তড়িৎ ও চুম্বক/আলো/তরঙ্গ সমীকরণ

চার্জ এবং স্রোতের অনুপস্থিতিতে, ম্যাক্সওয়েলের সমীকরণসমূহ হলো:

$\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

$\operatorname {div} \mathbf {B} =0$

$\operatorname {curl} \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}$

$\operatorname {curl} \mathbf {B} =\mu _{0}\epsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}$

আমরা উপসংহারে আসতে পারি:

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}={\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}{\frac {\partial }{\partial t}}\operatorname {curl} \mathbf {B} =-{\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}\operatorname {curl} \operatorname {curl} \mathbf {E}$

অথবা $\operatorname {curl} \operatorname {curl} \mathbf {E} =\operatorname {grad} \operatorname {div} \mathbf {E} -\nabla ^{2}\mathbf {E}$ (এই সমতার প্রমাণ, $\operatorname {curl}$, $\operatorname {grad}$, $\operatorname {div}$ এবং $\nabla ^{2}$-এর সংজ্ঞা থেকে, এই অধ্যায়ের শেষে দেওয়া হয়েছে)

$\operatorname {div} \mathbf {E} =0$

এবং ${\frac {1}{\mu _{0}\epsilon _{0}}}=c^{2}$

তাই

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {E}$

যেখানে $\nabla ^{2}\mathbf {E} =({\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial x^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial y^{2}}},{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial z^{2}}})$

${\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=c^{2}\nabla ^{2}\mathbf {E}$ হলো তরঙ্গ সমীকরণ। এর সমাধানগুলো হলো আলোর গতি $c$-এ প্রচারিত তরঙ্গ, বা এই ধরনের তরঙ্গের উপরিপাতন।