নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/অরৈখিক সিস্টেম

অরৈখিক সাধারণ সমাধান

সাধারণভাবে একটি অরৈখিক ব্যবস্থাকে নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত করা যেতে পারে:

$x'(t)=f(t,t_{0},x,x_{0})$

$x(t_{0})=x_{0}$

যেখানে f হলো একটি অরৈখিক ফাংশন। এটি সময়, সিস্টেম অবস্থা এবং প্রাথমিক অবস্থার একটি অরৈখিক ফাংশন। যদি প্রাথমিক শর্তগুলি জানা থাকে, তাহলে এটিকে আমরা নিম্নরূপে সরল করে লিখতে পারি:

$x'(t)=f(t,x)$

আমরা "f" এর রূপ না জেনেও এই সমীকরণের একটি সাধারণ সমাধান লিখতে পারি। সেটি হলো:

$x(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x)d\tau$

আমরা প্রমাণ করতে পারি যে উপরের সমীকরণটি হলো সাধারণ সমাধান কারণ যখন আমরা উভয় পক্ষকে অন্তরকলন করলে আমরা উৎপত্তি সমীকরণটি পাই।

পুনরাবৃত্তি পদ্ধতি

একটি অরৈখিক সিস্টেমের সাধারণ সমাধান অসীম পুনরাবৃত্তির পদ্ধতির মাধ্যমে পাওয়া যেতে পারে। প্রথমে আমরা x_n কে সূচীকৃত ভেরিয়েবলের একটি পুনরাবৃত্তিমূলক পরিবার হিসাবে সংজ্ঞায়িত করব। আমরা তাদের পুনরাবৃত্তিমূলকভাবে সংজ্ঞায়িত করতে পারি যেমন:

$x_{n}(t)=x_{0}+\int _{t_{0}}^{t}f(\tau ,x_{n-1}(\tau ))d\tau$

$x_{1}(t)=x_{0}$

আমরা দেখাতে পারি যে নিম্নলিখিত সম্পর্কটি সত্য:

$x(t)=\lim _{n\to \infty }x_{n}(t)$

n অসীমের কাছাকাছি পৌঁছানোর সাথে সাথে x_n সমীকরণের ধারা সমীকরণের সমাধানে অভিসারী হবে।

অরৈখিকতার প্রকারভেদ

অরৈখিকতা দুই ধরণের হতে পারে:

1. 'ইচ্ছাকৃত অ-রৈখিকতা': একটি সিস্টেমে যোগ করা অ-রৈখিক উপাদান। যেমন: রিলে
2. 'আকস্মিক অ-রৈখিকতা': সিস্টেমে ইতিমধ্যেই উপস্থিত অ-রৈখিক আচরণ। যেমন: স্যাচুরেশন

রৈখিককরণ

অরৈখিক সিস্টেম বিশ্লেষণ করা বেশ কঠিন ব্যাপার। সেই কারণেই সেই সিস্টেমগুলি বিশ্লেষণের জন্য সর্বোত্তম পদ্ধতিগুলির মধ্যে একটি হলো সিস্টেমের সাথে একটি রৈখিক আনুমানিকতা খুঁজে বের করা। অনেক সময়ই এই ধরনের আনুমানিকতা শুধুমাত্র নির্দিষ্ট অপারেটিং রেঞ্জ বা পরিচালনা পরিসীমার জন্যই ভালো, এবং নির্দিষ্ট সীমার বাইরে এটি বৈধ নয়। একটি অরৈখিক সিস্টেমের সাথে একটি উপযুক্ত রৈখিক আনুমানিকতা খুঁজে বের করার প্রক্রিয়াটিকে "রৈখিককরণ" বলা হয়।

উপরের চিত্রটি একটি অ-রৈখিক সিস্টেম প্রতিক্রিয়ার (সলিড লাইন) একটি রৈখিক আনুমানিকতা (ড্যাশড লাইন) দেখায়। এই রৈখিক আনুমানিকতার বেশিরভাগটাই একটি নির্দিষ্ট পরিসরের মধ্যে সঠিক, কিন্তু সেই পরিসরের বাইরে হলৈ ভুল হয়ে যায়। লক্ষ্য করুন কিভাবে বক্ররেখা এবং রৈখিক আনুমানিকতা গ্রাফের ডানদিকে বিচ্ছিন্ন হয়ে রয়েছে।

← State Machines

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

Common Nonlinearities →