নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা/অনুমানকারী ও পর্যবেক্ষক

অনুমানকারী ও পর্যবেক্ষক

মন একটি সমস্যা দেখা দেয় যেখানে অনেক ব্যবস্থার অভ্যন্তরীণ অবস্থা সরাসরি পর্যবেক্ষণ করা যায় না এবং এর ফলে অবস্থা প্রতিক্রিয়া প্রদান সম্ভব হয় না। এক্ষেত্রে আমরা যা করতে পারি তা হলো একটি পৃথক ব্যবস্থা নকশা করার চেষ্টা করা, যা পর্যবেক্ষক অথবা অনুমানকারী নামে পরিচিত। এটি প্ল্যান্টের অবস্থা ভেক্টরের মানগুলোকে অনুকরণ করার চেষ্টা করে, তবে এমনভাবে যাতে তা পর্যবেক্ষণযোগ্য হয় এবং অবস্থা প্রতিক্রিয়ায় ব্যবহার করা যায়। কিছু গ্রন্থে এই উপাদানগুলোকে পর্যবেক্ষক বলা হয়, যদিও তারা সরাসরি অবস্থা পর্যবেক্ষণ করে না। এর পরিবর্তে এই যন্ত্রগুলো গাণিতিক সম্পর্ক ব্যবহার করে অবস্থার একটি আনুমানিক মান নির্ধারণের চেষ্টা করে। অতএব, আমরা অনুমানকারী শব্দটি ব্যবহার করব, যদিও এই দুটি শব্দ প্রায়ই পরস্পর বিনিময়যোগ্যভাবে ব্যবহৃত হয়।

অনুমানকারী তৈরি করা

ক্যালম্যানের স্লাইডিং মোড, হাই গেইন, টাউ-এর সম্প্রসারিত, ঘনক এবং রৈখিক পর্যবেক্ষক সহ বেশ কয়েকটি পর্যবেক্ষক কাঠামো রয়েছে। পর্যবেক্ষক নকশার মৌলিক ধারণা বোঝাতে একটি রৈখিক ব্যবস্থার অবস্থা অনুমান করতে ব্যবহৃত একটি রৈখিক পর্যবেক্ষক বিবেচনা করা যাক। এখানে লক্ষ্যণীয় যে আমরা আমাদের প্ল্যান্টের A, B, C, এবং D ম্যাট্রিক্স জানা আছে, তাই আমরা আমাদের অনুমানকারীতে এই নির্দিষ্ট মানগুলি ব্যবহার করতে পারি। আমরা ব্যবস্থায় ইনপুট জানি, আমরা ব্যবস্থার আউটপুট জানি এবং আমাদের কাছে ব্যবস্থার ব্যবস্থা ম্যাট্রিক্স আছে। তবে আমরা যা জানি না তা হল প্ল্যান্টের প্রাথমিক শর্তাবলী। অনুমানকারী যা করার চেষ্টা করে তা হল, আনুমানিক অবস্থা ভেক্টরকে প্রকৃত অবস্থা ভেক্টরের দ্রুত কাছাকাছি নিয়ে আসা এবং তারপর প্রকৃত অবস্থা ভেক্টরকে অনুসরণ করা। আমরা একটি অবজারভারের জন্য নিম্নলিখিত ব্যবস্থা ব্যবহার করে এটি করি:

${\hat {x}}'=A{\hat {x}}+Bu+L(y-{\hat {y}})$

${\hat {y}}=C{\hat {x}}+Du$

L হলো এমন একটি ম্যাট্রিক্স যা আমরা সংজ্ঞায়িত করি যা ত্রুটিকে শূন্যের দিকে চালিত করতে সাহায্য করবে এবং এর মাধ্যমে অনুমানকে অবস্থার আসল মানের কাছাকাছি নিয়ে যাবে। আমরা প্ল্যান্টের আউটপুট এবং অনুমানকারীর আউটপুটের মধ্যে পার্থক্য নিয়ে এটি করি।

অনুমানকারীর অবস্থাকে প্ল্যান্ট অবস্থার কাছাকাছি নিয়ে আসার জন্য, আমাদের একটি নতুন অতিরিক্ত অবস্থা ভেক্টর সংজ্ঞায়িত করতে হবে যাকে অবস্থা ত্রুটি সংকেত $e_{x}(t)$ বলা হয়। আমরা এই ত্রুটি সংকেতকে এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

$e_{x}(t)=x-{\hat {x}}$

এবং এর উৎপন্ন (ডেরিভেটিভ)

$e_{x}'(t)=x'-{\hat {x}}'$

আমরা দেখাতে পারি যে ত্রুটি সংকেত নিম্নলিখিত সম্পর্ক মেনে চলবে:

$e_{x}'(t)=Ax+Bu-(A{\hat {x}}+Bu+L(y-{\hat {y}}))$

$e_{x}'(t)=A(x-{\hat {x}})-L(Cx-C{\hat {x}})$

$e_{x}'(t)=(A-LC)e_{x}(t)$

আমরা জানি, যদি ম্যাট্রিক্স (A - LC) এর সকল আইগনভ্যালুর প্রকৃত অংশ ঋণাত্মক হয়, তাহলে:

$e_{x}(t)=e^{(A-LC)(t-t_{0})}e_{x}(t_{0})\to 0$ যখন $t\to \infty$.

