা সমীকরণে রূপান্তর

ধরা যাক, একটি তৃতীয়-ক্রমের (third-order) পার্থক্য সমীকরণ আছে:

$y[n+3]+a_{2}y[n+2]+a_{1}y[n+1]+a_{0}y[n]=u[n]$

এই সমীকরণকে অবস্থা সমীকরণে রূপান্তর করার জন্য আমরা নিচের মত অবস্থা ভেরিয়েবল নির্ধারণ করি:

$x_{1}[n]=y[n]$

$x_{2}[n]=y[n+1]$

$x_{3}[n]=y[n+2]$

তাহলে, পরবর্তী মানগুলো দাঁড়ায়:

$x_{1}[n+1]=x_{2}[n]$

$x_{2}[n+1]=x_{3}[n]$

$x_{3}[n+1]=-a_{0}x_{1}[n]-a_{1}x_{2}[n]-a_{2}x_{3}[n]+u[n]$

ফলে, অবস্থা সমীকরণ হবে:

$x[n+1]={\begin{bmatrix}0&1&0\\0&0&1\\-a_{0}&-a_{1}&-a_{2}\end{bmatrix}}x[n]+{\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix}}u[n]$

$y[n]={\begin{bmatrix}1&0&0\end{bmatrix}}x[n]$

x[n] এর সমাধান

আমরা কাল-বিচ্ছিন্ন সময়ের পার্থক্য-সমীকরণের জন্য একটি সাধারণ সময়-অপরিবর্তনশীল সমাধান খুঁজে পেতে পারি। চলুন একটি ধারা তৈরি করে দেখা যাক। আমাদের জানা আছে অবস্থার (state) সমীকরণ:

$x[n+1]=Ax[n]+Bu[n]$

সময় n = 0 থেকে শুরু করে, আমরা একটি ধারা গঠন করতে পারি:

$x[1]=Ax[0]+Bu[0]$

$x[2]=Ax[1]+Bu[1]=A^{2}x[0]+ABu[0]+Bu[1]$

$x[3]=Ax[2]+Bu[2]=A^{3}x[0]+A^{2}Bu[0]+ABu[1]+Bu[2]$

সামান্য বীজগাণিতিক কৌশল প্রয়োগ করলে, এই ধারাটিকে একটি মাত্র সমীকরণে রূপান্তর করা যায়:

[সাধারণ অবস্থার সমাধান]

$x[n]=A^{n}x[n_{0}]+\sum _{m=0}^{n-1}A^{n-1-m}Bu[m]$

এই ফলাফলটিকে নির্গমনের (output) সমীকরণে বসালে পাই:

[সাধারণ নির্গমন সমীকরণের সমাধান]

$y[n]=CA^{n}x[n_{0}]+\sum _{m=0}^{n-1}CA^{n-1-m}Bu[m]+Du[n]$

সময়-পরিবর্তনশীল সমাধানসমূহ

যদি পদ্ধতিটি সময়-পরিবর্তনশীল হয়, তাহলে আমরা একটি সাধারণ সমাধান পাই যা ধারাবাহিক (সতত) সময়ের ক্ষেত্রের সঙ্গে মিল রাখে:

$x[n]=\phi [n,n_{0}]x[n_{0}]+\sum _{m=n_{0}}^{n-1}\phi [n,m+1]B[m]u[m]$

$y[n]=C[n]\phi [n,n_{0}]x[n_{0}]+C[n]\sum _{m=n_{0}}^{n-1}\phi [n,m+1]B[m]u[m]+D[n]u[n]$

এখানে φ হল অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স, যা ধারাবাহিক সময়ের পদ্ধতির অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের অনুরূপভাবে সংজ্ঞায়িত। তবে, কাল-বিচ্ছিন্ন (ডিসক্রিট) সময়ের ক্ষেত্রে কিছু বৈশিষ্ট্য ভিন্ন হতে পারে। যেমন, এই অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্সের বিপরীত (inverse) থাকা আবশ্যক নয়, এবং অনেক ব্যবস্থায় তা থাকে না।

অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স

কাল-বিচ্ছিন্ন সময়ের অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স হল নিম্নলিখিত সমীকরণের একমাত্র সমাধান:

$\phi [k+1,k_{0}]=A[k]\phi [k,k_{0}]$

যেখানে নিম্নলিখিত শর্তটি অবশ্যই পূরণ করতে হবে:

$\phi [k_{0},k_{0}]=I$

এই সংজ্ঞা থেকে অবস্থা-রূপান্তর ম্যাট্রিক্স নির্ণয়ের একটি সহজ উপায় পাওয়া যায়:

