নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/ট্রান্সফার ফাংশন

ট্রান্সফার ফাংশনসমূহ

একটি ট্রান্সফার ফাংশন হল একটি সিস্টেমের আউটপুট ও ইনপুটের অনুপাত, যা লাপ্লাস ডোমেইনে বিবেচনা করা হয়, যেখানে প্রাথমিক শর্তাবলি ও সমতাবস্থানুকূল পয়েন্টকে শূন্য ধরা হয়। ট্রানজিয়েন্ট পর্যবেক্ষণের জন্য এই ধারণা শিথিল করা হয়। যদি ইনপুট ফাংশন হয় X(s), এবং আউটপুট ফাংশন হয় Y(s), তাহলে ট্রান্সফার ফাংশন H(s)-কে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা হয়:

[ট্রান্সফার ফাংশন]

$H(s)={Y(s) \over X(s)}$

যাঁরা সার্কিট থিওরি বইটি পড়েছেন, তাঁরা ট্রান্সফার ফাংশনটিকে ইম্পিডেন্স, অ্যাডমিটেন্স, বা ভোল্টেজ/কারেন্ট ডিভাইডারের অনুপাত হিসেবে চিনবেন।

ইম্পালস রেসপন্স

নোট:
সময় ডোমেইনের ভেরিয়েবলগুলো সাধারণত ছোট হাতের অক্ষরে লেখা হয়। লাপ্লাস বা অন্যান্য ট্রান্সফর্ম ডোমেইনের ভেরিয়েবলগুলো বড় হাতের অক্ষরে লেখা হয়।

তুলনার জন্য, আমরা উপরোক্ত ইনপুট/আউটপুট সম্পর্কের সময় ডোমেইন সমতুল্যটি বিবেচনা করব। সময় ডোমেইনে, ইনপুটকে সাধারণত x(t) এবং আউটপুটকে y(t) দ্বারা প্রকাশ করা হয়। ইনপুট ও আউটপুটের মধ্যকার সম্পর্ককে বলা হয় ইম্পালস রেসপন্স, h(t)।

আমরা এটি নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করতে পারি:

$h(t)={\frac {y(t)}{x(t)}}$

ইম্পালস ফাংশন

এখানে "ইম্পালস" ঠিক কী, তা নির্ধারণ করাটা প্রাসঙ্গিক। ইম্পালস ফাংশন, যাকে δ(t) দ্বারা চিহ্নিত করা হয়, একটি বিশেষ ধাপে-সংজ্ঞায়িত ফাংশন, যা নিম্নরূপ:

[ইম্পালস ফাংশন]

$\delta (t)=\left\{{\begin{matrix}0,&t<0\\{\mbox{undefined}},&t=0\\0,&t>0\end{matrix}}\right.$

এই ফাংশনকে ডেল্টা ফাংশনও বলা হয় কারণ এটি গ্রিক ছোট হাতের δ দ্বারা চিহ্নিত হয়। এটি সাধারণত অনন্তের দিকে নির্দেশিত একটি তীরচিহ্ন দ্বারা দেখানো হয়:

এটি কেবলমাত্র t = 0 অবস্থানে বর্তমান থাকে। একইভাবে, ডেল্টা ফাংশনকে t অক্ষ বরাবর সরানো যেতে পারে, যেমন: δ(t - N)।

এটি ইউনিট-স্টেপ ফাংশনের সাথে নিম্নরূপ সম্পর্কযুক্ত:

$\delta (t)={\frac {du(t)}{dt}}$

$u(t)=\int \delta (t)dt$

ডেল্টা ফাংশন t = 0 পয়েন্টে সংজ্ঞায়িত নয়, কিন্তু এটি অবশ্যই নিম্নলিখিত শর্তটি পূরণ করতে হবে:

$\int _{-\infty }^{\infty }\delta (t)dt=1$

ইম্পালস ইনপুটে সিস্টেমের রেসপন্সকে বলা হয় ইম্পালস রেসপন্স। লাপ্লাস ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে এটি পাওয়া যায়:

${\mathcal {L}}[u(t)]=U(s)={\frac {1}{s}}$

${\mathcal {L}}[\delta (t)]=sU(s)={\frac {s}{s}}=1$

এই ফলাফলটি অ্যাপেনডিক্সের ট্রান্সফর্ম টেবিলে যাচাই করা যেতে পারে।

স্টেপ রেসপন্স

This operation can be performed using this MATLAB command:

step

ইম্পালস রেসপন্সের মতো, স্টেপ রেসপন্স হল একটি ইউনিট স্টেপ ইনপুটে সিস্টেমের আউটপুট। এটি প্রাথমিক বিশ্লেষণ পদ্ধতিগুলোর মধ্যে একটি।

কনভল্যুশন

This operation can be performed using this MATLAB command:

conv

তবে ইম্পালস রেসপন্স ব্যবহার করে সরাসরি আউটপুট নির্ণয় করা যায় না। ইনপুট ও ইম্পালস রেসপন্স জানা থাকলে, কনভল্যুশন অপারেশনের মাধ্যমে আউটপুট নির্ণয় করা যায়:

$y(t)=h(t)*x(t)$

মনে রাখুন: অ্যাস্টারিস্ক চিহ্নটি কনভল্যুশন বোঝায়, গুণফল নয়!