$e_{x}(\infty )=0$ এর অর্থ হলো, যখন সময় অসীমের দিকে এগোয় তখন প্ল্যান্টের অবস্থা $x(t)$ এবং পর্যবেক্ষকের আনুমানিক অবস্থা ${\hat {x}}(t)$ এর মধ্যেকার পার্থক্য শূন্যের দিকে ধাবিত হয়।

বিচ্ছিন্নতা নীতি

আমাদের দুটি সমীকরণ রয়েছে:

$e_{x}[k+1]=(A-LC)e_{x}[k]$

$x[k+1]=(A-BK)x[k]+BK\cdot e_{x}[k]$

আমরা এগুলোকে একটি একক সমীকরণ-ব্যবস্থায় একত্রিত করে সম্পূর্ণ ব্যবস্থাটিকে উপস্থাপন করতে পারি:

${\begin{bmatrix}e_{x}[k+1]\\x[k+1]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A-LC&0\\+BK&A-BK\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e_{x}[k]\\x[k]\end{bmatrix}}$

বিচ্ছিন্নতা নীতি ব্যবহার করে আমরা সহজেই বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ নির্ণয় করতে পারি। আমরা এই ডিজিটাল সিস্টেমের Z-রূপান্তর গ্রহণ করি এবং বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ খুঁজে বের করার জন্য সহগ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ক নিই। পুরো ব্যবস্থার বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ হলো: (সুপরিচিত $(zI-A)^{-1}$ ম্যাট্রিক্সটি মনে রাখুন)

${\begin{vmatrix}zI-A+LC&0\\-BK&zI-A+BK\end{vmatrix}}=|zI-A+LC||zI-A+BK|$

লক্ষ্য করুন এই বৃহৎ ম্যাট্রিক্সের নির্ণায়ককে দুটি ছোট নির্ণায়কের গুণফল হিসাবে বিভক্ত করা যায়। প্রথম নির্ণায়কটি স্পষ্টভাবে অনুমানকারীর বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ, এবং দ্বিতীয়টি প্ল্যান্টের বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ। এছাড়াও লক্ষ্য করুন আমরা L এবং K ম্যাট্রিক্সগুলোকে একে অপরের থেকে স্বতন্ত্রভাবে নকশা করতে পারি।

এটি উল্লেখযোগ্য যে, যদি সিস্টেমের ক্রম n হয় তাহলে এই বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণটি (পূর্ণ-ক্রম অনুমানকারী এবং মূল সিস্টেম মিলে) 2n ক্রমের হবে এবং এর ফলে মূল সিস্টেমের দ্বিগুণ সংখ্যক মূল (রুট) থাকবে।

L ম্যাট্রিক্স

আপনাকে এমনভাবে L ম্যাট্রিক্স নির্বাচন করতে হবে যাতে ত্রুটি সংকেত যত দ্রুত সম্ভব শূন্যের দিকে চালিত হয়। অনুমানকারীর অতিক্ষণিক প্রতিক্রিয়া অর্থাৎ ত্রুটি প্রায় শূন্যে পৌঁছতে যে পরিমাণ সময় নেয়, তা প্ল্যান্টের অতিক্ষণিক প্রতিক্রিয়ার চেয়ে উল্লেখযোগ্যভাবে কম হওয়া উচিত। একটি সাধারণ নিয়ম হিসাবে, অনুমানকারীর ধ্রুবকগুলো আপনার প্ল্যান্টের ধ্রুবকের চেয়ে কমপক্ষে ২ থেকে ৬ গুণ দ্রুত হওয়া উচিত। ধ্রুপদী কন্ট্রোল সম্পর্কে আমাদের অধ্যয়ন থেকে আমরা জানি একটি ধ্রুবককে দ্রুততর করতে আমাদের যা করতে হবে:

S-ডোমেইন

ধ্রুবকগুলোকে কাল্পনিক অক্ষ থেকে আরও দূরে (বাম অর্ধ-সমতলে!) সরিয়ে নিতে হবে। Z-ডোমেইন

