[ সম্পাদনা ] মাইনসুইপার জাহাজে একটি হাইড্রোফোনিক অ্যারের লক্ষ্য ঠিক করার জন্য একটি ড্যাম্পড কন্ট্রোল সিস্টেমে ড্রাইভশাফট থেকে অ্যারে পর্যন্ত নিম্নলিখিত ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন ব্যবহৃত হয়।
G
(
s
)
=
K
J
s
2
+
K
d
s
{\displaystyle G(s)={\frac {K}{Js^{2}+K_{d}s}}}
গেইন প্যারামিটার K পরিবর্তনশীল। অ্যারের জোরের জড়তা, J , এবং পানির সান্দ্রতা-জনিত বিরোধী বল, Kd , স্থির ধ্রুবক হিসেবে দেওয়া হয়েছে:
J
=
9
N
m
s
2
r
a
d
−
1
{\displaystyle J=9\,N\,m\,s^{2}\,rad^{-1}}
K
d
=
2
N
m
s
r
a
d
−
1
{\displaystyle K_{d}=2\,N\,m\,s\,rad^{-1}}
সিস্টেমটি ইউনিটি ফিডব্যাক সহ ক্লোজড-লুপ কনফিগারেশনে রাখা হয়েছে। ইউনিট স্টেপ ইনপুট দেওয়ার সময় ক্লোজড-লুপ আউটপুটের সর্বোচ্চ ওভারশুট প্রায় ৫০% হওয়ার জন্য K এর মান নির্ধারণ করুন। কম ওভারশুট পেতে হলে K এর মান কি এই মানের চেয়ে বেশি হবে না কম?
সিস্টেমের সময়-ডোমেইন প্রতিক্রিয়া নির্ণয় করুন।
সিস্টেমে এখন ধ্রুবক কোণিক বেগ V ইনপুট হিসেবে দেওয়া হয়েছে। উপরে নির্ধারিত সীমা K এর জন্য, সর্বোচ্চ কত বড় V হতে পারে যাতে অ্যারে ইনপুটের সাথে সর্বোচ্চ ৫° এর ত্রুটিতে সাড়া দেয় তা হিসাব করুন। প্রথমে সিস্টেমের ব্লক ডায়াগ্রাম তৈরি করি। আমরা ওপেন-লুপ ট্রান্সফার ফাংশন জানি এবং এটি ইউনিটি ফিডব্যাকের সাথে যুক্ত আছে। তাই,
ক্লোজড-লুপ গেইন হবে:
H
(
s
)
{\displaystyle H(s)}
=
G
(
s
)
1
+
G
(
s
)
{\displaystyle ={\frac {G(s)}{1+G(s)}}}
=
K
J
s
2
+
K
d
s
J
s
2
+
K
d
s
+
K
J
s
2
+
K
d
s
{\displaystyle ={\frac {\dfrac {K}{Js^{2}+K_{d}s}}{\dfrac {Js^{2}+K_{d}s+K}{Js^{2}+K_{d}s}}}}
=
K
J
s
2
+
K
d
s
+
K
{\displaystyle ={\frac {K}{Js^{2}+K_{d}s+K}}}
এখন এই ক্লোজড-লুপ ট্রান্সফার ফাংশনকে স্ট্যান্ডার্ড দ্বিতীয় ক্রমের ফর্মে রূপান্তর করি:
ω
n
2
s
2
+
2
ζ
ω
n
s
+
ω
n
2
{\displaystyle {\frac {\omega _{n}^{2}}{s^{2}+2\zeta \omega _{n}s+\omega _{n}^{2}}}}
=
K
J
s
2
+
K
d
s
+
K
{\displaystyle ={\frac {K}{Js^{2}+K_{d}s+K}}}
=
K
J
s
2
+
K
d
J
s
+
K
J
{\displaystyle ={\frac {\frac {K}{J}}{s^{2}+{\frac {K_{d}}{J}}s+{\frac {K}{J}}}}}
এখন প্রাকৃতিক কম্পাঙ্ক (ωn ) এবং ড্যাম্পিং অনুপাত (ζ ) এর মান বের করি:
ω
n
2
=
K
J
=
K
9
{\displaystyle \omega _{n}^{2}={\frac {K}{J}}={\frac {K}{9}}}
2
ζ
ω
n
=
K
d
J
{\displaystyle 2\zeta \omega _{n}={\frac {K_{d}}{J}}}
ζ
=
K
d
2
J
J
K
=
K
d
2
1
K
J
=
1
3
K
{\displaystyle \zeta ={\frac {K_{d}}{2J}}{\sqrt {\frac {J}{K}}}={\frac {K_{d}}{2}}{\sqrt {\frac {1}{KJ}}}={\frac {1}{3{\sqrt {K}}}}}
এরপর আমরা দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের স্ট্যান্ডার্ড রেসপন্স কার্ভের সাহায্যে ওভারশুট মূল্যায়ন করি:
৫০% ওভারশুটের জন্য ζ কমপক্ষে ০.২ হওয়া উচিত।
