নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/জেড রূপান্তর ম্যাপিং

Z রূপান্তর ম্যাপিং

জটিল ল্যাপ্লেস ডোমেন থেকে Z-ডোমেইনে একটি সিস্টেম রূপান্তর করতে বিভিন্ন ধরণের ম্যাপিং ব্যবহার করা যেতে পারে। এই ম্যাপিংগুলির কোনওটিই নিখুঁত নয় এবং প্রতিটি ম্যাপিংয়ের একটি নির্দিষ্ট শুরুর শর্ত প্রয়োজন এবং বিশ্বস্তভাবে পুনরুত্পাদন করার জন্য একটি নির্দিষ্ট দিকের উপর দৃষ্টি নিবদ্ধ করে। ইতিমধ্যেই আলোচনা করা হয়েছে এমন একটি ম্যাপিং হল "বাইলিনিয়ার ট্রান্সফর্ম", যা প্রি-ওয়ার্পিংয়ের পাশাপাশি, s-প্লেনের বিভিন্ন অঞ্চলকে বিশ্বস্তভাবে z-প্লেনের সংশ্লিষ্ট অঞ্চলে ম্যাপ করতে পারে। আমরা এই অধ্যায়ে আরও কিছু সম্ভাব্য ম্যাপিং নিয়ে আলোচনা করব এবং আমরা প্রতিটির সুবিধা এবং অসুবিধা নিয়ে আলোচনা করব।

দ্বি-রৈখিক রূপান্তর

দ্বি-রৈখিক রূপান্তর Z-ডোমেইন থেকে জটিল W ডোমেইন-এ রূপান্তরিত হয়। W ডোমেইন এবং Laplace ডোমেইন একই নয়, যদিও কিছু মিল রয়েছে। Laplace ডোমেইন এবং W ডোমেনের মধ্যে কিছু মিল এখানে দেওয়া হল:

1. স্থিতিশীল মেরুগুলি বাম-অর্ধেক সমতলে অবস্থিত
2. অস্থিতিশীল মেরুগুলি ডান-অর্ধেক সমতলে অবস্থিত
3. প্রান্তিক স্থিতিশীল মেরুগুলি উল্লম্ব, কাল্পনিক অক্ষে অবস্থিত

এই কথার সাথে সাথে, দ্বি-রৈখিক রূপান্তরকে নিম্নরূপ সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

[দ্বি-রৈখিক রূপান্তর]

$w={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

[বিপরীত দ্বিরৈখিক রূপান্তর]

$z={\frac {1+(Tw/2)}{1-(Tw/2)}}$

গ্রাফিক্যালি, আমরা দেখাতে পারি যে দ্বিরৈখিক রূপান্তরটি নিম্নরূপ কাজ করে:

প্রিওয়ার্পিং

W ডোমেন এবং ল্যাপ্লেস ডোমেন এক নয়, তবে দ্বি-রৈখিক রূপান্তর গ্রহণের আগে যদি আমরা "প্রিওয়ার্পিং" প্রক্রিয়াটি ব্যবহার করি, তাহলে আমরা আমাদের ফলাফলগুলিকে কাঙ্ক্ষিত ল্যাপ্লেস ডোমেন উপস্থাপনার সাথে আরও ঘনিষ্ঠভাবে মেলাতে পারব।

প্রিওয়ার্পিং ব্যবহার করে, আমরা গ্রাফিক্যালি দ্বি-রৈখিক রূপান্তরের প্রভাব দেখাতে পারি:

প্রিওয়ার্পিংয়ের আগে এবং পরে গ্রাফের আকৃতি প্রিওয়ার্পিং ছাড়াই যেমন থাকে তেমনই থাকে। তবে, গন্তব্য ডোমেনটি হল S-ডোমেন, W-ডোমেন নয়।

মিলে যাওয়া Z-রূপান্তর

যদি ল্যাপ্লেস ডোমেইনে এমন একটি ফাংশন থাকে যা আংশিক ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে পচে যায়, তাহলে আমাদের সাধারণত এই আকারে একটি সমীকরণ থাকে:

$Y(s)={\frac {A}{s+\alpha _{1}}}+{\frac {B}{s+\alpha _{2}}}+{\frac {C}{s+\alpha _{3}}}+...$

এবং একবার আমরা এই ফর্মে পৌঁছে গেলে, আমরা নিম্নলিখিত ম্যাপিং ব্যবহার করে s এবং z প্লেনের মধ্যে সরাসরি রূপান্তর করতে পারি:

[মিলে যাওয়া Z-রূপান্তর]

$s+\alpha =1-z^{-1}e^{-\alpha T}$

Pro

s এবং একটি একক সহগের ক্ষেত্রে একটি ভালো সরাসরি ম্যাপিং

Con

আংশিক ভগ্নাংশ সম্প্রসারণ ব্যবহার করে Laplace-ডোমেন ফাংশনকে পচন করতে হবে।

সিম্পসনের নিয়ম

[সিম্পসনের নিয়ম]

$s={\frac {3}{T}}{\frac {z^{2}-1}{z^{2}+4z^{1}+1}}$

মূলত ট্রান্সফার ফাংশনের ক্রমকে ২ গুণ করে গুণ করে। এটি সিস্টেমটি বাস্তবে বাস্তবায়নের চেষ্টা করার সময় জিনিসগুলিকে কঠিন করে তোলে। এটি দেখানো হয়েছে যে এই রূপান্তরটি অস্থির মূল তৈরি করে (ইউনিট ইউনিট বৃত্তের বাইরে)।

(w, v) রূপান্তর

নিম্নলিখিত সিস্টেমটি বিবেচনা করলে:

$Y(s)=G(s,z,z^{\alpha })X(s)$

তারপর:

$w={\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}$

$v(\alpha )=1-\alpha (1-z^{-1})+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{z}}(1-z^{-1})^{2}$

এবং:

[(w, v) রূপান্তর]

$Y(z)=G(w,z,v(\alpha ))\left[X(z)-{\frac {x(0)}{1+z^{-1}}}\right]$

Pro

z এবং s এর পরিপ্রেক্ষিতে একটি ফাংশনকে সরাসরি শুধুমাত্র z এর পরিপ্রেক্ষিতে একটি ফাংশনে ম্যাপ করে।

Con

এমন একটি ফাংশন প্রয়োজন যা ইতিমধ্যেই s, z এবং α এর পরিপ্রেক্ষিতে রয়েছে।

জেড-ফর্ম

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Ajmain Istheak (আলাপ) ১৩:০৭, ২০ মে ২০২৫ (ইউটিসি)