নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/ডিজিটাল নিয়ন্ত্রণের ভূমিকা

বিযুক্ত-কাল স্থিতিশীলতা

বিযুক্ত-কাল বা ডিজিটাল সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ সিলসিলাকালীন সিস্টেম বিশ্লেষণের সঙ্গে অনেকটাই সাদৃশ্যপূর্ণ। তবে এতে কিছু গুরুত্বপূর্ণ পার্থক্য রয়েছে, যা এটিকে একটি স্বতন্ত্র অধ্যায়ে উপস্থাপন করার প্রয়োজনীয়তা তৈরি করে।

ইনপুট-আউটপুট স্থিতিশীলতা

একরূপ স্থিতিশীলতা

একটি LTI (রৈখিক-সময়-অপরিবর্তনশীল) কার্যকারণমূলক সিস্টেম একরূপ BIBO স্থিতিশীল যদি একটি ধনাত্মক ধ্রুবক L বিদ্যমান থাকে, যাতে নিম্নোক্ত শর্তসমূহ পূরণ হয়: :$x[n_{0}]=0$

$|u[n]|\leq k$

$k\geq 0$

তবে

$|y[n]|\leq L$

ইম্পালস প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স

একটি বিযুক্ত-কাল সিস্টেমের ইম্পালস প্রতিক্রিয়া ম্যাট্রিক্স সংজ্ঞায়িত করা যায় নিচেরভাবে:

[Impulse Response Matrix]

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}CA^{k-1}B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

বা, সাধারণ সময়-ভিত্তিক পরিবর্তনশীল ক্ষেত্রে:

$G[n]=\left\{{\begin{matrix}C\phi [n,n_{0}]B&{\mbox{ if }}k>0\\0&{\mbox{ if }}k\leq 0\end{matrix}}\right.$

একটি ডিজিটাল সিস্টেম তখনই BIBO স্থিতিশীল, যদি এবং কেবল যদি একটি ধনাত্মক ধ্রুবক L বিদ্যমান থাকে, যাতে সব অ-ঋণাত্মক k এর জন্য:

$\sum _{n=0}^{k}|G[n]|\leq L$

ট্রান্সফার ফাংশনের স্থিতিশীলতা

একটি MIMO (একাধিক ইনপুট ও আউটপুট বিশিষ্ট) বিযুক্ত-কাল সিস্টেম তখনই BIBO স্থিতিশীল হয়, যদি এবং কেবল যদি ট্রান্সফার ফাংশন ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি ট্রান্সফার ফাংশনের প্রতিটি ধ্রুবক-এর মান ১-এর কম হয়। প্রতিটি ট্রান্সফার ফাংশনের সব ধ্রুবক Z সমতলের একক বৃত্ত -এর ভিতরে অবস্থান করতে হবে।

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা

ডিজিটাল সিস্টেমের জন্য প্রযোজ্য একটি বিযুক্ত রূপের লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা উপপাদ্য বিদ্যমান। নিচের বিযুক্ত লিয়াপুনভ সমীকরণ দেওয়া হলো:

[Digital Lypapunov Equation]

 :$A^{T}MA-M=-N$

এই লিয়াপুনভ সমীকরণের রূপ ব্যবহার করে বিযুক্ত-কাল সিস্টেমের জন্য স্থিতিশীলতার একটি শর্ত সংজ্ঞায়িত করা যায়:

লিয়াপুনভ স্থিতিশীলতা উপপাদ্য (ডিজিটাল সিস্টেম)

একটি ডিজিটাল সিস্টেম, যার সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A, তত্ক্ষণিকভাবে স্থিতিশীল হবে যদি এবং কেবল যদি প্রতিটি ধনাত্মক-নির্ধারিত ম্যাট্রিক্স N এর জন্য একটি একক ম্যাট্রিক্স M বিদ্যমান থাকে, যা লিয়াপুনভ সমীকরণ পূরণ করে।

ধ্রুবক ও ইজেনভ্যালু

G(z)-এর প্রতিটি ধ্রুবক সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর একটি ইজেনভ্যালু। তবে A-এর প্রতিটি ইজেনভ্যালু G(z)-এর ধ্রুবক নাও হতে পারে। ট্রান্সফার ফাংশনের ধ্রুবকের মতো, সিস্টেম ম্যাট্রিক্সের সব ইজেনভ্যালুর মান ১-এর কম হতে হবে। গাণিতিকভাবে:

${\sqrt {\operatorname {Re} (z)^{2}+\operatorname {Im} (z)^{2}}}\leq 1$

যদি সিস্টেম ম্যাট্রিক্স A-এর ইজেনভ্যালুগুলির মান, অথবা ট্রান্সফার ফাংশনের ধ্রুবকগুলি ১-এর বেশি হয়, তবে সিস্টেমটি অস্থিতিশীল হবে।

সসীম শব্দদৈর্ঘ্য

ডিজিটাল কম্পিউটার সিস্টেমে একটি অন্তর্নিহিত সমস্যা হলো—বাস্তবায়নযোগ্য কম্পিউটার সিস্টেমে সসীম শব্দদৈর্ঘ্য ব্যবহার করতে হয়। এর ফলে কিছু সমস্যার উদ্ভব হয়:

বাস্তব সংখ্যাগুলি শুধুমাত্র সসীম নির্ভুলতা সহ উপস্থাপন করা যায়। সাধারণত, একটি কম্পিউটার সিস্টেম একটি সংখ্যা কেবল নির্দিষ্ট দশমিক স্থান পর্যন্ত নির্ভুলভাবে উপস্থাপন করতে পারে।

উপরোক্ত কারণে, প্রতিক্রিয়া-সম্পন্ন কম্পিউটার সিস্টেমগুলিতে প্রতিটি প্রোগ্রাম পুনরাবৃত্তিতে ত্রুটিগুলি ক্রমবর্ধমান হতে পারে। একটি ধাপে সামান্য ত্রুটি, পরবর্তী ধাপে বড় ত্রুটিতে রূপ নিতে পারে।

কম্পিউটার সিস্টেমে পূর্ণসংখ্যাগুলিরও সসীম দৈর্ঘ্য থাকে। এর ফলে, পূর্ণসংখ্যাগুলি হয় ঘুরে ফিরে যায় অথবা সীমায়িত হয় যা কম্পিউটার সিস্টেমের নকশার উপর নির্ভর করে। উভয় অবস্থাই ভুল ফলাফল সৃষ্টি করতে পারে।

← State-Space Stability

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Routh-Hurwitz Criterion →