ধ্রুবকগুলোর মূলবিন্দুর কাছাকাছি নিয়ে যেতে হবে।

এই অবস্থাগুলিতে লক্ষ্যণীয় যে অনুমানকারীর দ্রুততর ধ্রুবকগুলোর সিস্টেমের উপর প্রভাব কম হবে এবং তখন বলা হয় যে প্ল্যান্টের ধ্রুবকগুলো সিস্টেমের প্রতিক্রিয়ার উপর প্রভাব বিস্তার করে। অনুমানকারীর লাভ L অবস্থা প্রতিক্রিয়া নিয়ন্ত্রকের লাভ K নির্বাচনের জন্য অ্যাকারম্যানের সূত্র-এর দ্বৈত ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

$L=\alpha _{e}(z)Q{\begin{bmatrix}0\\0\\\vdots \\1\end{bmatrix}}$

এখানে Q হলো প্ল্যান্টের পর্যবেক্ষণযোগ্যতা ম্যাট্রিক্স এবং α_e হলো আপনার অনুমানকারীর বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ।

এটি ম্যাটল্যাবে নিম্নলিখিত কমান্ড ব্যবহার করে গণনা করা যেতে পারে:

L=acker(A', C', K)';

যেখানে L হলো অনুমানকারী লাভ এবং K হলো অনুমানকারীর ধ্রুবক।

যৌগিক ব্যবস্থা

একবার আমরা আমাদের L এবং K ম্যাট্রিক্স পেয়ে গেলে আমরা অবস্থা-প্রতিক্রিয়া এবং শূন্য ইনপুটের ক্ষেত্রে সেগুলিকে একটি একক যৌগিক ব্যবস্থা সমীকরণে একত্রিত করতে পারি:

${\begin{bmatrix}x[n+1]\\{\bar {x}}[n+1]\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&-BK\\LH&A-BK-LH\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x[n]\\{\bar {x}}[n]\end{bmatrix}}$

$u[n]=-K{\bar {x}}[n]$

এই বিচ্ছিন্ন সিস্টেমের Z-ট্রান্সফর্ম গ্রহণ করে এবং একটি ইনপুট-আউটপুট সম্পর্ক এর জন্য সমাধান করলে আমরা পাই:

${\frac {U(z)}{Y(z)}}=-K[zI-A+BK+LC]^{-1}L$

লক্ষ্য করুন যে, এটি ট্রান্সফার ফাংশনের মতো নয় কারণ ইনপুট ভগ্নাংশের উপরে এবং আউটপুট নিচে রয়েছে। এই সমীকরণ থেকে ট্রান্সফার ফাংশন পেতে হলে আমাদের উভয় পক্ষের ব্যস্তানুপাত নিতে হবে। এই ব্যস্তানুপাতের নির্ণায়ক তখন যৌগিক সিস্টেমের বৈশিষ্ট্যপূর্ণ সমীকরণ হবে।

লক্ষ্য করুন যে, এই সমীকরণটি আমাদের সেই সিস্টেম ইনপুটটি নির্ণয় করার ক্ষমতা দেয় যা নির্দিষ্ট আউটপুট তৈরি করেছে। এটি পরে মূল্যবান হবে।

হ্রাসকৃত-ক্রম পর্যবেক্ষক

অনেক ব্যবস্থায় অন্তত একটি অবস্থার চলক সরাসরি পরিমাপ করা যায় বা আউটপুট থেকে সহজেই গণনা করা যায়। এমনটি ঘটতে পারে যখন C ম্যাট্রিক্সে প্রতিটি সিস্টেম আউটপুটের জন্য কেবলমাত্র একটি একক অশূন্য উপাদান থাকে।

যদি এক বা একাধিক অবস্থার চলক সরাসরি পরিমাপযোগ্য বা পর্যবেক্ষণযোগ্য হয় তাহলে সিস্টেমের কেবল একটি হ্রাসকৃত-ক্রম পর্যবেক্ষক প্রয়োজন হয়, অর্থাৎ এমন একটি পর্যবেক্ষক যার ক্রম প্ল্যান্টের ক্রমের চেয়ে কম। হ্রাসকৃত-ক্রম পর্যবেক্ষকটি অপরিমাপযোগ্য অবস্থাসমূহ অনুমান করতে পারে এবং পরিমাপকৃত অবস্থার মানগুলি প্রাপ্ত করার জন্য একটি সরাসরি ফিডব্যাক পথ ব্যবহার করা যেতে পারে।

← স্টেট ফিডব্যাক

নিয়ন্ত্রণ ব্যবস্থা

অভিযোজিত নিয়ন্ত্রণ →