$\phi [k,k_{0}]=A[k-1]A[k-2]A[k-3]\cdots A[k_{0}]$

অথবা,

$\phi [k,k_{0}]=\prod _{m=1}^{k-k_{0}}A[k-m]$

ম্যাটল্যাব গণনা

ম্যাটল্যাব একটি কম্পিউটার প্রোগ্রাম, এবং তাই এটি সব ধরণের পদ্ধতির গণনা করে ডিজিটাল পদ্ধতিতে। ম্যাটল্যাব-এ lsim নামের কার্যটি (ফাংশনটি) ব্যবহৃত হয় নির্দিষ্ট ইনপুটসহ একটি ধারাবাহিক (সতত) পদ্ধতির অনুকরণ করতে। এই কার্যটি c2d নামক আরেকটি কার্যকে ডাকে, যা একটি পদ্ধতির (A, B, C, D) উপাদানগুলোকে একটি সমতুল্য কাল-বিচ্ছিন্ন (ডিসক্রিট) পদ্ধতিতে রূপান্তর করে। একবার যখন পদ্ধতির মডেলটি ডিজিটাল রূপে রূপান্তরিত হয়, তখন নিয়ন্ত্রণ প্রদান করা হয় dlsim কার্যকে, যা নির্দিষ্ট ইনপুটসহ কাল-বিচ্ছিন্ন সময়ের পদ্ধতির অনুকরণ করতে ব্যবহৃত হয়।

এই কারণে, ম্যাটল্যাবের মতো অনুকরণমূলক (সিমুলেশন) প্রোগ্রামগুলো ডিসক্রিট রূপান্তর প্রক্রিয়ার সঙ্গে সম্পর্কিত গোলাকৃতি ত্রুটির (round-off error) সম্মুখীন হতে পারে।

স্যাম্পলার পদ্ধতি

ধরি আমরা আমাদের পদ্ধতিতে একটি স্যাম্পলার পরিচয় করিয়ে দিচ্ছি:

দৃষ্টি দিন যে স্যাম্পলারের পর, আমাদের একটি পুনর্গঠন সার্কিট (যা অন্যত্র বর্ণিত) যোগ করতে হবে যাতে আমরা ইনপুট, আউটপুট এবং প্ল্যান্টকে লাপলেস ডোমেইনে রাখতে পারি। দৃষ্টি দিন যে আমরা পুনর্গঠন সার্কিটটিকে প্রতীক দিয়ে চিহ্নিত করেছি: Gr(s)।

এখন, আসুন আমরা এই সমীকরণের ট্রান্সফার ফাংশনটি প্রদর্শন করি:

$E^{(}s)={\mathcal {L}}^{[}X(s)-Y(s)]=X^{(}s)-Y^{(}s)$

$Y(s)=E^{*}(s)G_{r}(s)G(s),$

এখন, এটা একটু জটিল হতে চলেছে, তাই মনোযোগ দিয়ে অনুসরণ করুন:

$Y(s)=X^{(}s)G_{r}(s)G(s)-Y^{(}s)G_{r}(s)G(s),$

এবং আমরা স্টার ডোমেইনে রূপান্তর করি কারণ সমীকরণের ডান দিকের প্রতিটি পদে একটি স্টার-ডোমেইন পদ রয়েছে:

$Y^{(}s)=X^{(}s)G_{r}^{(}s)G^{(}s)-Y^{(}s)G_{r}^{(}s)G^{*}(s)$

এবং পরবর্তীতে আমরা ভেরিয়েবলগুলোকে Z-ডোমেইনে রূপান্তর করতে পারি:

$Y(z)=X(z)G_{r}(z)G(z)-Y(z)G_{r}(z)G(z),$

এবং আমরা Y(z) এর মান বের করতে পারি:

$Y(z)={\frac {X(z)G_{r}(z)G(z)}{1+G_{r}(z)G(z)}}$

আগের উদাহরণটি একটি বিশেষভাবে সহজ উদাহরণ ছিল। তবে, পাঠককে উৎসাহিত করা হচ্ছে যে স্যাম্পলার (এবং তার সম্পর্কিত পুনর্গঠনকারী) সহ একটি পদ্ধতির ট্রান্সফার ফাংশন বের করার জন্য নিম্নলিখিত স্থানে কাজ করুন:

1. ফিডব্যাক সিস্টেমের আগে
2. অগ্রবর্তী পথে, প্ল্যান্টের পর
3. পশ্চাৎপথে
4. ফিডব্যাক লুপের পর