তড়িৎ ও চুম্বক/ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণ/গাউসের সূত্র

একটি বন্ধ পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে একটি ভেক্টর ক্ষেত্রের প্রবাহ, ভিতর থেকে বাইরের দিকে, সবসময় পৃষ্ঠের ভিতরের সম্পূর্ণ আয়তনের উপর তার ডাইভারজেন্সের অবিচ্ছেদ্য।

প্রমাণ: যদি দুটি ঘনকের একটি সাধারণ মুখ থাকে, তবে তারা একসঙ্গে যে আয়তকার টাইল গঠন করে তার মধ্য দিয়ে প্রবাহ হলো দুটি ঘনকের মধ্য দিয়ে প্রবাহের সমষ্টি, কারণ টাইলের অভ্যন্তরীণ মুখের মধ্য দিয়ে দুটি প্রবাহ ঠিক একে অপরকে ক্ষতিপূরণ করে। একটি ঘনক থেকে এই মুখ দিয়ে যা বের হয়, তা অন্যটিতে প্রবেশ করে।

একটি বন্ধ পৃষ্ঠ দ্বারা সীমাবদ্ধ আয়তন সবসময় ছোট ছোট সংলগ্ন আয়তনে বিভক্ত করা যায়, তাই

$\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {v}$ $dV$

যেখানে $V$ হলো $S$ দ্বারা সীমাবদ্ধ আয়তন।

গাউসের উপপাদ্য এবং কুলম্বের সূত্রের সাথে, আমরা ম্যাক্সওয়েলের প্রথম সমীকরণটি পাই:

$\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

যেখানে $\rho$ হলো বৈদ্যুতিক চার্জ ঘনত্ব। একটি সমানভাবে চার্জযুক্ত আয়তন $V$ এর চার্জ $q$ হলে, $\rho =q/V$ হলো $V$ এর ভিতরের চার্জ ঘনত্ব।

ম্যাক্সওয়েলের প্রথম সমীকরণের প্রমাণ: আমরা একটি গোলাকার চার্জ দ্বারা উৎপন্ন বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রবাহ সম্পর্কে যুক্তি দিই, যা এই চার্জের কেন্দ্রে অবস্থিত একটি গোলকের মধ্য দিয়ে যায়:

একটি চার্জ $q$ দ্বারা সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রবাহ, যা এই চার্জের কেন্দ্রে $r$ ব্যাসার্ধের একটি গোলকের মধ্য দিয়ে যায়, তা হলো $\phi =4\pi r^{2}E$ যেখানে $E={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}r^{2}}}$। তাই $\phi =q/\epsilon _{0}$। অথবা $q=\int _{V}\rho$ $dV$ যেখানে $\rho$ হলো চার্জ ঘনত্ব এবং $V$ হলো $q$ কেন্দ্রে অবস্থিত গোলকের আয়তন। তাই $\phi =\int _{V}\operatorname {div} \mathbf {E}$ $dV=\int _{V}{\frac {\rho }{\epsilon _{0}}}dV$। যেহেতু এই সমীকরণটি যেকোনো আয়তনের জন্য সত্য যা চার্জ ঘনত্ব $\rho$ কে ঘিরে থাকে: $\operatorname {div} \mathbf {E} =\rho /\epsilon _{0}$

ম্যাক্সওয়েলের দ্বিতীয় সমীকরণটি হলো:

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

এটি বলে যে চৌম্বক চার্জ ঘনত্ব সবসময় শূন্য, তাই চৌম্বক একমেরুর অস্তিত্ব নেই।

একটি লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ পৃষ্ঠের মধ্য দিয়ে চৌম্বক ক্ষেত্রের প্রবাহ শুধুমাত্র লুপের উপর নির্ভর করে।

