চিন্তন ও নির্দেশনা/গণিত শেখা
গণিতের বিভিন্ন শাখা রয়েছে যেমন জ্যামিতি, বীজগণিত, ক্যালকুলাস এবং সম্ভাব্যতা; প্রতিটি ক্ষেত্রেই রয়েছে বিশেষ ধরনের ধারণা ও পদ্ধতির দক্ষতা অর্জনের প্রয়োজন। শিক্ষাদান এবং শেখার ক্ষেত্রে যেসব চ্যালেঞ্জ থাকে, তা বোঝা ও অতিক্রম করা যায় জ্ঞানীয় প্রক্রিয়ার বিশ্লেষণের মাধ্যমে। এই অধ্যায়ে আমরা গণিত শিক্ষায় প্রাসঙ্গিক জ্ঞানীয় তত্ত্ব ও গবেষণা পর্যালোচনা করব। আমরা পাইগেটের জ্ঞানীয় বিকাশ তত্ত্বের প্রাসঙ্গিক দিক এবং এই তত্ত্বের সমালোচনা আলোচনা করব। আমরা ব্যাখ্যা করব কীভাবে বিভিন্ন বিষয় একজন শিক্ষার্থীর গণিত শেখার সক্ষমতাকে প্রভাবিত করে এবং কীভাবে শিক্ষকরা পাঠ পরিকল্পনার সময় এই বিষয়গুলো বিবেচনায় নিতে পারেন।
গণিত কী?
[সম্পাদনা]গণিত হলো সংখ্যা, পরিমাণ, জ্যামিতি ও স্থান এবং এদের পারস্পরিক সম্পর্ক এবং কার্যাবলীর অধ্যয়ন। এটি ধারণাগত, প্রক্রিয়াগত এবং ঘোষণামূলক জ্ঞান-এর সংমিশ্রণ ব্যবহার করে।[১] গণিত সমস্যার সফল সমাধানের জন্য শিক্ষার্থীদের এই জ্ঞানসমষ্টি অর্জন করতে হয়। গণিতে সঠিকভাবে সম্পৃক্ত হওয়ার জন্য শিক্ষার্থীদের আগে ধারণাগত জ্ঞান অর্জন করতে হবে। এজন্য পূর্বে শেখা ধারণাগুলোর প্রয়োগ দরকার হয়। গণিতের ধারণাগত জ্ঞান অন্য সব গণিত-সম্পর্কিত দক্ষতার উন্নয়নে সহায়তা করে যেমন: ইতিবাচক মনোভাব, প্রক্রিয়াগত দক্ষতা, কৌশলগত পারদর্শিতা এবং অভিযোজিত যুক্তিশক্তি। একটির বিকাশ অন্যগুলোকেও শক্তিশালী করে এবং এতে সামগ্রিক জ্ঞান বৃদ্ধি পায়। অর্থাৎ, ধারণাগত জ্ঞান প্রক্রিয়াগত জ্ঞানকে সমৃদ্ধ করে, এবং এই ধারাটি চলতে থাকে।[২] উদাহরণস্বরূপ, গণিতে অনেক ধরনের অ্যালগরিদম রয়েছে যেগুলো শিক্ষার্থীদের জানা প্রয়োজন। যখন শিক্ষার্থীরা গণিতের মূলনীতি ও ধারণাগুলো পরিষ্কারভাবে বুঝতে পারে, তখন তারা যেকোনো সমস্যার জন্য যথাযথ অ্যালগরিদম বেছে নিয়ে তা প্রয়োগ করতে সক্ষম হয়। এটি ধারণাগত ও প্রক্রিয়াগত জ্ঞানের সংযোগ নির্দেশ করে কারণ শিক্ষার্থীরা অনেক কৌশল শিখলেও সঠিকটি বেছে নেওয়া এবং তা প্রয়োগ করাই মূল বিষয়।[৩] এছাড়াও, জটিল গণিত সমস্যার সমাধানে কোনো প্রক্রিয়া সফল হলে বা ব্যর্থ হলে শিক্ষার্থীরা প্রায়ই সেখান থেকে আরও শিখতে পারে। ভুলের মাধ্যমে আত্ম-প্রশ্ন করে তারা নিজের বিদ্যমান জ্ঞান পুনর্গঠন করতে পারে এবং ফলে তাদের ধারণাগত জ্ঞান বৃদ্ধি পায়। ঘোষণামূলক জ্ঞান ধারণাগত ও প্রক্রিয়াগত জ্ঞানের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত কারণ এতে শিক্ষার্থীদের দীর্ঘমেয়াদি স্মৃতি থেকে ধারণা (ধারণাগত জ্ঞান) ও নির্দিষ্ট অ্যালগরিদম (প্রক্রিয়াগত জ্ঞান) পুনরুদ্ধার করতে হয়। এই তিনটি ক্ষেত্রের যেকোনো একটির ঘাটতি গণিত শেখায় অসুবিধা সৃষ্টি করতে পারে।[৪] সুতরাং, এই তিন ধরনের জ্ঞানের সংমিশ্রণ একে অপরের সঙ্গে সংযুক্ত থাকায় তা শিক্ষার প্রক্রিয়াকে প্রভাবিত করে।
জ্ঞানীয় তত্ত্ব এবং গণিত
[সম্পাদনা]পাইগেটের জ্ঞানীয় বিকাশ তত্ত্ব
[সম্পাদনা]জঁ পাইগেট জন্ম থেকে কৈশোর পর্যন্ত জ্ঞানীয় বিকাশকে চারটি ধাপে ভাগ করেছেন: সংবেদনশীল গতি (জন্ম থেকে ২ বছর), প্রাক-পরিচালন (প্রায় ২ থেকে ৭ বছর), কংক্রিট অপারেশনাল (প্রায় ৭ থেকে ১১ বছর), এবং ফর্মাল অপারেশনাল (প্রায় ১১ থেকে ১৫ বছর)। যদিও সবাই এই ধাপগুলোতে ভিন্নভাবে অগ্রসর হয়, পাইগেট বিশ্বাস করতেন প্রতিটি শিশু পর্যায়ক্রমে প্রতিটি ধাপ অতিক্রম করবে এবং কেউ কোনো ধাপ বাদ দেবে না কারণ পূর্ববর্তী ধাপ না শেখা পর্যন্ত পরবর্তী ধাপে যাওয়া সম্ভব নয়; এগুলো সময়ের ব্যাপার মাত্র।
পাইগেট আরও বলেন, শিশুর শেখা মূলত জন্ম থেকে ২ বছর পর্যন্ত চলাফেরা ও পাঁচটি ইন্দ্রিয়ের মাধ্যমে গঠিত হয়। জন্মের কয়েক সপ্তাহের মধ্যেই শিশু বস্তু অনুসরণ এবং ধরার চেষ্টা শুরু করে, যা চোখ ও চলন সংক্রান্ত মস্তিষ্কের অংশগুলোকে বিকশিত করতে সাহায্য করে। একবার শিশু বুঝে যায় যে শেখা পুনরাবৃত্তির মাধ্যমে হয়, তখন তারা নিজেরা পরিকল্পনা করে কাঙ্ক্ষিত বস্তু পেতে দক্ষ উপায়ে কাজ করে। পাইগেট দাবি করেন যে এই পর্যায়ে শিশুরা সংখ্যাকে বস্তুর সঙ্গে সংযুক্ত করতে পারে[৫] এবং এমনও প্রমাণ আছে যে শিশুরা সংখ্যার ধারণা ও গণনার কিছু ধারণা ইতোমধ্যেই অর্জন করে[৬]। এই পর্যায়ে শিশুদের গণিত দক্ষতা গঠনের জন্য শিক্ষকরা এমন কার্যক্রম দিতে পারেন যাতে সংখ্যা ও গণনা যুক্ত থাকে। যেমন, ছবি যুক্ত বই পড়ানো যেতে পারে। এতে শিশুরা বস্তুর ছবি ও সংশ্লিষ্ট সংখ্যার মধ্যে সম্পর্ক তৈরি করতে শিখবে এবং পড়া ও অনুধাবন ক্ষমতাও বাড়বে। এই সময়ে পাইগেট দেখিয়েছেন যে শিশুরা নিজেরাই বস্তু ও জ্ঞানের সঙ্গে সম্পর্ক স্থাপন করতে পারে, যা বুদ্ধিবৃত্তিক বিকাশে সহায়তা করে।[৭] যেহেতু পাইগেট মনে করতেন, একজন ব্যক্তির আগে অর্জিত জ্ঞানের ওপর ভিত্তি করে পরবর্তী ধাপে যেতে হয়, তাই সংখ্যা সম্পর্কে শিশুদের বোঝাপড়া বাড়ানোর জন্য এমন কার্যক্রমের মাধ্যমে গণিতের ভিত্তি তৈরি করা উচিত যাতে গণনা অন্তর্ভুক্ত থাকে।
প্রায় ২ থেকে ৭ বছর বয়সে শিশুরা ভাষা, প্রতীকী চিন্তা, আত্মকেন্দ্রিক দৃষ্টিভঙ্গি এবং সীমিত যৌক্তিকতা অর্জন করে। এই সময়ে তারা সংখ্যা বা ব্লকের মতো বস্তুর মাধ্যমে সমস্যার সমাধান করতে শেখে। যদিও তারা সংখ্যার কিছু ধারণা অর্জন করে, তবে তাদের যৌক্তিক ক্ষমতা সীমিত থাকে এবং তারা বিপরীত ক্রমে কার্য পরিচালনা করতে পারে না। যেমন, যারা বুঝতে পারে ৫+৩ = ৮, তারা বুঝতে নাও পারে ৩+৫ = ৮। পাইগেটের মতে, কারণ তারা কোনো একটি দিক বুঝলে অন্য দিক হারিয়ে ফেলে। এই সময়ে শিক্ষকেরা শিশুদের দিয়ে নির্দিষ্ট গঠন তৈরি করতে পারে ব্লক দিয়ে। এতে তারা একজাতীয় বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে গোষ্ঠীভুক্ত করতে শিখবে এবং বুঝবে একাধিক উপায়ে এটি তৈরি করা যায়।[৮]
