তড়িৎ ও চুম্বক/ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ/স্টোকের সূত্র

একটি বন্ধ লুপে ভেক্টর ক্ষেত্রের সঞ্চালন হলো এই লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে তার কার্লের ফ্লাক্স।

প্রমাণ:

• ধরা যাক C একটি বন্ধ লুপ, এবং D, E, F এবং G হলো C-এর উপর চারটি বিন্দু, এই ক্রমে। আমরা E এবং G-এর মধ্যে একটি সংযোগ যোগ করে লুপ C-কে দুটি লুপে ভাগ করতে পারি: DEG এবং EFG। একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের লুপ C বরাবর সঞ্চালন হলো DE, EF, FG এবং GD-এর উপর সঞ্চালনের যোগফল। DEG লুপে সঞ্চালন হলো DE, EG এবং GD-এর উপর সঞ্চালনের যোগফল। EFG লুপে সঞ্চালন হলো EF, FG এবং GE-এর উপর সঞ্চালনের যোগফল। এখন EG-এর উপর সঞ্চালন হলো GE-এর উপর সঞ্চালনের বিপরীত, তাই C-এর উপর সঞ্চালন হলো DEG এবং EFG লুপগুলোর উপর সঞ্চালনের যোগফল।

• আমরা সবসময় একটি লুপকে অনেকগুলো ছোট পাশাপাশি লুপে ভাগ করতে পারি। সম্পূর্ণ লুপে সঞ্চালন হলো এটিকে ভাগ করা সব ছোট লুপগুলোর উপর সঞ্চালনের যোগফল, যদি সবসময় একই সঞ্চালনের দিক বেছে নেওয়া হয়।

• ধরা যাক $dS$ হলো xy সমতলের সমান্তরাল একটি ছোট লুপ C দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি পৃষ্ঠ। একটি ভেক্টর ক্ষেত্র $\mathbf {v}$-এর কার্লের ফ্লাক্স $dS$ দিয়ে হলো $dS({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$। এই ফ্লাক্স তাই লুপে $\mathbf {v}$-এর সঞ্চালনের সমান। একই ঘটনা ঘটবে যদি $dS$ yz সমতল বা xz সমতলের সমান্তরাল হয়।

• একটি ত্রিভুজাকার লুপ সবসময় xy, yz এবং xz সমতলের সমান্তরাল তিনটি লুপে ভাগ করা যায়। তাই একটি ত্রিভুজাকার লুপে $\mathbf {v}$-এর কার্লের ফ্লাক্স সবসময় লুপে $\mathbf {v}$-এর সঞ্চালনের সমান।

• একটি লুপ সবসময় ছোট, প্রায় ত্রিভুজাকার লুপে ভাগ করা যায়। যদি তারা যথেষ্ট ছোট হয়, তাদের ত্রিভুজাকার লুপ থেকে পার্থক্য নগণ্য। তাই যেকোনো লুপে $\mathbf {v}$-এর কার্লের ফ্লাক্স লুপে $\mathbf {v}$-এর সঞ্চালনের সমান।

স্টোকসের উপপাদ্য কার্লের জন্য যা, গাউসের উপপাদ্য ডাইভারজেন্সের জন্য তাই। এগুলো উভয়ই একটি অত্যন্ত সাধারণ উপপাদ্যের বিশেষ ক্ষেত্র, যাকে স্টোকসের উপপাদ্যও বলা হয়, যা ডিফারেনশিয়াল জ্যামিতির মাধ্যমে যেকোনো সসীম-মাত্রিক স্থানের জন্য প্রমাণ করা যায়।