নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/জুরি পরীক্ষা

ডিজিটাল সিস্টেমে রাউথ-হুরউইটজ নীতি

Z ডোমেইন এবং S ডোমেইনের মধ্যে পার্থক্যের কারণে, রাউথ-হুরউইটজ নীতিগুলো সরাসরি ডিজিটাল সিস্টেমের ক্ষেত্রে প্রয়োগ করা যায় না। এর কারণ হলো ডিজিটাল সিস্টেম ও ধারাবাহিক-সময় সিস্টেমের স্থিতিশীলতার অঞ্চল ভিন্ন। তবে, ডিজিটাল সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণের জন্য কিছু বিকল্প পদ্ধতি বিদ্যমান। আমাদের প্রথম বিকল্প (যা খুব একটা ভালো নয়) হলো ডিজিটাল সিস্টেমকে ধারাবাহিক-সময় রূপে রূপান্তর করা, যা করা হয় দ্বৈতরৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করে। এই রূপান্তরটি Z ডোমেইনের একটি সমীকরণকে W ডোমেইনে রূপান্তর করে, যার বৈশিষ্ট্য S ডোমেইনের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ। আরেকটি বিকল্প হলো জুরির স্থিতিশীলতা পরীক্ষণ ব্যবহার করা। জুরির পরীক্ষা রাউথ-হুরউইটজ পরীক্ষার অনুরূপ একটি পদ্ধতি, যা Z ডোমেইনে সরাসরি ডিজিটাল সিস্টেম বিশ্লেষণ করার জন্য পরিবর্তিত হয়েছে।

দ্বৈতরৈখিক রূপান্তর

Z-ডোমেইনে ডিজিটাল সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণের একটি প্রচলিত।কিন্তু সময়সাপেক্ষ পদ্ধতি হলো দ্বৈতরৈখিক রূপান্তর ব্যবহার করে স্থানান্তর ফাংশনকে z-ডোমেইন থেকে w-ডোমেইনে রূপান্তর করা। W-ডোমেইন নিম্নলিখিত দিক থেকে S-ডোমেইনের সাথে সাদৃশ্যপূর্ণ:

• ডান-অর্ধ সমতলে মেরুগুলো অস্থিতিশীল
• বাম-অর্ধ সমতলে মেরুগুলো স্থিতিশীল
• কাল্পনিক অক্ষে থাকা মেরুগুলো আংশিকভাবে স্থিতিশীল

তবে, W-ডোমেইনটি S-ডোমেইনের তুলনায় বিকৃত, এবং মেরুগুলোর অবস্থান, কাল্পনিক অক্ষের সঙ্গে আপেক্ষিক অবস্থান ছাড়া, ঠিক S-ডোমেইনের মতো থাকে না।

মনে রাখতে হবে, রাউথ-হুরউইটজ নীতি কেবল বলতে পারে একটি মেরু স্থিতিশীল কি না, এর বেশি কিছু নয়। তাই, মেরুর অবস্থান কোথায় তা গুরুত্বপূর্ণ নয়, যতক্ষণ তা সঠিক অর্ধ-সমতলে থাকে। যেহেতু আমরা জানি W-ডোমেইনের এবং S-ডোমেইনের বাম পাশে মেরু স্থিতিশীল এবং ডান পাশে অস্থিতিশীল, তাই W-ডোমেইনে রাউথ-হুরউইটজ পরীক্ষা S-ডোমেইনের মতোই প্রয়োগযোগ্য।

অন্যান্য রূপান্তর

Z ডোমেইনের একটি সমীকরণকে S ডোমেইন বা অনুরূপ কোনো ডোমেইনে রূপান্তর করার আরও কিছু পদ্ধতি রয়েছে। আমরা এই বিভিন্ন পদ্ধতি নিয়ে আলোচনা করব পরিশিষ্ট অংশে।