৭ থেকে ১১ বছর বয়সে শিশুরা জ্ঞানীয়ভাবে দ্রুত বিকশিত হয়। তারা একাধিক দিক বা মাত্রা বুঝতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, পাইগেট একটি পরীক্ষায় একই পরিমাণ তরলকে ভিন্ন আকারের বোতলে ঢেলে দেখিয়েছিলেন — এই পর্যায়ের শিশুরা বুঝতে পারে তরলের উচ্চতা কেন পরিবর্তন হয়। এই সময়ে ‘শ্রেণিবিন্যাস’ ও ‘সিরিয়েশন’-এর দক্ষতা গড়ে ওঠে[৯]। তারা একজাতীয় বৈশিষ্ট্যের ভিত্তিতে বস্তু শ্রেণিবদ্ধ করতে শেখে এবং বৃদ্ধিপ্রাপ্ত বা হ্রাসপ্রাপ্ত মান অনুযায়ী সাজাতে শেখে। যদিও এই পর্যায়ে তারা মৌলিক গণনাগুলো জানতে পারে, তবে বাস্তব সমস্যায় তা প্রয়োগ করতে পারে না। যেমন, ৩টি সারিতে ৫টি ব্লক দিয়ে তৈরি গঠনের সংখ্যা গণনা করতে বললে, তারা গুণের ধারণা ব্যবহার করে না। অর্থাৎ, এই সময়ে তাদের গাণিতিক ধারণাগুলো বাস্তব বস্তুর সঙ্গে সংযুক্ত থাকতে হয়। তারা এখনো পরিমাপের উপর ভিত্তি করে সুনির্দিষ্ট পদ্ধতি তৈরি করতে সক্ষম নয়।
১১ থেকে ১৫ বছর বয়সে শিশুরা নিজেরাই তত্ত্ব তৈরি করতে এবং গণিতের ধারণা গঠন করতে পারে। তারা বিমূর্ত ধারণাকে বাস্তব পরিস্থিতির সঙ্গে মিলিয়ে নিতে পারে। যেমন, তারা এখন বীজগণিতের একটি সমস্যা নিজে নিজে সমাধান করতে পারে, যেখানে আগে শিক্ষককে বাস্তব উদাহরণ দিতে হতো। তারা কারণ নির্ণয়, ব্যাখ্যা, বিশ্লেষণ এবং প্রয়োগ করতে শেখে। শিক্ষকেরা তাদের শেখাতে পারেন কীভাবে শব্দের সমস্যা বিশ্লেষণ করতে হয় এবং কোন তথ্য প্রাসঙ্গিক আর কোনটা নয় তা বোঝাতে হয়।
পাইগেট মনে করতেন, যদি কোনো শিশু কোনো ধারণা বুঝতে ব্যর্থ হয়, তবে সেটির কারণ হচ্ছে সমস্যা থেকে সরাসরি গাণিতিক রূপান্তরে যাওয়ার চেষ্টা। তার মতে, শিশুদের শেখাতে হলে এমন পদ্ধতি নিতে হবে যা তাদের নিজে আবিষ্কার করতে উৎসাহ দেয়, যাতে তারা নিজেরাই ধারণা গড়ে তুলতে পারে, শিক্ষক তাদের সরাসরি উত্তর দেওয়ার পরিবর্তে। [১০]
পাইগেট তত্ত্বের সমালোচনা
[সম্পাদনা]| পাইগেটের জ্ঞানীয় বিকাশের বিশ্বাস | সমালোচনা |
|---|---|
| ১) শিশুরা বস্তুর স্থায়িত্ব বোঝার বিকাশ শুরু করে |
|
| ২) শিশুদের সংবেদনশীল ক্ষমতা এবং জ্ঞানীয় বিকাশ তাদের জন্মের প্রথম ৬ মাসের মধ্যে ঘটে |
|
| ৩) প্রতিটি শিশু একটি নির্দিষ্ট ক্রমে চারটি পর্যায়ের অভিজ্ঞতা অর্জন করবে |
|
| ৪) পাইগেট জ্ঞানীয় বিকাশকে নির্দিষ্ট পর্যায়ে পৃথক করে |
|
যদিও আধুনিককালে শ্রেণিকক্ষে শিক্ষার্থীদের জ্ঞানীয় বিকাশ পর্যবেক্ষণের জন্য পাইগেটের তত্ত্ব ব্যাপকভাবে ব্যবহৃত হয়, তবুও এ নিয়ে বিতর্ক রয়েছে। অনেক শিক্ষাবিদ পাইগেটের তত্ত্বের উপর নির্ভর করে শিক্ষার্থীদের গাণিতিক শিক্ষার উপযুক্ততা পরিমাপ করেন। অন্যদিকে, হিবার্ট ও কার্পেন্টার মত দিয়েছেন যে, পাইগেটের তত্ত্ব তেমন কার্যকর নির্দেশনা নয়, কারণ বহু গবেষণায় প্রমাণ হয়েছে যে, অনেক শিশু যারা পাইগেটের তত্ত্ব অনুসরণ করতে পারে না তারাও গাণিতিক ধারণা ও দক্ষতা অর্জনে সক্ষম।[১১]
পাইগেট যেখানে শিশুর অভ্যন্তরীণ জ্ঞান অনুসন্ধানের উপর গুরুত্ব দেন এবং বিশ্বাস করতেন যে, জন্ম থেকে দুই বছর পর্যন্ত শিশু বস্তু স্থায়ীত্ব (যেমন: লুকানো বস্তু খোঁজার ধারণা) শেখে, অন্য গবেষকরা বলেন, পাইগেট শিশুদের প্রেরণার প্রয়োজনীয়তাকে অবহেলা করেছেন। বার্গার মনে করেন বাহ্যিক প্রেরণা ও শিক্ষাও গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে।[১২]
ক্যাগান বিশ্বাস করেন, শিশু যখন স্থান পরিবর্তনের পরও বস্তু স্পর্শ করতে পারে, তখন এর পেছনের কারণ তাদের মস্তিষ্কের স্মৃতি ধারণক্ষমতার বৃদ্ধি, পাইগেটের ধারণার মতো নতুন কোনো জ্ঞানীয় গঠনের কারণে নয়।[১৩]
পাইগেটকে সমালোচনা করা হয়েছে শিশুদের সামর্থ্য নিয়ে অতিরিক্ত সাধারণায়নের জন্য। তিনি সিদ্ধান্তে এসেছিলেন, শিশুর সংবেদনশীলতা ও জ্ঞানীয় বিকাশ জন্মের প্রথম ছয় মাসেই ঘটে। যদিও পাইগেট বিশ্বাস করতেন, প্রতিটি শিশু নির্দিষ্ট ধাপে নির্দিষ্ট ক্রমে অগ্রসর হয়, হেউভেল-পানহুইজে বলেন পাইগেটের তত্ত্ব ছোট শিশুদের সামর্থ্যকে অবমূল্যায়ন করে। উদাহরণস্বরূপ, তিনি দেখান যে প্রাক-প্রাথমিক শিক্ষকেরা যদি শুধুমাত্র পাইগেটের ধাপভিত্তিক তত্ত্বে বিশ্বাস করেন, তবে তারা শিশুদের প্রতীকের জ্ঞান, গণনার ক্রম ও গাণিতিক ক্রিয়ার সামর্থ্য সম্পর্কে ভুল ধারণা পোষণ করতে পারেন।[১৪]
বার্গার আরও বলেন, শিশুদের পার্সেপচুয়াল শেখা (ধারণাগত শেখা) জন্মের আগেই শুরু হতে পারে।[১৫] যদিও একটি নির্দিষ্ট বয়স অনুযায়ী একটি শিশু নির্দিষ্ট ধাপে থাকবে, তবুও সব শিক্ষার্থী একরকম নয়। তাদের স্বতন্ত্র দক্ষতার ভিত্তিতে তারা হয়তো কোনো উচ্চতর বা নিম্নতর ধাপে অবস্থান করতে পারে।
উদাহরণস্বরূপ, গেলম্যান ও গ্যালিস্টেল দেখান যে, প্রস্তুতি ধাপে থাকা শিশুরাও বস্তু গণনার ক্ষেত্রে বিমূর্ত চিন্তা করতে পারে। এছাড়াও, পাইগেট শিশুদের আবেগ ও ব্যক্তিত্ব বিকাশ নিয়ে স্পষ্ট কোনো ধারণা দেননি। যদিও তিনি বুদ্ধিমত্তা ও স্মৃতিশক্তির বিকাশ মাপার কার্যকর পদ্ধতি ব্যাখ্যা করেছেন, তিনি সৃজনশীলতা ও সামাজিক যোগাযোগের গুরুত্বপূর্ণ দিকগুলো উপেক্ষা করেছেন।[১৬]
