তড়িৎ ও চুম্বক/ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ/ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল

এর কার্ল বোঝার জন্য, আমাদের একটি লুপ বরাবর ভেক্টর ক্ষেত্রের সঞ্চালন বুঝতে হবে।

একটি অভিন্ন ভেক্টর ক্ষেত্র $\mathbf {v}$-এর জন্য, একটি সরলরেখা $\mathbf {dx}$ বরাবর ক্ষেত্রের সঞ্চালন হলো $dc=\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$।

যদি ভেক্টর ক্ষেত্র অভিন্ন না হয় বা পথ $C$ সরলরেখা না হয়, আমরা একটি ভাঙা রেখা বিবেচনা করি যা একই পথ অনুসরণ করে এবং যার খণ্ডগুলো যতটা ছোট চাই ততটা ছোট হতে পারে। আমরা ক্ষেত্রের সঞ্চালন গণনা করি এই ধরে নিয়ে যে এটি প্রতিটি খণ্ডে অভিন্ন, এবং আমরা খণ্ডগুলোর দৈর্ঘ্য শূন্যের দিকে মিলিয়ে যাওয়ার সময় প্রতিটি খণ্ডে ক্ষেত্রের সঞ্চালনের যোগফলের সীমা নিই। এই সীমা একটি ইন্টিগ্রাল এবং এটি বিবেচিত পথ $C$ বরাবর ক্ষেত্র $\mathbf {v}$-এর সঞ্চালন $c$:

$c=\int _{C}dc=\int _{C}\mathbf {v} \cdot \mathbf {dx}$।

একটি পথ বরাবর একক চার্জের উপর বৈদ্যুতিক শক্তির কৃতকাজ হলো সেই পথ বরাবর বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রবাহ।

যদি একটি শক্তি ক্ষেত্র একটি বিভব থেকে উদ্ভূত হয়, তবে একটি লুপে এর সঞ্চালন সবসময় শূন্য হয়, কারণ শুরু বিন্দুর বিভব শেষ বিন্দুর বিভবের সমান, যা শুরু বিন্দুর সমান।

লুপে সঞ্চালন পরিমাপ করতে, লুপে সঞ্চালনের একটি দিক বেছে নিতে হবে। এক দিকে সঞ্চালন বিপরীত দিকে সঞ্চালনের বিপরীত।

ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল তার সঞ্চালন থেকে পাওয়া যায় যেভাবে তার ডাইভারজেন্স তার ফ্লাক্স থেকে পাওয়া যায়, কিন্তু ত্রিমাত্রিক স্থানে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল একটি ভেক্টর ক্ষেত্র, যেখানে এর ডাইভারজেন্স একটি স্কেলার ক্ষেত্র।

ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল বোঝার জন্য, প্রথমে এটি দ্বিমাত্রিক স্থানে, একটি পৃষ্ঠে বোঝা ভালো, কারণ তখন এটি একটি স্কেলার ক্ষেত্র, এবং একটি স্কেলার ক্ষেত্র একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের চেয়ে সহজ।

দ্বিমাত্রিক ভেক্টর ক্ষেত্র $\mathbf {v}$-এর বিন্দু $\mathbf {r}$-এ কার্ল হলো ${\frac {c}{dS}}$-এর সীমা যখন $dS$ শূন্যের দিকে মিলিয়ে যায়, যেখানে $c$ হলো $\mathbf {v}$-এর সঞ্চালন একটি লুপে যার পৃষ্ঠ $dS$ এবং যা বিন্দু $\mathbf {r}$-কে ঘিরে।

কার্ল গণনা করতে আমরা নিম্নলিখিত সূত্র ব্যবহার করি:

$\operatorname {curl} \mathbf {v} ={\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$

যেখানে ক্ষেত্র $\mathbf {v}$-এর দুটি উপাদান হলো $v_{x}$ এবং $v_{y}$।

প্রমাণ: আমরা একটি ছোট বর্গক্ষেত্র নিয়ে যুক্তি দিই যার বাহু $a$ এবং যার পাশগুলো x এবং y অক্ষের সমান্তরাল। y অক্ষের সমান্তরাল পাশগুলোতে, অর্থাৎ x অক্ষের লম্ব, সঞ্চালন হলো $-av_{y}$ এবং $a(v_{y}+a{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}})$। এই দুইয়ের যোগফল হলো $a^{2}{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}$। y অক্ষের লম্ব পাশগুলোতে, সঞ্চালন হলো $av_{x}$ এবং $-a(v_{x}+a{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$। এই দুইয়ের যোগফল হলো $-a^{2}{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}}$। সুতরাং পুরো বর্গক্ষেত্রের উপর সঞ্চালন হলো $a^{2}({\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$। এই সঞ্চালন $a^{2}\operatorname {curl} \mathbf {v}$-এর সমান।

যখন ভেক্টর ক্ষেত্র ত্রিমাত্রিক হয়, আমরা তিনটি লম্ব সমতলে এর প্রক্ষেপণ বিবেচনা করি। এগুলো তিনটি দ্বিমাত্রিক ভেক্টর ক্ষেত্র, যার প্রতিটির একটি কার্ল আছে। তাই আমরা প্রতিটি বিন্দুর সাথে তিনটি সংখ্যা যুক্ত করতে পারি। এগুলো একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের উপাদান:

$\operatorname {curl} \mathbf {v} =({\frac {\partial v_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial v_{y}}{\partial z}},{\frac {\partial v_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial v_{z}}{\partial x}},{\frac {\partial v_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial v_{x}}{\partial y}})$

ত্রিমাত্রিক ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লও একটি ত্রিমাত্রিক ভেক্টর ক্ষেত্র।

ত্রিমাত্রিক ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য।

প্রমাণ: $\operatorname {div} \operatorname {curl} \mathbf {v} ={\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}+{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{z}}{\partial x\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial y\partial z}}=0$

ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্ল তাই সবসময় একটি অসংনম্য তরলের বেগ ক্ষেত্রের সাথে চিহ্নিত করা যায়।

একটি লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে ভেক্টর ক্ষেত্রের কার্লের ফ্লাক্স শুধুমাত্র লুপের উপর নির্ভর করে।

প্রমাণ: ধরা যাক $S_{1}$ এবং $S_{2}$ একই লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ দুটি পৃষ্ঠ। এই দুটি পৃষ্ঠ একটি আয়তন সীমাবদ্ধ করে। এই আয়তন থেকে বের হওয়া ফ্লাক্স হলো $S_{1}$ এবং $S_{2}$ দিয়ে ফ্লাক্সের পার্থক্য। কিন্তু যেহেতু কার্লের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য, গাউসের উপপাদ্য অনুসারে এই পার্থক্য শূন্য। সুতরাং দুটি ফ্লাক্স সমান।

একটি সম্ভাব্যের গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সবসময় শূন্য।

প্রমাণ: ধরা যাক A এবং B একটি লুপে দুটি বিন্দু। একটি সম্ভাব্য $V$-এর গ্রেডিয়েন্টের ফ্লাক্স A থেকে B পর্যন্ত যেকোনো পথে $V_{B}-V_{A}$-এর সমান। লুপে গ্রেডিয়েন্টের সঞ্চালন হলো A থেকে B পর্যন্ত একটি পথে সঞ্চালন এবং B থেকে A পর্যন্ত একটি পথে সঞ্চালনের যোগফল। এটি তাই সবসময় শূন্য। যেহেতু ঘূর্ণন ছোট লুপে সঞ্চালন থেকে নির্ধারিত হয়, তাই এটি বিভবের গ্রেডিয়েন্টের জন্য সবসময় শূন্য।