তড়িৎ ও চুম্বক/E = m c²/বিকিরণ চাপ

আলো যে পৃষ্ঠে শোষিত বা প্রতিফলিত হয়, তাতে চাপ প্রয়োগ করে। এটি বোঝা সহজ যদি আমরা এর ভর বিবেচনা করি, কারণ এটি এমন একটি বলের মতো আচরণ করে যা আমরা ধরি, যদি এটি শোষিত হয়, অথবা যা ঝাঁকুনি দেয়, যদি এটি প্রতিফলিত হয়।

ধরা যাক, ভর $m$ এবং বেগ $v$ বিশিষ্ট একটি বল একটি স্থির দেয়ালে ঝাঁকুনি দেয়। আমরা ধরে নিচ্ছি যে বেগটি দেয়ালের লম্ব। যদি বলটি পুরোপুরি ঝাঁকুনিযোগ্য হয়, তবে ঝাঁকুনির পরে এর বেগ ঝাঁকুনির আগের বেগের ঠিক বিপরীত এবং সমান। এর গতিবেগের পরিবর্তন হলো

$p_{1}-p_{2}=mv_{1}-mv_{2}=mv+mv=2mv$

সময় $dt$ এর জন্য গতিবেগের পরিবর্তন $dp$ হলো $Fdt$, যেখানে $F$ হলো বলের উপর প্রয়োগকৃত বল:

$F={\frac {dp}{dt}}$

সুতরাং

$p_{2}-p_{1}=\int dp=\int Fdt$

দেয়াল দ্বারা কণার উপর প্রয়োগকৃত বল $F$ হলো কণা দ্বারা দেয়ালের উপর প্রয়োগকৃত বল $-F$ এর বিপরীত। সুতরাং

$p_{1}-p_{2}=2mv=\int -Fdt$

হলো বল দ্বারা দেয়ালের উপর প্রয়োগকৃত বলের ইন্টিগ্রাল। এই ইন্টিগ্রালটি বল দ্বারা দেয়ালের উপর প্রয়োগকৃত চাপের ইন্টিগ্রালের সমানুপাতিক। সুতরাং, বল দ্বারা দেয়ালের উপর প্রয়োগকৃত চাপ তার ভর এবং বেগের গুণফলের সমানুপাতিক।

বল দ্বারা প্রয়োগকৃত চাপের প্রভাব শুধুমাত্র এর গতিবেগের উপর নির্ভর করে। যদি আমরা এর ভর এবং বেগ পরিবর্তন করি কিন্তু তাদের গুণফল অপরিবর্তিত রাখি, তবে চাপের ইন্টিগ্রাল একই থাকে। গতিবেগ $p$ বিশিষ্ট একটি ফোটনের প্রভাব একটি বলের মতো, যার বেগ $v$ এবং ভর $m={\frac {p}{v}}$। এটি ফোটনদের ভর $m={\frac {p}{c}}$ দেওয়ার পরামর্শ দেয়, যেমন

$p=mc$

যদি আমরা একটি বলের দিকে অগ্রসর হই, তবে আমরা যখন এটি গ্রহণ করি বা এটি ঝাঁকুনি দেয়, তখন আমরা স্থির থাকার তুলনায় বেশি চাপ অনুভব করি। একইভাবে, আলো দ্বারা একটি পৃষ্ঠের উপর প্রয়োগকৃত চাপ এই চাপ গ্রহণকারী পৃষ্ঠের বেগের উপর নির্ভর করে।

একটি আয়নার উপর বিকিরণ চাপ আয়নার বেগের উপর নির্ভর করে, যেমনটি একটি গতিশীল দেয়ালের উপর ঝাঁকুনি দেওয়া ভর দ্বারা প্রয়োগকৃত চাপের ক্ষেত্রে।

প্রমাণ:

ধরা যাক R একটি রেফারেন্স ফ্রেম যেখানে দেয়াল স্থির এবং R' একটি রেফারেন্স ফ্রেম যা R এর সাপেক্ষে $-V$ বেগে চলে। R'-এ, দেয়ালের বেগ $V$ এবং বলের বেগ ঝাঁকুনির আগে $u=v+V$ এবং ঝাঁকুনির পরে $-v+V$।

এর গতিবেগের পরিবর্তন তাই সবসময়

$p_{1}-p_{2}=m(v-V-(-v-V))=2mv=2m(u-V)$

একই বেগ $u$ বিশিষ্ট ঝাঁকুনি দেওয়া বলের জন্য, দেয়ালের উপর প্রয়োগকৃত চাপ $u-V=u(1-{\frac {V}{u}})$ হিসেবে বৃদ্ধি পায়।

একটি ফোটন দ্বারা প্রয়োগকৃত চাপ তার গতিবেগ $p$ এর উপর একইভাবে নির্ভর করে যেমন একটি ঝাঁকুনি দেওয়া বল। ফোটনের মৌলিক সমীকরণ অনুসারে

$p={\frac {h}{\lambda }}={\frac {h\nu }{c}}$

ডপলার প্রভাবের সূত্র অনুসারে, যদি $\nu _{0}$ একটি ফোটনের কম্পাঙ্ক হয়, তবে $\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})$ হলো এর কম্পাঙ্ক একটি আয়নার রেফারেন্স ফ্রেমে যা $V$ বেগে এটির সাথে মিলিত হয়।

$p={\frac {h\nu _{0}(1-{\frac {V}{c}})}{c}}$

যদি ফোটনের গতিবেগ নির্দিষ্ট থাকে $p={\frac {h\nu _{0}}{c}}$, তবে এটি যে দেয়ালের সাথে $V$ বেগে মিলিত হয় তার উপর প্রয়োগকৃত চাপ $1-{\frac {V}{c}}$ হিসেবে পরিবর্তিত হয়, যেমনটি $u$ বেগের একটি ঝাঁকুনি দেওয়া বল দ্বারা প্রয়োগকৃত চাপ $1-{\frac {V}{u}}$ হিসেবে পরিবর্তিত হয়।

এই প্রমাণ নিউটনীয় পদার্থবিজ্ঞানের সমীকরণ এবং অ-আপেক্ষিক ডপলার প্রভাবের সূত্র দিয়ে দেওয়া হয়েছে। আপেক্ষিক গণনা আরও সঠিক এবং একই উপপাদ্যের দিকে নিয়ে যায়।