ক্রিস্টিনা এর্নেলিং যুক্তি দেন যে, উন্নয়নের ধারা বোঝা সম্ভব যদি শিশুদের সঠিক পরিবেশে রাখা যায়। তার মতে, যেকোনো শেখার ধারণা বিশদ শিক্ষাতত্ত্বের উপর ভিত্তি করে হতে হবে এবং জ্ঞানীয় বিকাশ বোঝার জন্য ব্যক্তির সামাজিক ও সাংস্কৃতিক পটভূমির ভিন্নতা স্বীকৃতি দিতে হবে। অর্থাৎ, পাইগেট সংস্কৃতির প্রভাব উপেক্ষা করেছেন। কারণ তার গবেষণা ছিল পশ্চিমা দেশে, তাই তার তত্ত্ব হয়তো শুধু পশ্চিমা সমাজ ও সংস্কৃতিকে প্রতিনিধিত্ব করে।
পাইগেটের মতে, বৈজ্ঞানিক চিন্তা ও আনুষ্ঠানিক চিন্তাশক্তি নির্দিষ্ট ধাপে পৌঁছেই বিকাশ পায়। অন্যদিকে, এডওয়ার্ডস ও অন্যান্য গবেষকরা বলেন, পাইগেটের গবেষণায় নিয়ন্ত্রণ ও নমুনার সীমাবদ্ধতার কারণে তার গবেষণা অবিশ্বস্ত। তারা বলেন, অন্যান্য সংস্কৃতিতে সাধারণ ধাপের অপারেশনগুলো বেশি গুরুত্ব পেতে পারে।[১৭]
বার্গার পাইগেটের নির্দিষ্ট ধাপের বিপক্ষে যুক্তি দেন। তিনি মনে করেন, পাইগেট শিশুদের অভ্যন্তরীণ জ্ঞানের সন্ধানকে গুরুত্ব দিলেও বংশগতি, সংস্কৃতি ও শিক্ষার মতো বাহ্যিক বিষয়গুলো উপেক্ষা করেছেন। তিনি বলেন, পাইগেটের জ্ঞানীয় বিকাশের ধাপগুলোকে বরং একটানা ধাপে ধাপে অগ্রগতির মতো দেখা উচিত, নির্দিষ্ট করে ভাগ না করে।[১৮]
পাইগেটের তত্ত্বের আরও সমালোচনা হয়েছে, কারণ তার সর্বশেষ ধাপে জ্ঞানীয় বিকাশ যথেষ্ট স্পষ্টভাবে ব্যাখ্যা করা হয়নি। তিনি মনে করতেন, ১১ থেকে ১৫ বছর বয়সের মধ্যে সবাই বিমূর্ত যুক্তি বিকাশে সক্ষম হয়। অন্যদিকে, প্যাপালিয়া ও অন্যান্যরা বিশ্বাস করেন, সবাই এই সময়ে আনুষ্ঠানিক চিন্তাশক্তি অর্জন করতে পারে না, এবং তাতে তারা অপরিণত নয়—বরং তাদের চিন্তাভাবনার পরিপক্বতার ধরণ ভিন্ন।[১৯]
অতএব, জ্ঞানীয় বিকাশকে বরং একটি অনিয়মিত প্রক্রিয়া হিসেবে বিবেচনা করা উচিত, যেখানে প্রতিটি শিশু ধাপে ধাপে নিজস্ব গুণাবলি ও আচরণগত দক্ষতা অর্জন করে।[২০]
জ্ঞানীয় ক্ষেত্র=
[সম্পাদনা]পাইগেটের পর থেকে জ্ঞানীয় তত্ত্ব ও গাণিতিক শিক্ষার মধ্যে সম্পর্ক অনেকদূর এগিয়েছে। অসংখ্য গবেষণায় দেখা গেছে, বিভিন্ন জ্ঞানীয় দক্ষতা ও গাণিতিক দক্ষতার মধ্যে সম্পর্ক রয়েছে। ১৯৭৮ সালেই গবেষকেরা মস্তিষ্ক-সম্পর্কিত আচরণ ও একাডেমিক দক্ষতার মধ্যে সম্পর্ক খুঁজে পান। রাউর্ক ও ফিনলেসন ৯-১৪ বছর বয়সী শেখার অসুবিধায় ভোগা শিশুদের নিয়ে গবেষণা করে দেখান, যেসব শিশুর অ্যারিথমেটিক দক্ষতা নেই, তাদের ডান মস্তিষ্কের গোলার অকার্যকারিতার মতো আচরণ দেখা যায়।[২১]
সম্প্রতিকালে আরও সূক্ষ্ম জ্ঞানীয় দক্ষতা ও গণিতে ঘাটতির মধ্যকার সম্পর্ক চিহ্নিত হয়েছে।
২০০১ সালে হ্যানিচ, জর্ডান, কাপলান ও ডিক ২য় শ্রেণির শিক্ষার্থীদের গাণিতিক পারফরম্যান্স বিশ্লেষণ করেন।[২২]
তারা শিক্ষার্থীদের চারটি দলে ভাগ করেন: সাধারণভাবে সফল, শুধুমাত্র গণিতে দুর্বল, শুধুমাত্র পড়ায় দুর্বল, এবং উভয় বিষয়ে দুর্বল শিক্ষার্থী। প্রত্যেককে সাতটি গাণিতিক পরীক্ষায় অংশ নিতে বলা হয়:
ক) নির্দিষ্ট গণনা খ) গল্পভিত্তিক সমস্যা গ) আনুমানিক গণনা ঘ) স্থানীয় মান ঙ) গণনার নীতি চ) সংখ্যা স্মরণ ছ) লিখিত গণনা।
তারা দেখেন, যারা গণনা ও পড়া উভয় ক্ষেত্রেই দুর্বল, তারা গল্প সমস্যা ও প্রচলিত গণনায় দুর্বল। তবে যারা শুধু গণিতে দুর্বল, তারা শুধু প্রচলিত গণনায় দুর্বলতা দেখায়। এ থেকে গবেষকেরা সিদ্ধান্তে আসেন, গণিতে একাধিক জ্ঞানীয় ক্ষেত্র রয়েছে এবং প্রতিটি ক্ষেত্র মস্তিষ্কের ভিন্ন প্রক্রিয়া ব্যবহার করে।
ফুচস, ফুচস, স্টুয়েবিং, ফ্লেচার, হ্যামলেট ও ল্যাম্বার্ট (২০০৮) লক্ষ্য করেন, প্রচলিত গণনার সফলতা নির্ধারণে গুরুত্বপূর্ণ কিছু পূর্বাভাসদাতা হচ্ছে: ক) কর্মরত স্মৃতি খ) দৃশ্য-স্থানিক কর্মরত স্মৃতি গ) মনোযোগ রেটিং ঘ) ধ্বনিতাত্ত্বিক প্রক্রিয়াকরণ ঙ) শব্দভাণ্ডারের জ্ঞান[২৩]
তারা এক দীর্ঘমেয়াদি, বৃহৎ পরিসরের গবেষণায় দেখেন, গণনা ও সমস্যার সমাধান—এই দুইটি গণিতের আলাদা ক্ষেত্র হতে পারে। তারা শিক্ষার্থীদের মূল্যায়ন করেন: গণনায় দক্ষতা, শব্দ-সমস্যা সমাধান, ধ্বনি প্রক্রিয়া, অ-মৌখিক সমস্যা সমাধান, কর্মরত স্মৃতি, মনোযোগী আচরণ, প্রক্রিয়ার গতি, এবং পাঠ দক্ষতা ইত্যাদিতে। তারা দেখতে পান, মনোযোগী আচরণ ও প্রক্রিয়ার গতি গণনার ক্ষেত্রে বড় ভূমিকা রাখে।
এছাড়াও, তারা লক্ষ্য করেন, কর্মরত স্মৃতি, স্বল্পমেয়াদি স্মৃতি, অ-মৌখিক সমস্যা সমাধান (যেমন দৃশ্যের মাধ্যমে প্যাটার্ন সম্পূর্ণ করা), ধারণা গঠন, এবং ভাষা দক্ষতা (যার মধ্যে পড়াও অন্তর্ভুক্ত) সমস্যা সমাধানের পূর্বাভাসদাতা। ভাষা দক্ষতার ঘাটতি সমস্যার সমাধানে দুর্বল শিক্ষার্থীদের মধ্যে পার্থক্যকারী একটি উপাদান।
প্রত্যেক জ্ঞানীয় গণিত ক্ষেত্রের জন্য মস্তিষ্কের প্রক্রিয়া
[সম্পাদনা]| গণনার জ্ঞানীয় দক্ষতা | সমস্যা সমাধানের জ্ঞানীয় দক্ষতা |
|---|---|
| গণনার সফলতার পূর্বাভাসদাতা: | সমস্যা সমাধানের সফলতার পূর্বাভাসদাতা: |
• কর্মরত স্মৃতি
• মনোযোগ রেটিং • প্রক্রিয়ার গতি • ভাষা দক্ষতা
|
• কর্মরত স্মৃতি
• স্বল্পমেয়াদি স্মৃতি • অ-মৌখিক সমস্যা সমাধান (দৃশ্যমান প্যাটার্ন সম্পূর্ণ করার দক্ষতা) • ধারণা গঠন • ভাষা দক্ষতা
|
গণিত শেখার ক্ষেত্রে কার্যকর স্মৃতির গুরুত্ব
[সম্পাদনা]কার্যকর স্মৃতি হলো একটি প্রক্রিয়া যা অস্থায়ীভাবে নতুন বা পূর্বে সঞ্চিত তথ্য ধারণ করে, যা বর্তমান কোনো কাজ সম্পন্ন করার জন্য ব্যবহৃত হয়। এর ধারণক্ষমতা সীমিত। কার্যকর স্মৃতির দুটি ধরণ রয়েছে: শ্রাব্য (অডিটরি) স্মৃতি ও দৃশ্য-স্থানিক (ভিজুয়াল-স্প্যাটিয়াল) স্মৃতি। গণিতের গাণিতিক সমস্যার সমাধানের ক্ষেত্রে দৃশ্য-স্থানিক স্মৃতি গুরুত্বপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছে। অপরদিকে, শ্রাব্য স্মৃতি সব ধরনের গাণিতিক ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ। ব্যক্তিভেদে কার্যকর স্মৃতির ধারণক্ষমতার পার্থক্য হতে পারে তথ্য প্রক্রিয়াকরণের গতি, ব্যক্তির জ্ঞান বা অপ্রাসঙ্গিক তথ্য উপেক্ষা করার দক্ষতার কারণে।[২৪] পরিকল্পনা, সংগঠন এবং নমনীয় চিন্তার মতো নির্বাহী কার্যক্রমগুলো কার্যকর স্মৃতিকে প্রভাবিত করতে পারে।[২৫]
