তড়িৎ ও চুম্বক/আলো/সমতলীয় তরঙ্গ

একটি তরঙ্গ যা স্থানের মধ্য দিয়ে প্রচারিত হয় তা হলো চারটি চলরাশির ফাংশন $f$, যথা x, y, z এবং t, তিনটি স্থানিক স্থানাঙ্ক এবং একটি সময় স্থানাঙ্ক। $f(x,y,z,t)=f(\mathbf {r} ,t)$ হলো বিন্দু $\mathbf {r} =(x,y,z)$-এ ক্ষেত্র।

একটি সমতল তরঙ্গ বোঝার জন্য, আমরা একটি মিল-ফুইয়ের কথা ভাবতে পারি যার পাতাগুলো একে অপরের উপর দিয়ে স্লাইড করতে পারে। তখন একটি তরঙ্গ পাতাগুলোর লম্ব দিকে প্রচারিত হতে পারে। যদি একটি চলমান পাতা তার দুই প্রতিবেশীকে বহন করে এবং তাদের দ্বারা বাহিত হয়, তবে মিল-ফুইয়ের একপাশে একটি গতি অন্য পাশে প্রচারিত হতে পারে। এই প্রচার গতি হলো একটি সমতল তরঙ্গ।

যদি প্রচারের দিকটি x অক্ষ হয়, তবে পাতাগুলো উল্লম্ব সমতল এবং একটি বিন্দুর গতি তার পাতার অবস্থানের উপর নির্ভর করে না, এটি শুধুমাত্র তার x অ্যাবসিসার উপর নির্ভর করে। তাই একটি সমতল তরঙ্গকে একটি ফাংশন $f(x,t)$ দ্বারা উপস্থাপন করা যায় যা শুধুমাত্র একটি স্থানিক স্থানাঙ্ক x এবং সময় t-এর উপর নির্ভর করে। এটি একটি একমাত্রিক তরঙ্গ, কারণ এটি শুধুমাত্র একটি স্থানিক স্থানাঙ্কের উপর নির্ভর করে।

যদি, তদুপরি, পাতাগুলো সবসময় একই উল্লম্ব দিকে চলে, তাদের গতি একটি একক সংখ্যা দিয়ে পরিমাপ করা যায়, তাদের উল্লম্ব দিকে গতি। তখন সমতল তরঙ্গকে একটি ফাংশন $f(x,t)$ দ্বারা উপস্থাপন করা যায় যার মান একটি একক বাস্তব সংখ্যা। যদি গতিটি আরও জটিল হতো, তবে $\mathbf {f} (x,t)$ একটি ভেক্টর হতো।

ধরা যাক $g$ একটি একক বাস্তব চলরাশির বাস্তব ফাংশন। $g(x)$ হলো একটি বাস্তব সংখ্যা যা শুধুমাত্র বাস্তব সংখ্যা $x$-এর উপর নির্ভর করে।

$g$ একটি সমতলে যেকোনো বক্র রেখাকে উপস্থাপন করতে পারে যা কখনো পিছনে ফিরে না যায়, বাম থেকে ডানে অসীমভাবে প্রসারিত। এভাবে, প্রতিটি $x$-এর জন্য, রেখার উপর একটি একক বিন্দু থাকে যার স্থানাঙ্ক $x$। এই বিন্দু থেকে অনুভূমিক অক্ষের দূরত্ব হলো $g(x)$।

ধরা যাক $f$ দুটি বাস্তব চলরাশির বাস্তব ফাংশন, যা নিম্নরূপে সংজ্ঞায়িত:

$f(x,t)=g(x-ct)$

$f$ একটি সমতল তরঙ্গকে উপস্থাপন করে যা বিকৃতি ছাড়াই $c$ গতিতে প্রচারিত হয়। $c$-এর চিহ্ন প্রচারের দিক নির্ধারণ করে। মিল-ফুইয়ে তরঙ্গের প্রচারের দ্বারা বিকৃত হয়, কিন্তু এই বিকৃতির $g$ আকৃতি অপরিবর্তিত থাকে। এটি তার পুরো যাত্রায় একই থাকে। তাই এমন একটি তরঙ্গ এক বিন্দু থেকে অন্য বিন্দুতে, যত দূরেই হোক না কেন, একটি বার্তা প্রেরণ করতে পারে। $c$ হলো সংকেত প্রচারের গতি।

একটি তড়িৎ চৌম্বকীয় তরঙ্গ হলো একটি বৈদ্যুতিক বল $\mathbf {E}$ এবং চৌম্বক বল $\mathbf {B}$-এর তরঙ্গ যা আলোর গতি $c$-এ প্রচারিত হয়:

তরঙ্গ $f$ হলো তরঙ্গ সমীকরণের সমাধান ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}f$

প্রমাণ:

যেহেতু $f$ y বা z-এর উপর নির্ভর করে না,

${\frac {\partial f}{\partial y}}={\frac {\partial f}{\partial z}}=0$

তাই

$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}$

এখন

${\frac {\partial f}{\partial t}}(x,t)=-c{\frac {\partial g}{\partial x}}(x-ct)$

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}(x-ct)$

একইভাবে আমরা দেখাতে পারি যে

${\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)={\frac {\partial ^{2}g}{\partial x^{2}}}(x-ct)$

তাই ${\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}(x,t)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(x,t)$ সকল x এবং সকল t-এর জন্য।