জুরির পরীক্ষা

জুরির পরীক্ষা রাউথ-হুরউইটজ নীতির অনুরূপ একটি পরীক্ষা, তবে এটি Z ডোমেইনে এলটিআই (LTI) ডিজিটাল সিস্টেমের স্থিতিশীলতা বিশ্লেষণ করতে ব্যবহৃত হয়। ডিজিটাল সিস্টেম স্থিতিশীল কি না তা নির্ধারণ করতে হলে, আমাদের Z ডোমেইনের বৈশিষ্ট্য সমীকরণটিকে কয়েকটি নির্দিষ্ট নিয়ম ও শর্তের ভিত্তিতে যাচাই করতে হবে। যদি সমীকরণটি কোনো একটি নিয়ম ব্যর্থ করে, তাহলে সেটি অস্থিতিশীল। যদি সমস্ত শর্ত পূরণ করে, তাহলে সেটি স্থিতিশীল। জুরির পরীক্ষা ডিজিটাল সিস্টেমে স্থিতিশীলতার জন্য প্রয়োজনীয় এবং যথেষ্ট শর্ত।

আমরা D(z) কে সিস্টেমের বৈশিষ্ট্য বহুপদী বলব। এটি Z ডোমেইনের স্থানান্তর ফাংশনের গুণিতক বহুপদী। জুরির পরীক্ষা সম্পূর্ণভাবে এই বৈশিষ্ট্য বহুপদীকেই ঘিরে আবর্তিত। জুরির পরীক্ষা সম্পাদন করতে হলে, আমাদের একাধিক ছোট ছোট পরীক্ষা করতে হবে। যেকোনো একটিতে ব্যর্থ হলে সিস্টেমটি অস্থিতিশীল।

জুরির পরীক্ষাগুলো

ধরা যাক বৈশিষ্ট্য সমীকরণ নিম্নরূপ:

$D(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots +a_{N}z^{N}$

নিম্নলিখিত পরীক্ষাগুলো নির্ধারণ করে যে সিস্টেমটির কোনো মেরু একক বৃত্তের বাইরে (অস্থিতিশীলতা অঞ্চল) আছে কি না। এখানে N হচ্ছে বহুপদীর ঘাত।

একটি সিস্টেমকে স্থিতিশীল বিবেচনা করার জন্য অবশ্যই নিচের সব পরীক্ষায় উত্তীর্ণ হতে হবে। যেকোনো একটিতে ব্যর্থ হলে অবিলম্বে থেমে যেতে হবে; পরবর্তী পরীক্ষার প্রয়োজন নেই।

নিয়ম ১

যদি z = 1 হয়, তাহলে আউটপুট ধনাত্মক হতে হবে:

$D(1)>0$

নিয়ম ২

যদি z = -1 হয়, তাহলে নিচের সম্পর্কটি সন্তুষ্ট হতে হবে:

$(-1)^{N}D(-1)>0$

নিয়ম ৩

ধ্রুব পদ (a₀) এর মানের পরম মান অবশ্যই সর্বোচ্চ গুণক (a_N) এর পরম মানের চেয়ে কম হতে হবে:

$|a_{0}|<|a_{N}|$

যদি নিয়ম ১, নিয়ম ২ এবং নিয়ম ৩ পূরণ হয়, তাহলে জুরি অ্যারে (নিচে বর্ণিত) নির্মাণ করতে হবে।

নিয়ম ৪

জুরি অ্যারে গঠনের পরে, নিচের সম্পর্কগুলো অ্যারেটির শেষ পর্যন্ত সন্তুষ্ট থাকতে হবে:

$|b_{0}|>|b_{N-1}|$

$|c_{0}|>|c_{N-2}|$

$|d_{0}|>|d_{N-3}|$

এভাবে অ্যারেটির শেষ সারি পর্যন্ত। যদি সব শর্ত পূরণ হয়, তাহলে সিস্টেমটি স্থিতিশীল।

জুরি অ্যারে তৈরি করার সময়, নিয়ম ৪-এর পরীক্ষাগুলোও একসাথে করা যায়। যদি কোনো পর্যায়ে নিয়ম ৪ ব্যর্থ হয়, তাহলে অ্যারে গণনা বন্ধ করে দেওয়া উচিত; সিস্টেমটি অস্থিতিশীল।