অন্যদিকে, স্বল্পমেয়াদী স্মৃতি দায়ী শুধুমাত্র অল্প সময়ের জন্য তথ্য ধারণ করার জন্য, যেগুলো ব্যবহার করতে হবে কিন্তু বিশ্লেষণ বা রূপান্তরের প্রয়োজন নেই। এর ধারণক্ষমতাও সীমিত এবং এটি কয়েক সেকেন্ডের মতোই স্থায়ী হতে পারে। যেমন, একটি টেলিফোন নম্বর আমরা কয়েক সেকেন্ড মনে রাখি শুধু তা ডায়াল করার জন্য।
২০০৪ সালে সোয়ানসন এবং বিবে-ফ্রাঙ্কেনবার্গারর একটি গবেষণায় উপসংহারে পৌঁছেছেন যে, কার্যকর স্মৃতি সমস্যার সমাধানকালে তথ্য একীভূতকরণে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। তাদের মতে, কার্যকর স্মৃতি গুরুত্বপূর্ণ কারণ এটি "(ক) সম্প্রতি প্রক্রিয়াকৃত তথ্যকে নতুন ইনপুটের সঙ্গে সংযোগ স্থাপন করে এবং (খ) সামগ্রিকভাবে সমস্যার একটি উপস্থাপন গঠনের জন্য তথ্যের সারাংশ সংরক্ষণ করে।"[২৬]
এইচ লি সোয়ানসনের সাম্প্রতিক একটি গবেষণায় দেখা গেছে, কার্যকর স্মৃতির ধারণক্ষমতা সমস্যা সমাধানে কৌশলগত হস্তক্ষেপের প্রভাবকে নিয়ন্ত্রণ করে।[২৭] লেখক একটি হস্তক্ষেপমূলক গবেষণা পরিচালনা করেন, যেখানে কার্যকর স্মৃতির ভূমিকা এবং কৌশল শেখানোর ফলে শব্দভিত্তিক সমস্যা সমাধানে সঠিকতা কেমন হয়, তা যাচাই করা হয়।
গবেষণায় সমস্ত শিশুদের শ্রাব্য ও দৃশ্য-স্থানিক কার্যকর স্মৃতির মাপ নেওয়া হয়। এরপর গণিতে সমস্যাযুক্ত এবং অপ্রতিবন্ধিত শিশুদের তিনটি গ্রুপে ভাগ করে র্যান্ডমাইজড কন্ট্রোল ট্রায়াল করা হয়। ১ম দলকে শব্দভিত্তিক কৌশল শেখানো হয়, ২য় দলকে দৃশ্য-স্থানিক কৌশল, এবং ৩য় দলকে উভয় কৌশলের সংমিশ্রণ শেখানো হয়। প্রতিটি দলকে এমন পাঠদান দেওয়া হয় যাতে শব্দ সমস্যা ক্রমাগত অপ্রাসঙ্গিক তথ্যে পরিপূর্ণ হতে থাকে। এই কৌশলের উদ্দেশ্য ছিল শিশুদের প্রাসঙ্গিক তথ্যের প্রতি মনোযোগী হতে শেখানো। পূর্ববর্তী অনেক গবেষণায় দেখা গেছে যে, প্রাসঙ্গিক ও অপ্রাসঙ্গিক তথ্য আলাদা করতে শেখা গণিত সমস্যার সঠিকতা বৃদ্ধিতে গুরুত্বপূর্ণ।
গবেষণার ফলাফল দেখায় যে, কৌশল শেখানো সমস্যা সমাধানে সাহায্য করে। তবে এটি মনে রাখা জরুরি যে, ব্যক্তিভেদে কার্যকর স্মৃতির ক্ষমতা কৌশল শেখানোর প্রভাবকে নিয়ন্ত্রণ করে। কম কার্যকর স্মৃতির শিশুরা তেমন উপকার পায়নি। বরং উচ্চ কার্যকর স্মৃতির শিশুরাই—যাঁদের গণিতে প্রতিবন্ধকতা থাকুক বা না থাকুক—এই কৌশল থেকে বেশি উপকার পেয়েছে। তবে, দৃশ্যগত কৌশল ব্যবহৃত হলে সব ধরনের গণিত প্রতিবন্ধী শিশুরাই উপকার পেয়েছে। কিন্তু যাঁদের কার্যকর স্মৃতি দুর্বল, তাঁদের জন্য শব্দ ও দৃশ্য উভয় কৌশলের সংমিশ্রণ প্রয়োজন। সবশেষে, গবেষণার ফলাফলে বলা হয়েছে যে, কার্যকর স্মৃতির উপর ভিত্তি করে মনোযোগ নিয়ন্ত্রণ সম্পর্কিত প্রক্রিয়াগুলোর প্রশিক্ষণ ভবিষ্যতে কার্যকর স্মৃতির দক্ষতা উন্নত করতে পারে।
এই গবেষণার তাৎপর্য হলো, গণিতে প্রতিবন্ধকতাসম্পন্ন শিক্ষার্থীদের কার্যকর স্মৃতির ক্ষমতা যাচাই করে তার ভিত্তিতে উপযুক্ত শিক্ষণ কৌশল নির্ধারণ করা উচিত।
গণিত শেখা ও শেখানোর ওপর প্রভাব ফেলা উপাদান
[সম্পাদনা]ব্যক্তিভেদে পার্থক্য
[সম্পাদনা]প্রত্যেক শিক্ষার্থীর আলাদা দক্ষতা, পূর্বজ্ঞান, সংস্কৃতি এবং আগ্রহ থাকে। এই বিষয়গুলো গণিত শেখা ও শেখানোর ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ কারণ পাঠদানের কৌশলগুলো শিক্ষার্থীদের অনুযায়ী পরিবর্তন করতে হয়।
দক্ষতার পার্থক্য
[সম্পাদনা]সব শিক্ষার্থীর নিজস্ব শক্তি ও দুর্বলতা থাকে। কেউ কোনো নির্দিষ্ট গাণিতিক ক্ষেত্রে ভালো হলেও, অন্য ক্ষেত্রে দুর্বল হতে পারে। শিক্ষকের উচিত শিক্ষার্থীদের দক্ষতা সম্পর্কে জানা, যাতে তাদের শক্তিকে কাজে লাগিয়ে দুর্বলতাকে উন্নত করা যায়। যদি শিক্ষক শিক্ষার্থীদের দক্ষতা ও দুর্বলতা না জানেন, তবে ভুলভাবে চ্যালেঞ্জ তৈরি হতে পারে, যেটা শিক্ষার্থীর আত্মবিশ্বাস কমিয়ে দিতে পারে এবং ব্যর্থতা থেকে "শিক্ষিত অসহায়ত্ব" তৈরি করতে পারে। সঠিক দক্ষতা জানা থাকলে নতুন গাণিতিক জ্ঞান অর্জনে শিক্ষার্থীদের অসুবিধা হবে না।
উদাহরণস্বরূপ, শব্দ সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজন মানসিক উপস্থাপনা ও সাধারণ গাণিতিক রূপান্তর। ফলে, যারা গাণিতিক সমীকরণ গঠন করতে জানে না, তারা এই সমস্যা সমাধানে ব্যর্থ হবে।[২৮] শিক্ষকের উচিত শিক্ষার্থীদের প্রাক-দক্ষতার ওপর ভিত্তি করে পাঠদান কৌশল নির্ধারণ করা, কারণ এই দক্ষতাগুলো সমস্যার সমাধানে গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা রাখে। শিক্ষার্থীরা যত বেশি ধারণাগত ও প্রক্রিয়াগত দক্ষতা অর্জন করবে, ততই তারা গণিত শেখায় দক্ষ হয়ে উঠবে।[২৯]
বর্তমান হাইস্কুলে বিভিন্ন স্তরের গণিত কোর্স থাকে—শুরুর, মূল এবং উন্নত স্তর। শিক্ষার্থীদের নিজস্ব দক্ষতার ভিত্তিতে বিভাগ করা হয় বা তারা নিজেরা স্তর বেছে নিতে পারে। শিক্ষককে উচিত শিক্ষার্থীদের মূল্যায়ন করা যে তারা সেই স্তরের উপযোগী কিনা। খুব কঠিন হলে শিক্ষার্থী ক্লান্ত হয়ে পড়বে, আবার খুব সহজ হলে বিরক্ত হবে। সঠিক স্তর নির্ধারণের জন্য দক্ষতা জানা আবশ্যক।
পূর্বজ্ঞানগত পার্থক্য