প্রমাণ: ধরা যাক $S_{1}$ এবং $S_{2}$ হলো একই লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ দুটি পৃষ্ঠ। এই দুটি পৃষ্ঠ একটি আয়তন সীমাবদ্ধ করে। এই আয়তন থেকে বের হওয়া চৌম্বক ক্ষেত্রের প্রবাহ হলো $S_{1}$ এবং $S_{2}$ এর মধ্য দিয়ে প্রবাহের পার্থক্য। কিন্তু যেহেতু চৌম্বক ক্ষেত্রের ডাইভারজেন্স সবসময় শূন্য, গাউসের উপপাদ্য অনুসারে এই পার্থক্য শূন্য। তাই দুটি প্রবাহ সমান।

চৌম্বক ক্ষেত্রকে সবসময় একটি অসংনাদ্য তরলের বেগ ক্ষেত্রের সাথে চিহ্নিত করা যায়। একটি আয়তনে প্রবেশ করা প্রবাহ সবসময় এটি থেকে বের হওয়া প্রবাহের সমান। চার্জবিহীন আয়তনে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রবাহের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য।

গাউসের উপপাদ্য আমাদেরকে একটি অসীম বৈদ্যুতিকভাবে চার্জযুক্ত সমতল বা অসীম বৈদ্যুতিকভাবে চার্জযুক্ত রেখা দ্বারা সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র গণনা করতে দেয়।

অসীম চার্জযুক্ত সমতল

ধরা যাক $\sigma$ হলো একটি সমতলের পৃষ্ঠ চার্জ ঘনত্ব। যদি সমতলের পৃষ্ঠ সীমিত হয়, তবে এটি যে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের উৎস তা তার প্রান্ত থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে। কিন্তু একটি খুব বড় পৃষ্ঠের জন্য, এই প্রান্তের প্রভাব নগণ্য, যদি আমরা প্রান্ত থেকে অনেক দূরে থাকি। একটি বড় বৈদ্যুতিকভাবে চার্জযুক্ত ডিস্কের মাঝখানে লম্ব অক্ষে সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র তাই একটি অসীম সমতল দ্বারা সৃষ্ট ক্ষেত্রের সমান, যার প্রতি একক ক্ষেত্রে একই চার্জ রয়েছে। চার্জযুক্ত ডিস্কটি ঘূর্ণনশীলভাবে প্রতিসম। কুরির সূত্র, যা বলে যে প্রভাবগুলো তাদের কারণের মতো একই প্রতিসমতা রাখে, তাই এটি প্রয়োজন যে এটি যে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র উৎপন্ন করে তাও ঘূর্ণন দ্বারা প্রতিসম। ডিস্কের অক্ষে, এটি তাই অগত্যা এই অক্ষের দিকে থাকে। একটি অসীম চার্জযুক্ত সমতল দ্বারা উৎপন্ন বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র তাই সর্বত্র এই সমতলের লম্ব।

একটি সিলিন্ডার বিবেচনা করুন যার পৃষ্ঠের মুখ $S$ চার্জযুক্ত সমতলের সমান্তরাল, যেমন এই সমতলটি দুটি মুখের মাঝখানে মধ্যবিন্দু দিয়ে যায়। সিলিন্ডারের পাশের দেয়ালের মধ্য দিয়ে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রবাহ শূন্য, কারণ এটি সবসময় দেয়ালের সমান্তরাল। তাই প্রবাহ হলো দুটি পাশের প্রবাহের সমষ্টি:

$\phi =2SE$

যেখানে $E$ হলো প্রতিটি মুখে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মাত্রা।

সিলিন্ডারের মধ্যে থাকা বৈদ্যুতিক চার্জ $q$ হলো

$q=\sigma S$

গাউসের উপপাদ্য আমাদের উপসংহারে পৌঁছাতে দেয়:

$E={\frac {\sigma }{2\epsilon _{0}}}$

$E$ চার্জযুক্ত সমতল থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে না।

একটি অসীম বৈদ্যুতিকভাবে চার্জযুক্ত সমতল দ্বারা উৎপন্ন বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের মাত্রা $E$ স্থানের সর্বত্র একই। বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রটি সমতলের লম্ব এবং এটির দিকে পরিচালিত হয়, যদি এর চার্জ ঋণাত্মক হয়, এবং বিপরীত দিকে, যদি এর চার্জ ধনাত্মক হয়।