জুরি অ্যারে

প্রথমে গুণকের একটি সারি লিখে, এরপর সেই গুণকগুলো উল্টো ক্রমে আরেকটি সারি লিখে জুরি অ্যারে তৈরি করা হয়। উদাহরণস্বরূপ, যদি বহুপদীটি তৃতীয় ঘাতের হয়, তাহলে প্রথম দুটি সারি হবে:

${\overline {\underline {\begin{matrix}z^{0}&z^{1}&z^{2}&z^{3}&\ldots &z^{N}\\a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{N}\\a_{N}&\ldots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\end{matrix}}}}$

এরপর, আমরা নতুন গুণকের সারি (b এবং c নামকরণে) যোগ করব এবং উপরের সারি থেকে নিচের সারির মান নির্ণয় করব। প্রতিটি নতুন সারির গুণক সংখ্যা পূর্ববর্তী সারির চেয়ে এক কম হবে:

${\overline {\underline {\begin{matrix}1)&a_{0}&a_{1}&a_{2}&a_{3}&\ldots &a_{N}\\2)&a_{N}&\ldots &a_{3}&a_{2}&a_{1}&a_{0}\\3)&b_{0}&b_{1}&b_{2}&\ldots &b_{N-1}\\4)&b_{N-1}&\ldots &b_{2}&b_{1}&b_{0}\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\2N-3)&v_{0}&v_{1}&v_{2}\end{matrix}}}}$

নোট: শেষ সারি হলো (2N-3) সংখ্যক সারি, এবং এতে সর্বদা ৩টি উপাদান থাকে। যদি N = 1 হয়, তাহলে এই পরীক্ষা প্রাসঙ্গিক নয়, কারণ আপনি মেরুটা জানেন!

যখন আমরা ২টি উপাদানবিশিষ্ট সারিতে পৌঁছাই, তখন অ্যারে নির্মাণ বন্ধ করতে পারি।

বিজোড় সংখ্যক সারির উপাদান নির্ণয় করতে আমরা নিচের সূত্র ব্যবহার করব। জোড় সংখ্যক সারি হবে ঠিক আগের সারির উল্টো ক্রম। এখানে k একটি যেকোনো উপসূচক।

$b_{k}={\begin{vmatrix}a_{0}&a_{N-k}\\a_{N}&a_{k}\end{vmatrix}}$

$c_{k}={\begin{vmatrix}b_{0}&b_{N-1-k}\\b_{N-1}&b_{k}\end{vmatrix}}$

$d_{k}={\begin{vmatrix}c_{0}&c_{N-2-k}\\c_{N-2}&c_{k}\end{vmatrix}}$

এই ধারা নিচের সারিগুলোর ক্ষেত্রেও প্রয়োগ করা যায়, প্রয়োজনে।

উদাহরণ: e₅ গণনা করা

ধরা যাক মূল বহুপদী যথেষ্ট বড় যার জন্য জুরি অ্যারেতে e₅ সদস্য দরকার, তাহলে তার সমীকরণ হবে:

$e_{k}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-R-k}\\d_{N-R}&d_{k}\end{vmatrix}}$

যেখানে R ধারা অনুযায়ী আগের স্তরের মান। যেহেতু c সারিতে R = 1, এবং d সারিতে R = 2, তাই e সারিতে R = 3 হবে। সেই মান বসিয়ে:

$e_{k}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-3-k}\\d_{N-3}&d_{k}\end{vmatrix}}$

এবং আমরা চাই e₅ মান, তাই k = 5 বসিয়ে পাই:

$e_{5}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-3-5}\\d_{N-3}&d_{5}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}d_{0}&d_{N-8}\\d_{N-3}&d_{5}\end{vmatrix}}$

ডিটারমিন্যান্ট নিলে সমীকরণ হয়:

$e_{5}=d_{0}d_{5}-d_{N-8}d_{N-3}$

আরও পড়ুন

দ্বৈতরৈখিক রূপান্তর এবং লাপ্লাস ডোমেইন ও Z ডোমেইনের মধ্যে রূপান্তর নিয়ে আমরা আলোচনা করব পরিশিষ্টে:

• Z রূপান্তর রূপান্তরণসমূহ

← Routh-Hurwitz Criterion

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Root Locus →