[সম্পাদনা]শিক্ষার্থীদের গাণিতিক জ্ঞান তাদের সামাজিক অভিজ্ঞতা থেকে আসে। বাস্তব জীবনের অভিজ্ঞতা যেমন বাজারে কেনাকাটা করার মাধ্যমে টাকা-পয়সা মেলানো শেখা, গাণিতিক প্রতীক কীভাবে ব্যবহার হয়, সেটা বুঝতে সাহায্য করে। এই বাস্তব জ্ঞান ব্যবহার করে যদি গাণিতিক ধারণা শেখানো হয়, তাহলে শিক্ষার্থীরা সহজে তা বুঝতে পারে।[৩০] বাস্তব পরিস্থিতির সঙ্গে মিল থাকলে শিক্ষার্থীরা গণিত শেখায় বেশি আগ্রহী হয়, কারণ এটি তাদের কাছে অর্থবহ ও প্রাসঙ্গিক মনে হয়। উদাহরণস্বরূপ, পাঠ্যবইয়ের গণিত অনেক শিক্ষার্থীর কাছে বিরক্তিকর মনে হতে পারে, কিন্তু যদি তা ব্যাংকে সুদের হিসাব বা দৈনন্দিন খরচ হিসাবের মতো জীবনের সঙ্গে মেলানো হয়, তাহলে তা সহজ ও আকর্ষণীয় মনে হয়।
গুরুত্বপূর্ণ গণিত সমস্যার জন্য শুধু গণিত নয়, পদার্থবিদ্যা বা রসায়নের মতো বিষয়ের জ্ঞানও প্রয়োজন হতে পারে।[৩১] শব্দ সমস্যার ক্ষেত্রে পাঠ্যাংশ বুঝতে ভাষাগত দক্ষতাও প্রয়োজন, যা পূর্বজ্ঞান থেকে আসে। বিশ্ববিদ্যালয় স্তরের অনেক গণিত কোর্সে পূর্বশর্ত কোর্স থাকে, কারণ উন্নত গণিত শেখার জন্য প্রাথমিক ধারণা থাকা আবশ্যক।
আগ্রহের পার্থক্য
[সম্পাদনা]সবার আগ্রহ আলাদা। কেউ গণিত পছন্দ করে কারণ ছোটবেলা থেকেই তারা এই বিষয়ে শক্তিশালী ছিল, আবার কেউ ঘৃণা করে কারণ বারবার ব্যর্থ হয়েছে। আগ্রহ থাকলে অভ্যন্তরীণ মোটিভেশন তৈরি হয় এবং শিক্ষার্থী নিজের ইচ্ছায় গণিত শেখে।[৩২] এতে শিক্ষার্থীরা কাজের প্রতি মনোযোগী হয় এবং সমাধানে আন্তরিকতা দেখায়। তাদের আগ্রহ নিজের সামর্থ্য, আত্মবিশ্বাস এবং অর্জনের সঙ্গে জড়িত।[৩৩]
তাই, শিক্ষার্থীদের একাডেমিক সাফল্য বাড়ানোর জন্য তাদের মধ্যে গণিতের প্রতি আগ্রহ তৈরি করা অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। প্রকৃতপক্ষে, পরিবারের সদস্য, সহপাঠী এবং শিক্ষকসহ অনেক উপায়ে গণিতের প্রতি আগ্রহ বাড়ানো যায়।[৩৪]
পরিবারের সদস্যরা ঘরে বসেই শিক্ষার্থীদের গণিতে সহায়তা ও উৎসাহ দিতে পারেন, যা গণিতের প্রতি তাদের মূল্যবোধ বাড়ায়। শিক্ষার্থীরা সাধারণত সামাজিক তুলনা করতে ভালোবাসে এবং তারা সহপাঠীদের অনুসরণ করতে চায়। তাই সহপাঠীদের প্রভাব শিক্ষার্থীদের ওপর বড় ভূমিকা রাখে। যখন শিক্ষার্থীরা দেখে তাদের সহপাঠীরা সুদোকু বা ধাঁধার মতো কোনো গণিতের সমস্যা উপভোগ করছে, তখন তারাও সমাধানে আগ্রহী হয়ে ওঠে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণভাবে, শিক্ষকরা শ্রেণিকক্ষে আনন্দদায়ক ও ইন্টারঅ্যাকটিভ গেমের আয়োজন করতে পারেন এবং শেখানোর সময় উচ্ছ্বাস প্রকাশ করতে পারেন।[৩৫] এটি এমন একটি বিষয় শেখার আগ্রহ তৈরি করবে, যা আগে শিক্ষার্থীরা উপভোগ করতো না। ফলে, শিক্ষকদের উচিত শিক্ষার্থীদের শেখার জন্য আনন্দদায়ক পরিবেশ তৈরি করা যাতে গণিতের প্রতি আগ্রহ বৃদ্ধি পায়। যদি শিক্ষার্থীরা গণিতকে ঘৃণা করে, তবে তাদের শেখানো অত্যন্ত কঠিন হয়ে পড়ে। তারা তখন কেবল বাধ্য হয়ে পড়ে, আগ্রহ নিয়ে নয়।
সাংস্কৃতিক পার্থক্য
[সম্পাদনা]বিভিন্ন সাংস্কৃতিক পটভূমি থেকে আসা শিক্ষার্থীদের একাডেমিক সাফল্যের স্তর ও লক্ষ্য ভিন্ন হয়ে থাকে।[৩৬] তদুপরি, তাদের সংস্কৃতির ওপর ভিত্তি করে গণিতের প্রতি দৃষ্টিভঙ্গি ভিন্ন হতে পারে। যখন কোনো সংস্কৃতি কোনো বিষয়ে যেমন গণিতে বিশেষ গুরুত্ব দেয়, তখন সেই সংস্কৃতির শিশুদের ছোটবেলা থেকেই স্কুল ও বাড়িতে প্রশিক্ষণ দেওয়া হয়। ফলে, এদের গণিতের দক্ষতা তুলনামূলকভাবে বেশি হয়। যারা নিয়মিত গণিত চর্চা করে, তাদের অটোমেটিসিটি (স্বয়ংক্রিয়ভাবে সমাধান করার ক্ষমতা) বেশি হয় কারণ তারা বিভিন্ন গণিত সমস্যার যথেষ্ট অনুশীলন করে। তারা উপযুক্ত কৌশল বেছে নিয়ে দ্রুত সমস্যার সমাধান করতে পারে।[৩৭] অন্যদিকে, যদি কোনো সংস্কৃতি গণিতকে গুরুত্ব না দেয়, তবে সেই সংস্কৃতির শিশুরা কঠোরভাবে শেখে না এবং তাদের দক্ষতার স্তরও কম হয়। কোনও বিষয়ে ভালো করতে হলে স্কুলের পাশাপাশি বাড়িতেও চর্চা করা প্রয়োজন। যারা শুধুমাত্র স্কুলেই গণিত শেখে এবং বাড়িতে সক্রিয়ভাবে চর্চা করে না, তাদের অনুশীলন পর্যাপ্ত নয়। সেইসঙ্গে, এমন সংস্কৃতি যেখানে উচ্চ মান, পরিশ্রম, এবং ইতিবাচক মনোভাবকে মূল্য দেওয়া হয়, সেগুলোর শিক্ষার্থীদের একাডেমিক সাফল্যের সম্ভাবনা বেশি থাকে।[৩৮]
বিভিন্ন সংস্কৃতির ভাষাও ভিন্ন। এর অর্থ, তারা গণিত সমস্যা প্রকাশের ধরনেও পার্থক্য থাকতে পারে। গবেষণায় দেখা গেছে, চীনা সংখ্যার ভাষাগত কাঠামো (যেমন ১৫ মানে "দশ-পাঁচ") ইংরেজির তুলনায় শেখা সহজ। ইংরেজিতে যেমন ১২ মানে "টুয়েলভ" এবং -টিন শব্দগুলোর মধ্যে ধারাবাহিকতা থাকে না।[৩৯] চীনা সংখ্যা উচ্চারণ করা ইংরেজির তুলনায় দ্রুত সহজ, যা শিক্ষার্থীদের গণিত দক্ষতাকে প্রভাবিত করে। ফলে, চীনা ভাষায় সংখ্যাগুলো স্বল্প-মেয়াদী স্মৃতিতে দীর্ঘ সময় ধরে রাখা যায়, বিশেষ করে বহু-অঙ্কের জটিল সমস্যায়।[৪০] তাই পাঠদানের কৌশল পরিকল্পনার সময় শিক্ষার্থীদের সাংস্কৃতিক পার্থক্য বিবেচনায় নেওয়া উচিত, কারণ তা গণিত সমস্যার প্রতি তাদের দৃষ্টিভঙ্গি প্রভাবিত করতে পারে।
গণিতে আত্ম-দক্ষতা
[সম্পাদনা]গণিতে শিক্ষার্থীদের আত্ম-দক্ষতা বলতে বোঝায় তারা নিজের সম্পর্কে কতটা বিশ্বাস রাখে যে তারা গণিতের প্রশ্ন সমাধান করতে পারবে। যারা বেশি আত্মবিশ্বাসী তারা গণিত সংশ্লিষ্ট কাজে আরও সক্রিয়ভাবে অংশগ্রহণ করে এবং তাদের একাডেমিক সাফল্যও বেশি হয়। অন্যদিকে, যারা আত্মবিশ্বাস কম রাখে তারা গণিত সমস্যা সমাধানে বেশি দুশ্চিন্তাগ্রস্ত হয় এবং তাদের পারফরম্যান্স কম হয়। তাই, গণিতে আত্ম-দক্ষতা সরাসরি শিক্ষার্থীদের অংশগ্রহণ ও সাফল্যের সঙ্গে সম্পর্কযুক্ত।
গণিতে আত্ম-দক্ষতার প্রভাব