একটি পরিবাহী পৃষ্ঠের পৃষ্ঠ চার্জ

পৃষ্ঠের একপাশে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র শূন্য। অন্য পাশে এটি পৃষ্ঠের লম্ব। গাউসের উপপাদ্য একটি ছোট সিলিন্ডারে প্রয়োগ করা হয় যা পৃষ্ঠটি অতিক্রম করে এবং যার সমান্তরাল মুখগুলির পৃষ্ঠ $dS$ থাকে, তা দেয় $EdS={\frac {\sigma dS}{\epsilon _{0}}}$ তাই

$E={\frac {\sigma }{\epsilon _{0}}}$

অসীম চার্জযুক্ত রেখা

যদি একটি চার্জযুক্ত তারের দৈর্ঘ্য সীমিত হয়, তবে এটি যে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের উৎস তা তার প্রান্ত থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করে। কিন্তু একটি খুব লম্বা তারের জন্য, এই প্রান্তের প্রভাব নগণ্য, যদি আমরা প্রান্ত থেকে অনেক দূরে থাকি। একটি দীর্ঘ বৈদ্যুতিকভাবে চার্জযুক্ত সীমিত তারের মাঝখানে লম্ব সমতলে সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র তাই একটি অসীম দৈর্ঘ্যের তার দ্বারা সৃষ্ট ক্ষেত্রের সমান, যার প্রতি একক দৈর্ঘ্যে একই চার্জ রয়েছে।

একটি সমানভাবে বৈদ্যুতিকভাবে চার্জযুক্ত সীমিত দৈর্ঘ্যের তারের মাঝখানে লম্ব সমতলে সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র, যা তার মাঝখান দিয়ে যায়, প্রতিসমতার কারণে অগত্যা তারের লম্ব হয়। যদি এই বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র এই মধ্যবর্তী সমতল থেকে বিচ্যুত হয়, তবে কুরির সূত্র লঙ্ঘিত হবে। এই সূত্রটি আরও দেখায় যে একটি সমানভাবে চার্জযুক্ত তার দ্বারা সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র অগত্যা তার অক্ষের সমান্তরাল সমতলে থাকে। তাই এটি অগত্যা তারের দিকে পরিচালিত হয়, বা বিপরীত দিকে। যেহেতু তারটি তার অক্ষের চারপাশে ঘূর্ণন দ্বারা প্রতিসম, কুরির সূত্র আরও দেখায় যে ক্ষেত্রের মাত্রা শুধুমাত্র তার থেকে দূরত্বের উপর নির্ভর করতে পারে।

একটি সমানভাবে চার্জযুক্ত অসীম তারের উপর কেন্দ্রীভূত $r$ ব্যাসার্ধ এবং $L$ দৈর্ঘ্যের একটি সিলিন্ডার বিবেচনা করুন। সিলিন্ডারের অভ্যন্তরীণ চার্জ $q=\lambda L$ এর সমান, যেখানে $\lambda$ হলো তারের রৈখিক চার্জ ঘনত্ব। সিলিন্ডারের উভয় প্রান্ত জুড়ে বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের প্রবাহ শূন্য, কারণ বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র তাদের সমান্তরাল। তাই বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র $\mathbf {E}$ এর প্রবাহ $\phi$ সিলিন্ডারের পৃষ্ঠের সমান, এর প্রান্তগুলো বাদে, ক্ষেত্র $E$ দ্বারা গুণিত, যা সবসময় এই পৃষ্ঠের লম্ব:

$\phi =2\pi rLE$

যেখানে $r$ হলো সিলিন্ডারের ব্যাসার্ধ, $L$ এর দৈর্ঘ্য এবং $E$ হলো সমানভাবে চার্জযুক্ত তার দ্বারা $r$ দূরত্বে সৃষ্ট বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র $\mathbf {E}$ এর মাত্রা।

তাই $q/\epsilon _{0}=2\pi rLE$

$E={\frac {q}{2\pi rL\epsilon _{0}}}={\frac {\lambda }{2\pi r\epsilon _{0}}}$