তড়িৎ ও চুম্বক/স্থির তড়িৎ/পটেনশিয়াল গ্রাডিয়েন্ট

যখন একটি শক্তির কাজ পথের উপর নির্ভর করে না, তখন আমরা বলি যে শক্তি ক্ষেত্রটি একটি পটেনশিয়াল থেকে উদ্ভূত হয়, কারণ আমরা পটেনশিয়ালের গ্রেডিয়েন্ট বা ঢাল নিয়ে শক্তি গণনা করতে পারি।

গ্রেডিয়েন্টের ধারণাটি বোঝার সবচেয়ে সহজ উপায় হল একটি পাহাড়ের উচ্চতা সম্পর্কে চিন্তা করা। সমুদ্রপৃষ্ঠের একটি সমতলে (x,y) বিন্দুর উপরে পাহাড়ের পৃষ্ঠের উচ্চতা h(x,y) একটি স্কেলার ক্ষেত্র। আমরা এটিকে উচ্চতা ক্ষেত্র বলতে পারি। এই স্কেলার ক্ষেত্র থেকে আমরা একটি ভেক্টর ক্ষেত্র সংজ্ঞায়িত করতে পারি। প্রতিটি (x,y) বিন্দুর জন্য আমরা একটি ভেক্টর v(x,y) সংজ্ঞায়িত করি, যার দিকটি এই বিন্দুতে পাহাড়ের সবচেয়ে বেশি ঢালের রেখা, যা উপরের দিকে নির্দেশিত এবং যার দৈর্ঘ্য হল সবচেয়ে বেশি ঢালের রেখার ঢাল (যদি আমরা ১০০ মিটার অনুভূমিকভাবে চলে ১০ মিটার উপরে উঠি, তবে ঢাল হল ১০% = ১০/১০০ = ০.১)। এভাবে সংজ্ঞায়িত ভেক্টরগুলোর ক্ষেত্র হল উচ্চতা ক্ষেত্রের গ্রেডিয়েন্ট: v = grad h

এই চিত্রগুলোতে একটি স্কেলার ক্ষেত্র ধূসর ছায়ায় উপস্থাপিত। এর গ্রেডিয়েন্ট তীর দ্বারা উপস্থাপিত। যদি স্কেলার ক্ষেত্রটি উচ্চতার উপস্থাপনা করে, তবে প্রথমটি একটি শঙ্কু এবং দ্বিতীয়টি একটি ঢালু সমতল উপস্থাপন করে।

সমান উচ্চতার রেখাগুলো হল সমান উচ্চতার রেখা। যদি h একটি পটেনশিয়াল হয়, তবে আমরা এগুলোকে সমপটেনশিয়াল রেখা বলব।

সবচেয়ে বেশি ঢালের রেখাগুলো হল সেই রেখা যা সবসময় সবচেয়ে বেশি ঢাল অনুসরণ করে। এগুলো প্রতিটি বিন্দুতে ভেক্টর ক্ষেত্রের সাথে স্পর্শক। যদি h একটি পটেনশিয়াল হয়, তবে আমরা এগুলোকে ক্ষেত্রের রেখা বলব।

সবচেয়ে বেশি ঢালের রেখাগুলো সবসময় সমান উচ্চতার রেখার সাথে লম্ব। একইভাবে, ক্ষেত্রের রেখাগুলো সবসময় সমবিভব রেখার সাথে লম্ব।

কালো রেখাগুলো হল ক্ষেত্রের রেখা, এবং বাদামী রেখাগুলো হল দুটি সমান এবং বিপরীত আধান দ্বারা সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের সমপটেনশিয়াল রেখা।

একটি ভূখণ্ডের মানচিত্রে, পাশাপাশি সমান উচ্চতার রেখাগুলো সবসময় একই উচ্চতার পার্থক্য নির্দেশ করে। ঢাল যত বেশি, রেখাগুলো তত ঘনিষ্ঠ। একইভাবে, যদি আমরা একই পটেনশিয়াল পার্থক্যের জন্য পাশাপাশি সমপটেনশিয়াল রেখা আঁকি, তবে ক্ষেত্র যত বড়, রেখাগুলো তত ঘনিষ্ঠ।

• 
• 

দ্বিমাত্রিক স্থানে একটি স্কেলার ক্ষেত্র $h$-এর জন্য, আমরা এর গ্রেডিয়েন্ট গণনা করি এর দুটি আংশিক ডেরিভেটিভ নিয়ে। grad $h$-এর উপাদানগুলো হল $\partial h/\partial x$ এবং $\partial h/\partial y$।

ত্রিমাত্রিক স্থানে একটি স্কেলার ক্ষেত্র $V$-এর গ্রেডিয়েন্ট grad $V$ হল ভেক্টর ক্ষেত্র, যার উপাদানগুলো হল $\partial V/\partial x$, $\partial V/\partial y$ এবং $\partial V/\partial z$।

পটেনশিয়ালের সংজ্ঞা অনুসারে, যদি আমরা একটি প্রমাণ শরীরকে dx দূরত্বে সরাই, তবে এর পটেনশিয়ালের পরিবর্তন হল dV = -f_x dx, যেখানে f_x হল x দিকে শক্তি f-এর উপাদান। তাই f_x = $-\partial V/\partial x$। একইভাবে, f_y = $-\partial V/\partial y$ এবং f_z = - $\partial V/\partial z$।

একটি প্রমাণ শরীরের উপর শক্তি f হল পটেনশিয়াল $V$-এর গ্রেডিয়েন্টের বিপরীত:

f = -grad $V$

এটি সাধারণ সূত্র যা আমাদের একটি পটেনশিয়াল থেকে শক্তি ক্ষেত্র গণনা করতে দেয়।