তরঙ্গ/তরঙ্গের গণিত

আমরা তরঙ্গ নিয়ে আমাদের আলোচনা শুরু করি একটি খুব সাধারণ তরঙ্গের সমীকরণ নিয়ে এবং তার বৈশিষ্ট্য বর্ণনা করে। এই ধরনের একটি তরঙ্গের মূল সমীকরণ হলো:

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

যেখানে

$y$ হল তরঙ্গের উচ্চতা অবস্থান $x$ এবং সময় $t$-তে।

এই সমীকরণটি একটি অপেক্ষাকৃত সাধারণ তরঙ্গকে বর্ণনা করে, কিন্তু অধিকাংশ জটিল তরঙ্গই শুধু একাধিক সাধারণ তরঙ্গের যোগফল।

যদি আমরা সময়কে স্থির করি অর্থাৎ $t=0$, তাহলে সমীকরণটি দাঁড়ায়:

$y=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}+\alpha \right)$

যা দেখতে এরকম: [TODO - একটি গ্রাফ যোগ করুন]

গ্রাফটি থেকে আমরা দেখতে পাই যে এই তিনটি পরামিতির প্রতিটির একটি নির্দিষ্ট মানে আছে।

$a$ হল তরঙ্গের প্রাবল্য (amplitude), অর্থাৎ এটি কতটা উঁচু।

$\lambda$ (ল্যাম্বডা) হল তরঙ্গদৈর্ঘ্য (wavelength), অর্থাৎ এক চক্রে তরঙ্গের একটি নির্দিষ্ট অংশ থেকে পরবর্তী চক্রে একই অংশ পর্যন্ত দূরত্ব।

$\alpha$ (আলফা) হল তরঙ্গের পর্যায় (phase), যা তরঙ্গকে ডানে বা বামে সরিয়ে দেয়।

তরঙ্গদৈর্ঘ্য হল একটি দূরত্ব এবং এটি সাধারণত মিটার, মিলিমিটার বা এমনকি ন্যানোমিটারে মাপা হয়, তরঙ্গের প্রকৃতির উপর নির্ভর করে।

পর্যায় একটি কোণ, এবং এটি রেডিয়ানে মাপা হয়।

এবার যেহেতু আমরা তরঙ্গকে স্থানে চিত্রায়িত করেছি, আসুন এবার $x=0$ স্থির রেখে দেখি কিভাবে তরঙ্গ সময়ের সাথে পরিবর্তিত হয়:

$y=a\ \sin(-2\pi ft+\alpha )$

এখানে প্রাবল্য a এবং পর্যায় α অপরিবর্তিত থাকে, কিন্তু তরঙ্গদৈর্ঘ্য λ নেই এবং একটি নতুন উপাদান f এসেছে — এটি কম্পাঙ্ক (frequency), অর্থাৎ তরঙ্গ কত দ্রুত উপরে-নিচে ওঠানামা করে।

কম্পাঙ্ক হল সময়ের বিপরীত এককে মাপা একটি রাশি: একটি নির্দিষ্ট সময়সীমার মধ্যে তরঙ্গটি কতবার ওঠানামা করে? এর একক সাধারণত হার্টজ (hertz) বা সেকেন্ডের বিপরীত একক (1/s)।

এখন আসুন এই দুটি চিত্রকে একত্র করি এবং দেখি কিভাবে তরঙ্গটি চলতে থাকে।

চিত্র ৩ একটি চিত্র যা তরঙ্গকে স্থান ও সময় উভয় ক্ষেত্রেই চিত্রিত করে। সোজা রেখাগুলো হলো সেই স্থানসমূহ যেখানে সাধারণ তরঙ্গটি সর্বাধিক, সর্বনিম্ন বা শূন্য মানে পৌঁছায় (অর্থাৎ x অক্ষকে ছেদ করে)।

আমরা শূন্য বিন্দুগুলো (zeros) দেখে তরঙ্গের পর্যায় বেগ (phase velocity) নির্ধারণ করতে পারি।

পর্যায় বেগ হল তরঙ্গের একটি নির্দিষ্ট অংশ কত দ্রুত অগ্রসর হয়। আমরা এটিকে তরঙ্গের গতি হিসেবে ভাবতে পারি, কিন্তু আরও জটিল তরঙ্গের জন্য এটি শুধুমাত্র একটি ধরণের গতি — এই নিয়ে পরবর্তীতে আরও আলোচনা করা হবে।

আমরা আমাদের সমীকরণকে শূন্য ধরে শূন্য বিন্দুর সমীকরণ পেতে পারি:

$0=a\ \sin \left({\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha \right)$

সিন অংশকে শূন্য ধরে পাই:

$0={\frac {2\pi x}{\lambda }}-2\pi ft+\alpha$

এখান থেকে সমাধান করলে পাই:

$x=f\lambda t-{\frac {\alpha \lambda }{2\pi }}$

এখানে আমরা একটি সরল রেখার সমীকরণ পেলাম, যা একটি চলন্ত বিন্দুকে বর্ণনা করে যার গতি fλ।

এটি আমাদের তরঙ্গের পর্যায় বেগের সমীকরণ দেয়, যা হল:

${\mbox{velocity}}={\mbox{frequency}}\times {\mbox{wavelength}}\quad v=f\lambda$