[সম্পাদনা]আত্ম-দক্ষতা শিক্ষার্থীদের চিন্তা, বোঝাপড়া এবং শেখার অনুভূতিতে প্রভাব ফেলে। যারা নিজেদের দক্ষ মনে করে, তারা গণিতে ভালো করার ক্ষমতা আছে বলে বিশ্বাস করে।[৪১] এই বিশ্বাসের কারণে তারা আরও উৎসাহী হয়ে পড়ে এবং বেশি পড়াশোনা করে। ফলে, তারা আত্ম-সার্থকতার চক্রে পড়ে, অর্থাৎ তাদের নিজস্ব বিশ্বাস বাস্তব হয়ে ওঠে। বিপরীতে, যারা নিজেকে অদক্ষ মনে করে, তারা ভাবে যতই চেষ্টা করুক, গণিতে সফল হতে পারবে না।[৪২] এ কারণে তারা গণিত চর্চায় অনুপ্রাণিত হয় না এবং কয়েকবার চেষ্টা করেই হাল ছেড়ে দেয়। এতে তাদের "আমি পারি না" বিশ্বাস আরও দৃঢ় হয় এবং সেই অনুযায়ী তারা কাজ করতে থাকে।
শিক্ষার্থীদের আত্ম-দক্ষতা মূল্যায়ন
[সম্পাদনা]শিক্ষার্থীরা গণিতের কোন বিষয় শিখতে আত্মবিশ্বাসী কিনা তা মূল্যায়ন করা জরুরি, কারণ এটি তাদের পারফরম্যান্সকে প্রভাবিত করতে পারে। আত্ম-দক্ষতা মূল্যায়নের একটি উপায় হলো, প্রথম পুরুষে কিছু বিবৃতি তৈরি করা এবং শিক্ষার্থীদেরকে প্রত্যেকটি বিবৃতির জন্য ০ থেকে ১০০ স্কেলে রেট করতে বলা।[৪৩] প্রথমে শিক্ষককে নির্দিষ্ট একটি টপিক বেছে নিতে হবে, যেমন "পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ"। এরপর সেই বিষয়ে শিক্ষার্থীদের জন্য বিবৃতিগুলো তৈরি করতে হবে এবং শিক্ষার্থীরা সেগুলোর সত্যতা রেট করবে।
| রেট (০-১০০) | বিবৃতি |
|---|---|
| ৮০ | আমি জানি, প্যারালেলোগ্রামের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ধারণে কী তথ্য লাগবে। |
| ১০০ | আমি দৈর্ঘ্য ও প্রস্থ দেওয়া থাকলে একটি আয়তক্ষেত্রের পৃষ্ঠতলের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে পারি। |
| ৬০ | আমি ট্র্যাপেজিয়ামের ক্ষেত্রফলের সমীকরণ লিখতে পারি। |
| ৫০ | আমি আমার সহপাঠীকে বোঝাতে পারি কেন ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল bxh ÷2 অর্থাৎ, (ভূমি x উচ্চতা) / ২ |
| ৯০ | আমি ৪ সেন্টিমিটার দৈর্ঘ্যের একটি বর্গক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল নির্ধারণ করতে পারি। |
এই স্কোরগুলো যোগ করে শিক্ষকেরা শিক্ষার্থীর আত্ম-দক্ষতার একটি সামগ্রিক চিত্র পেতে পারেন। উপরিউক্ত উদাহরণে, মোট স্কোর হবে ৮০+১০০+৬০+৫০+৯০। শিক্ষক চাইলে এই আত্ম-দক্ষতার তুলনা শিক্ষার্থীর গণিত বিষয়ে সামগ্রিক আত্মবিশ্বাসের সঙ্গে করতে পারেন। আত্ম-দক্ষতা শিক্ষার্থীদের শেখার অনুপ্রেরণা ও আচরণকে প্রভাবিত করতে পারে, তাই শিক্ষকদের উচিত সেই অনুযায়ী পাঠ পরিকল্পনা তৈরি করা।
শিক্ষার্থীদের আত্ম-দক্ষতার বিকাশ
[সম্পাদনা]বান্দুরা আত্ম-দক্ষতা বিকাশে চারটি প্রধান উৎস চিহ্নিত করেছেন।[৪৪] প্রথমটি হলো শিক্ষার্থীদের সাফল্যের অভিজ্ঞতা।[৪৫] যেমন, যদি শিক্ষার্থী কোনো গণিত পরীক্ষায় ভালো ফল করে, তার সেই বিষয়ে আত্মবিশ্বাস বাড়ে। দ্বিতীয়টি হলো বিভিন্ন অভিজ্ঞতা।[৪৬] শিক্ষার্থীরা যখন তাদের সমমানের সহপাঠীদের কাজ করতে দেখে, তখন তারা নিজেরও পারবে বলে বিশ্বাস করতে শুরু করে। এমনকি গণিতবিদদের নিয়ে তৈরি ডকুমেন্টারি দেখা পর্যন্ত শিক্ষার্থীদের আত্ম-দক্ষতা বাড়াতে পারে।[৪৭]
তৃতীয় প্রভাবটি হলো সামাজিক প্রভাব।[৪৮] এটি শিক্ষার্থীদের ঘনিষ্ঠ মানুষদের (যেমন অভিভাবক, সহপাঠী বা শিক্ষক) কাছ থেকে আসা ইতিবাচক বক্তব্য হতে পারে। উদাহরণস্বরূপ, শিক্ষক যদি বলেন “তুমি বীজগণিতের সমস্যাগুলো এখন আগের থেকে ভালোভাবে সমাধান করতে পারছো,” তাহলে এটি শিক্ষার্থীদের আত্মবিশ্বাস বাড়িয়ে তোলে।
চতুর্থ প্রভাবটি হলো শিক্ষার্থীদের মানসিক অবস্থা।[৪৯] এটি শিক্ষার্থীদের কোনো পরিস্থিতির প্রতি আবেগগত প্রতিক্রিয়াকে বোঝায়। উদাহরণস্বরূপ, একজন শিক্ষার্থী মনে করতে পারে যে গণিত পরীক্ষায় ব্যর্থ হওয়ার কারণ তার অযোগ্যতা, অথচ প্রকৃতপক্ষে সেটা ছিল উদ্বেগের ফল। এই ক্ষেত্রে, শিক্ষার্থী তার ক্ষমতা ভুলভাবে মূল্যায়ন করে এবং গণিত বিষয়ে আত্মবিশ্বাস হারিয়ে ফেলে। আবার কোনো শিক্ষার্থী পরীক্ষায় ভালো করলেও সেটিকে নিজের দক্ষতা নয়, বরং ভাগ্যের কারণে হয়েছে বলে মনে করতে পারে। এর ফলে, সে আত্মবিশ্বাস গঠনের একটি সুযোগ হারিয়ে ফেলে। সুতরাং, ইতিবাচক বা নেতিবাচক যেকোনো অভিজ্ঞতার প্রতি শিক্ষার্থীর দৃষ্টিভঙ্গি তার আত্মদক্ষতা গঠনে প্রভাব ফেলে। এই ক্ষেত্রে আত্মদক্ষতা বাড়ানোর উপায় হলো শিক্ষার্থীদের তাদের প্রকৃত দক্ষতা চেনাতে সহায়তা করা এবং তাদের দক্ষতার প্রতি ইতিবাচক অনুভূতি তৈরি করা।
উশের একটি গবেষণা পরিচালনা করেছেন, যেখানে তিনি শিক্ষার্থী, অভিভাবক এবং শিক্ষকদের সাক্ষাৎকার নিয়ে মাধ্যমিক স্তরের শিক্ষার্থীদের গণিত বিষয়ক আত্মদক্ষতার চারটি উৎস যাচাই করেন।[৫০] এই গবেষণার ফলাফল বান্দুরার ধারণার সাথে সঙ্গতিপূর্ণ, যেখানে দক্ষতার অভিজ্ঞতা, পরোক্ষ অভিজ্ঞতা, সামাজিক প্রভাব ও মানসিক অবস্থা – সবই শিক্ষার্থীদের আত্মবিশ্বাস গঠনের সঙ্গে যুক্ত।
দক্ষতার অভিজ্ঞতা শিক্ষার্থীদের আত্মদক্ষতা বিকাশের সাথে দৃঢ়ভাবে সম্পর্কযুক্ত। উশের একটি কৌশল প্রস্তাব করেন যেটি গণিত শিক্ষকরা ব্যবহার করতে পারেন শিক্ষার্থীদের আত্মবিশ্বাস বাড়াতে—“শিক্ষাদান এমনভাবে করা যাতে শিক্ষার্থীদের দক্ষতার অভিজ্ঞতা অর্জনের সুযোগ সর্বাধিক হয়, তা যত ছোটই হোক না কেন।”[৫১] উদাহরণস্বরূপ, শিক্ষক অ্যালগরিদম বা বীজগণিত শেখানোর সময় সঠিকতা যাচাই করার কৌশল শেখাতে পারেন। যেমন প্রশ্ন: ১৮ ÷ ৬ =? শিক্ষক শিখাতে পারেন যে ভাগফলকে গুণ করে যদি ভাগফল × ভাজক = মূল সংখ্যা হয় (৩ × ৬ = ১৮), তবে উত্তর সঠিক। যারা এই কৌশল শিখেছে ও ব্যবহার করেছে, তারা গণিতে দক্ষতার অভিজ্ঞতা বাড়িয়েছে।[৫২] শিক্ষার্থীদের সক্ষমতার মধ্যে থেকে চ্যালেঞ্জিং কাজ দেওয়া তাদের দক্ষতা বাড়াতে সাহায্য করে।