কনভল্যুশন হল একটি জটিল প্রক্রিয়া, যা গুণ, সমাকলন ও টাইম-শিফট একত্রিত করে। দুটি ফাংশনের কনভল্যুশন:

[কনভল্যুশন]

$(a*b)(t)=(b*a)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }a(\tau )b(t-\tau )d\tau$

(τ হল সমাকলনের ডামি ভেরিয়েবল)। কনভল্যুশন করা কঠিন, তাই লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম ব্যবহার করে এটি গুণফলে রূপান্তরিত করা হয় – এটিই কনভল্যুশন থিওরেম।

টাইম-ইনভেরিয়েন্ট সিস্টেমের রেসপন্স

যদি সিস্টেমটি টাইম-ইনভেরিয়েন্ট হয়, তাহলে ইনপুট ও ইম্পালস রেসপন্সের কনভল্যুশনের মাধ্যমে সিস্টেমের আউটপুট নির্ণয় করা যায়:

[কনভল্যুশন ডেসক্রিপশন]

$y(t)=x(t)*h(t)=\int _{-\infty }^{\infty }x(\tau )h(t-\tau )d\tau$

কনভল্যুশন থিওরেম

সিস্টেম আউটপুট নির্ণয়ে কনভল্যুশন অপারেশন সময়সাপেক্ষ। সৌভাগ্যবশত, লাপ্লাস ট্রান্সফর্মের কনভল্যুশন থিওরেম এই অপারেশনকে গুণফলে রূপ দেয়:

কনভল্যুশন উপপাদ্য

জটিল ল্যাপ্লেস ডোমেইনে সময় ডোমেইনের রূপান্তর গুণে পরিণত হয়। জটিল ল্যাপ্লেস ডোমেইনে সময় ডোমেইনের রূপান্তর গুণে পরিণত হয়।

এই সমীকরণদ্বয় দ্বারা প্রকাশ করা যায়:

[কনভল্যুশন থিওরেম]

${\mathcal {L}}[f(t)*g(t)]=F(s)G(s)$

${\mathcal {L}}[f(t)g(t)]=F(s)*G(s)$

এটি ডুয়ালিটি বৈশিষ্ট্যেরও একটি উদাহরণ।

ট্রান্সফার ফাংশনের ব্যবহার

একটি ট্রান্সফার ফাংশন পুরো সিস্টেমকে উপস্থাপন করে। এর মাধ্যমে অর্ডার, টাইপ ও ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স নির্ধারণ করা যায়। ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন থেকে নাইকুইস্ট ও বোড প্লট আঁকা যায়। ডিনোমিনেটর অংশ (যাকে ক্যারেক্টারিস্টিক ইকুয়েশন বলা হয়) থেকে সিস্টেমের রুট নির্ণয় করা যায়।

ট্রান্সফার ফাংশন

একটি সিস্টেমের আউটপুট ও ইনপুটের সম্পর্ক, যা লাপ্লাস ডোমেইনে প্রকাশিত।

সাধারণত s হল লাপ্লাস ভেরিয়েবল। ট্রান্সফার ফাংশনকে G(s) বা H(s) দ্বারা প্রকাশ করা হয়:

$H(s)={\frac {Y(s)}{X(s)}}$

যদি ইনপুট ও ট্রান্সফার ফাংশন জানা থাকে:

[ট্রান্সফার ফাংশন ডেসক্রিপশন]

$Y(s)=H(s)X(s)$

উদাহরণ: ইম্পালস রেসপন্স

লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম টেবিল থেকে:

${\mathcal {L}}[\delta (t)]=1$

সুতরাং:

$Y(s)=X(s)H(s)$

$Y(s)=(1)H(s)$

$Y(s)=H(s)$

অর্থাৎ ইম্পালস রেসপন্স হল H(s) নিজেই।

উদাহরণ: স্টেপ রেসপন্স

u(t) এর লাপ্লাস ট্রান্সফর্ম:

${\mathcal {L}}[u(t)]={\frac {1}{s}}$

তাহলে:

$Y(s)=X(s)H(s)$

$Y(s)={\frac {1}{s}}H(s)$

$Y(s)={\frac {H(s)}{s}}$

অর্থাৎ স্টেপ রেসপন্স = ইম্পালস রেসপন্স ÷ s।

উদাহরণ: ম্যাটল্যাব স্টেপ রেসপন্স

এই ট্রান্সফার ফাংশনের স্টেপ রেসপন্স নির্ণয় করো:

$F(s)={\frac {79s^{2}+916s+1000}{s(s+10)^{3}}}$

নিউমারেটর ও ডিনোমিনেটর আলাদা করো:

num = [79 916 1000];
den = [1 30 300 1000 0];
sys = tf(num, den);

% যদি Control System Toolbox না থাকে:
sys = idtf(num, den);

এখন স্টেপ ফাংশন ব্যবহার করে রেসপন্স দেখাও:

T = 1:0.001:10;
step(sys, T);

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স ট্রান্সফার ফাংশনের মতো, তবে এটি ফোরিয়ার ডোমেইনে প্রকাশিত। রূপান্তর:

$s=j\omega$

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স

সিস্টেমের আউটপুট ও ইনপুটের সম্পর্ক, যা ফোরিয়ার ডোমেইনে প্রকাশিত।

ফ্রিকোয়েন্সি রেসপন্স ও ট্রান্সফার ফাংশন এতটাই ঘনিষ্ঠভাবে সম্পর্কযুক্ত যে, সাধারণত একটিই হিসেব করা হয় এবং অপরটি পরিবর্তন দ্বারা পাওয়া যায়।

← Transforms

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Sampled Data Systems →