ζ
=
1
3
K
≥
1
5
{\displaystyle \zeta ={\frac {1}{3{\sqrt {K}}}}\geq {\frac {1}{5}}}
K
≤
25
9
{\displaystyle K\leq {\frac {25}{9}}}
এটি সর্বোচ্চ অনুমোদিত মান, তাই কম ওভারশুট পেতে K এর মান অবশ্যই এর থেকে কম হবে। এখন প্রাকৃতিক কম্পাঙ্কের মান হিসাব করি:
ω
n
=
5
9
{\displaystyle \omega _{n}={\frac {5}{9}}}
দ্বিতীয় ক্রমের সিস্টেমের আউটপুট নিচের সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশিত হয়:
y
(
t
)
{\displaystyle y(t)}
=
1
−
1
1
−
ζ
2
e
−
ζ
ω
n
t
sin
(
1
−
ζ
2
ω
n
t
+
sin
−
1
1
−
ζ
2
)
{\displaystyle =1-{\frac {1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}}e^{-\zeta \omega _{n}t}\sin \left({\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\omega _{n}t+\sin ^{-1}{\sqrt {1-\zeta ^{2}}}\right)}
=
1
−
1
0.96
e
−
t
/
9
sin
(
5
0.96
9
t
+
sin
−
1
0.96
)
{\displaystyle =1-{\frac {1}{\sqrt {0.96}}}e^{-t/9}\sin \left({\frac {5{\sqrt {0.96}}}{9}}t+\sin ^{-1}{\sqrt {0.96}}\right)}
=
1
−
1.02
e
−
t
/
9
sin
(
0.544
t
+
0.436
π
)
{\displaystyle =1-1.02e^{-t/9}\sin \left(0.544t+0.436\pi \right)}
এই সিস্টেমের আউটপুটের গ্রাফ নিচে দেওয়া হলো:
ট্র্যাকিং এরর সিগন্যাল E(s) হল ইনপুট এবং আউটপুটের মধ্যে পার্থক্য।
E
(
s
)
=
R
(
s
)
−
Y
(
s
)
{\displaystyle E(s)=R(s)-Y(s)}
এখন, রেফারেন্স ইনপুট R(s) থেকে এরর সিগন্যালের গেইন নির্ণয় করা যাক:
E
(
s
)
R
(
s
)
=
R
(
s
)
−
Y
(
s
)
R
(
s
)
{\displaystyle {\frac {E(s)}{R(s)}}={\frac {R(s)-Y(s)}{R(s)}}}
ইউনিটি ফিডব্যাক সিস্টেমে, ইনপুট থেকে এরর সিগন্যালের গেইন হল:
1
1
+
G
(
s
)
{\displaystyle {\frac {1}{1+G(s)}}}
E
(
s
)
R
(
s
)
{\displaystyle {\frac {E(s)}{R(s)}}}
=
1
1
+
K
9
s
2
+
2
s
{\displaystyle ={\frac {1}{1+{\frac {K}{9s^{2}+2s}}}}}
=
9
s
2
+
2
s
9
s
2
+
2
s
+
2.78
{\displaystyle ={\frac {9s^{2}+2s}{9s^{2}+2s+2.78}}}
এখানে, R(s) হল ঢাল V বিশিষ্ট র্যাম্প ইনপুটের লাপ্লাস রূপ:
R
(
s
)
=
V
s
2
{\displaystyle R(s)={\frac {V}{s^{2}}}}
ফাইনাল ভ্যালু থিওরেম প্রয়োগ করে স্টেডি-স্টেট এরর নির্ণয় করি:
lim
t
→
∞
e
(
t
)
{\displaystyle \lim _{t\to \infty }e(t)}
=
lim
s
→
0
s
E
(
s
)
{\displaystyle =\lim _{s\to 0}sE(s)}
=
lim
s
→
0
s
⋅
9
s
2
+
2
s
9
s
2
+
2
s
+
2.78
⋅
V
s
2
{\displaystyle =\lim _{s\to 0}s\cdot {\frac {9s^{2}+2s}{9s^{2}+2s+2.78}}\cdot {\frac {V}{s^{2}}}}
=
2
V
2.78
{\displaystyle ={\frac {2V}{2.78}}}
আমাদের স্টেডি-স্টেট এরর সর্বোচ্চ হতে পারে ৫° (অর্থাৎ
5
π
180
{\displaystyle {\frac {5\pi }{180}}}
V
≤
2.78
2
×
5
π
180
=
0.12
rad/s
{\displaystyle V\leq {\frac {2.78}{2}}\times {\frac {5\pi }{180}}=0.12\,{\mbox{rad/s}}}