উশেরের গবেষণায় আরও দেখা গেছে, এই চারটি উৎসের মধ্যে পারস্পরিক সম্পর্কও রয়েছে। পরোক্ষ অভিজ্ঞতার ক্ষেত্রে দেখা গেছে, শিক্ষার্থীদের আত্মবিশ্বাসে অভিভাবক ও শিক্ষকের গণিত অভিজ্ঞতার প্রভাব আছে। একটি গুরুত্বপূর্ণ উদাহরণ হলো, এক শিক্ষার্থী তার অভিভাবকদের গণিতে ব্যর্থতাকে এভাবে ব্যাখ্যা করেছে—“আমি আলাদা হতে পারি।”[৫৩] এটি বোঝায় যে কেবল সফলতাই নয়, ব্যর্থতাও শিক্ষার্থীদের আত্মবিশ্বাসে প্রভাব ফেলতে পারে। এছাড়া, শিক্ষার্থীর মানসিক অবস্থা অন্যদের অভিজ্ঞতা কীভাবে তারা ব্যাখ্যা করে, তাতেও প্রভাব ফেলে। সামাজিক প্রভাবের ক্ষেত্রে দেখা গেছে, অভিভাবক ও শিক্ষকের বার্তা শিক্ষার্থীদের সক্ষমতা বিশ্বাসে বড় প্রভাব ফেলতে পারে। যেমন, যদি বাবা-মা বলেন গণিত একটি জন্মগত ক্ষমতা—“তোমার আছে বা নেই”—তাহলে সন্তানরা নিজেকে অক্ষম মনে করে আত্মবিশ্বাস হারাতে পারে। এই ক্ষেত্রে সামাজিক প্রভাব মানসিক অবস্থাতেও প্রভাব ফেলে।
শিক্ষকের আত্মদক্ষতা
[সম্পাদনা]শিক্ষকের শিক্ষাদানের আত্মদক্ষতা বলতে বোঝায় যে, তারা বিশ্বাস করেন তারা শিক্ষার্থীদের মধ্যে উল্লেখযোগ্য পরিবর্তন আনতে পারেন,[৫৪] যেমন একাডেমিক পারফরম্যান্স, আত্মদক্ষতা, অনুপ্রেরণা, মনোভাব এবং আগ্রহ। উচ্চ আত্মদক্ষতা গঠনের জন্য শিক্ষকদের প্রয়োজন ইতিবাচক মনোভাব, বিষয়বস্তুর প্রতি গভীর জ্ঞান এবং শিক্ষণ কৌশলের জ্ঞান।
গণিত বিষয়ে শিক্ষকের মনোভাব শিক্ষার্থীদের মনোভাব ও পারফরম্যান্সে বড় প্রভাব ফেলে। একটি গবেষণায় চারটি গ্রুপ—প্রাথমিক শিক্ষক (কে-৪), মাধ্যমিক শিক্ষক, অন্যান্য প্রশাসনিক কর্মকর্তা, এবং বিশেষ শিক্ষা শিক্ষক—এর মধ্যে সাক্ষাৎকার ও একটি মনোভাব স্কেল পূরণের মাধ্যমে শিক্ষকদের মনোভাব বিশ্লেষণ করা হয়েছে।[৫৫] এতে দেখা যায়, মাধ্যমিক শিক্ষকরা সবচেয়ে ইতিবাচক মনোভাব পোষণ করেন (৬০% অত্যন্ত ইতিবাচক, ৩০% নিরপেক্ষ, ১০% অত্যন্ত নেতিবাচক), এবং প্রাথমিক শিক্ষকরা সবচেয়ে নেতিবাচক মনোভাব পোষণ করেন (৪৩% ইতিবাচক, ২৩% নিরপেক্ষ, ৩৪% নেতিবাচক)। ফলাফল নির্দেশ করে প্রাথমিক স্তরে গণিতকে তেমন গুরুত্ব দেওয়া হয় না।
নেতিবাচক মনোভাব থাকলে শিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের শেখাতে সক্ষম—এই বিশ্বাসটিও হারিয়ে ফেলেন, যার সঙ্গে আত্মদক্ষতা জড়িত। শিক্ষকের শিক্ষাদান কৌশল ও বিষয়বস্তুর জ্ঞানও তাদের আত্মদক্ষতার ওপর প্রভাব ফেলে। একটি সাম্প্রতিক গবেষণায় দেখা গেছে, গণিত বিষয়ক শিক্ষকের জ্ঞান ও আত্মদক্ষতার মধ্যে শক্তিশালী সম্পর্ক রয়েছে, যা দেখায়—যাদের বিষয়বস্তু ও কৌশলগত জ্ঞান বেশি, তারা শিক্ষাদানে বেশি আত্মবিশ্বাসী এবং শিক্ষার্থীদের শেখাতে পারার বিশ্বাস রাখেন।[৫৬]
শিক্ষকের আত্মদক্ষতা বিভিন্নভাবে শিক্ষার্থীদের শেখায় প্রভাব ফেলে। এর মধ্যে অন্যতম হলো শিক্ষার্থীর একাডেমিক সাফল্য। একটি গবেষণায় দেখা গেছে, কে-১২ স্তরের শিক্ষকদের আত্মদক্ষতা শিক্ষার্থীদের সাফল্যের সঙ্গে ইতিবাচকভাবে সম্পর্কযুক্ত।[৫৭] এছাড়া, এটি শিক্ষার্থীদের অনুপ্রেরণা, আগ্রহ এবং শেখার কৌশলেও প্রভাব ফেলে। আত্মদক্ষ শিক্ষকরা প্রশংসা ব্যবহার করেন, সমালোচনার বদলে, এবং অধিক গ্রহণযোগ্য ও লক্ষ্যভিত্তিক হন।[৫৮] অন্য একটি গবেষণায় দেখা গেছে, উচ্চ আত্মদক্ষতাসম্পন্ন শিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের শেখার কৌশল শেখান এবং বেশি একাডেমিক সময় দেন, যা পারফরম্যান্স বাড়ায়।[৫৯]
স্ব-নিয়ন্ত্রিত শেখা
[সম্পাদনা]অনেকে মনে করেন, শিক্ষার্থীদের গণিতে খারাপ ফলাফল তাদের অযোগ্যতা বা পড়াশোনার ঘাটতির কারণে হয়। কিন্তু সব ক্ষেত্রে তা সঠিক নয়। অনেক সময় খারাপ ফলাফল হয় কারণ শিক্ষার্থীরা উপযুক্ত কৌশল ব্যবহার করতে জানে না বা স্ব-নিয়ন্ত্রিত শেখার অভাব রয়েছে।
স্ব-নিয়ন্ত্রিত শেখা হলো, শিক্ষার্থীরা তাদের শেখার সমস্ত দিক নিজেরা নিয়ন্ত্রণ করতে পারে—পরিকল্পনা থেকে শুরু করে পরবর্তী মূল্যায়ন পর্যন্ত।[৬০] এই শেখার তিনটি মূল উপাদান আছে।
প্রথমটি হলো, মেটাকগনিটিভ সচেতনতা—মানে কীভাবে শিক্ষার্থীরা লক্ষ্য স্থির করে এবং তা অর্জনের পরিকল্পনা তৈরি করে।[৬১]
দ্বিতীয়টি হলো, কৌশল ব্যবহার—অর্থাৎ শিক্ষার্থীরা কী কী স্ব-নিয়ন্ত্রিত কৌশল প্রয়োগ করতে পারে। দক্ষ শিক্ষার্থীরা বেশি কার্যকর কৌশল ব্যবহার করে।[৬২]
তৃতীয়টি হলো, অনুপ্রেরণা নিয়ন্ত্রণ—যেখানে শিক্ষার্থীরা লক্ষ্য স্থির করে এবং তাদের দক্ষতা ও পারফরম্যান্সে ইতিবাচক বিশ্বাস রাখে।[৬৩]
স্ব-নিয়ন্ত্রিত শেখার দক্ষতা শিক্ষার্থীর গণিত সাফল্যে গুরুত্বপূর্ণ প্রভাব ফেলে। এই দক্ষতা বাড়লে, তারা ভালো কৌশল ব্যবহার করে এবং কীভাবে গণিত পড়তে হয় তা ভালোভাবে বোঝে, ফলে তাদের গণিতের ফলাফল উন্নত হয়।
গণিতে আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার প্রোগ্রাম নিয়ে একটি গবেষণা
[সম্পাদনা]দক্ষিণ-পূর্ব এশিয়ায় পরিচালিত একটি গবেষণায় একটি গণিতভিত্তিক আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার প্রোগ্রাম গঠিত হয় এবং ফলাফল থেকে দেখা গেছে, যখন শিক্ষার্থীদের আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার দক্ষতা শেখানো হয়, তখন তাদের গণিতে অর্জনক্ষমতা বৃদ্ধি পায়। এই গবেষণায় প্রাথমিক স্তরের গণিতে কম ফলাফলপ্রাপ্ত ৬০ জন শিক্ষার্থীকে অন্তর্ভুক্ত করা হয়। এর মধ্যে ৩০ জনকে পরীক্ষামূলক দলে রাখা হয়, যারা এই গণিতভিত্তিক আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার প্রোগ্রামে অংশ নেয়।
এই প্রোগ্রামটি ৩০টি সেশনে বিভক্ত, যার লক্ষ্য শিক্ষার্থীদের আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার দক্ষতা বাড়ানো, তাদের মোটিভেশন নিয়ন্ত্রণ ক্ষমতা উন্নত করা এবং আত্মনিয়ন্ত্রণ কৌশল শেখানো। (সেশন ১-৫) প্রোগ্রামটি শুরু হয় শিক্ষার্থীদের আত্মনিয়ন্ত্রণ বিশ্বাস ব্যবস্থা গঠনের মাধ্যমে। এতে শিক্ষার্থীদের ব্যক্তিগত দায়িত্ববোধ, আত্ম-দক্ষতা, শেখার লক্ষ্য এবং প্রচেষ্টার ভিত্তিতে কৃতিত্ব বোঝানোর মূল্য শেখানো হয় গল্প বলার মাধ্যমে এবং দলগত আলোচনায় অংশগ্রহণ করিয়ে।[৬৪] (সেশন ৬-১১) এরপর তাদের সামনে জিমারম্যানের প্রস্তাবিত ১৪টি আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার কৌশল উপস্থাপন করা হয়।[৬৫] প্রতিটি কৌশলের ব্যবহার এবং গণিতে এর গুরুত্ব ব্যাখ্যা করা হয় এবং শিক্ষার্থীদের নিজে নিজে কৌশলগুলো চর্চা করার সুযোগ দেওয়া হয়। (সেশন ১২-৩০) শেষে, শিক্ষার্থীদের নিয়মিত গণিত পাঠে আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার কৌশল প্রয়োগে দিকনির্দেশনা দেওয়া হয়। পাশাপাশি, শিক্ষার্থীদের নিজেদের অগ্রগতি মূল্যায়ন করতে হয় লক্ষ্য নির্ধারণ, আত্মমূল্যায়ন এবং আত্ম-প্রতিক্রিয়া ফর্ম পূরণের মাধ্যমে। প্রোগ্রামের ৩০টি সেশন শেষ করার পর শিক্ষার্থীদের একটি গণিত পরীক্ষার পাশাপাশি আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার দক্ষতা যাচাইয়ের পরীক্ষা নেওয়া হয়। ফলাফল থেকে দেখা যায়, যারা প্রোগ্রামে অংশ নেয় তারা উভয় পরীক্ষাতেই উল্লেখযোগ্যভাবে ভালো ফলাফল করে যাদের অংশগ্রহণ ছিল না তাদের তুলনায়।
গণিতে আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার কৌশল প্রয়োগ
[সম্পাদনা]| কৌশলসমূহ | গণিতে প্রয়োগ |
|---|---|
| আত্ম-মূল্যায়ন | সঠিক পদ্ধতিতে প্রশ্নের যথার্থ উত্তর মিলিয়ে দেখা। |
| সংগঠন ও রূপান্তর | প্রশ্নকে গুছিয়ে নেয়া, যেমন গ্রাফ, সমীকরণ, চিত্র ব্যবহার করা। |
| লক্ষ্য নির্ধারণ ও পরিকল্পনা | লক্ষ্য নির্ধারণ এবং তা অর্জনের পরিকল্পনা। |
| নোট নেয়া ও নজরদারি | ক্লাসে নোট নেয়া এবং সমীকরণ গুছিয়ে রাখা। |
| পরিবেশ গঠন | উপযুক্ত পরিবেশে অধ্যয়ন করা। |
| আত্ম-প্রতিক্রিয়া | নিজের সাফল্য বা ব্যর্থতার জন্য নিজেই পুরস্কার বা শাস্তি নির্ধারণ। |
| অনুশীলন ও মুখস্থকরণ | বিভিন্ন ধরনের গণিত সমস্যা সমাধানের মাধ্যমে শেখা। |
| তথ্য অনুসন্ধান | অ-সামাজিক উৎস থেকে তথ্য সংগ্রহ। |
| সামাজিক সহায়তা চাওয়া | বন্ধু, শিক্ষক বা অন্য প্রাপ্তবয়স্কদের সাহায্য চাওয়া। |
| পুনরায় পর্যালোচনা করা | পাঠ্যবই, নোট বা হোমওয়ার্ক পুনরায় পড়া। |
৩০টি সেশনে অংশ নেওয়ার পর শিক্ষার্থীদের গণিত অর্জন এবং আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার দক্ষতায় লক্ষণীয় উন্নতি দেখা গেছে।[৬৬] এটি প্রমাণ করে যে, কম অর্জনক্ষম শিক্ষার্থীদের আত্মনিয়ন্ত্রিত শিখন কৌশল শেখানো সম্ভব এবং কার্যকর। যখন তারা এই দক্ষতা অর্জন করে এবং প্রক্রিয়াভিত্তিক চিন্তায় মনোযোগ দেয়, তখন তাদের সমস্যা সমাধানের দক্ষতা বাড়ে। উন্নতির সাথে সাথে শিক্ষার্থীরা তাদের সামর্থ্য সম্পর্কে আত্মবিশ্বাসী হতে শুরু করে। নিজেদের প্রশংসা ও পুরস্কার প্রদান তাদের আরও উন্নতির দিকে ধাবিত করে। এর ফলে তাদের আত্ম-দক্ষতা এবং গণিতের প্রতি আগ্রহ বৃদ্ধি পায়। এটি একটি ইতিবাচক চক্র তৈরি করে: শিক্ষার্থীরা যখন বিশ্বাস করতে শুরু করে যে তারা গণিতে সফল হতে পারে, তখন তারা আরও কঠোর পরিশ্রম করে এবং আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার সঠিক কৌশল প্রয়োগে সক্ষম হয়।
ঐতিহ্যগত শ্রেণিকক্ষে গণিতকে সাধারণত একটি উত্তর-কেন্দ্রিক বিষয় হিসেবে দেখা হয়, প্রক্রিয়া-কেন্দ্রিক নয়। গতি ও নির্ভুলতার ওপর গুরুত্ব দিলে, শিক্ষার্থীরা কেবল তথ্য মুখস্থ করতে শেখে, কিন্তু গণিত বুঝে না। এছাড়া, ঐ পরিবেশে শেখার প্রবাহ শুধুমাত্র শিক্ষক থেকে শিক্ষার্থীর দিকে হয়। এর ফলে শিক্ষার্থীদের আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার কৌশল প্রয়োগ করা কঠিন হয়ে পড়ে, কারণ তারা যখন তাদের শেখার ওপর নিয়ন্ত্রণ পায় না, তখন তারা আত্ম-নিয়ন্ত্রণ শেখে না কিংবা স্বতঃস্ফূর্তভাবে তা প্রয়োগেও আগ্রহী হয় না।[৬৭] অতএব, আত্মনিয়ন্ত্রিত কৌশল প্রয়োগে শ্রেণিকক্ষের পরিবেশ অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ। শিক্ষার্থীদের কিছু নিয়ন্ত্রণ দিলে তারা শেখার সময় নিজেরাই সিদ্ধান্ত নিতে শেখে। গণিত শিক্ষকরা জ্ঞানের আদান-প্রদান এবং সিদ্ধান্ত গ্রহণে শিক্ষার্থীদের অংশগ্রহণ উৎসাহিত করা উচিত। শিক্ষার্থীরা যখন লক্ষ্য নির্ধারণ, পরিকল্পনা ও নিজেদের কাজ মূল্যায়নে অংশগ্রহণ করে, তখন তারা আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার কৌশল চর্চা করার সুযোগ পায় যা তাদের গণিত অর্জনে ইতিবাচক প্রভাব ফেলে।
উচ্চ শ্রেণির শিক্ষার্থীরা নিম্ন শ্রেণির শিক্ষার্থীদের তুলনায় আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার কৌশল ভালোভাবে প্রয়োগ করতে পারে।[৬৮] এর কারণ হলো, বড় শিক্ষার্থীরা আত্মনিয়ন্ত্রিত শেখার ধারণা ও কৌশলগুলো ভালোভাবে বুঝতে পারে। এছাড়া কিছু কৌশল যেমন পরিকল্পনা লেখা, শেখার উপাদান গুছিয়ে রাখা—এসবের জন্য পূর্বজ্ঞান দরকার হয়। ফলে বড়দের এসব কৌশল শেখা অপেক্ষাকৃত সহজ হয় এবং তারা গণিত অর্জনে তুলনামূলক বেশি উন্নতি করে।
শিক্ষণ বিষয়ক প্রভাব
[সম্পাদনা]গণিত শেখার অক্ষমতা
[সম্পাদনা]সাম্প্রতিক গবেষণাগুলো যেগুলো জ্ঞানচর্চা, কার্যস্মৃতি এবং গণিত শেখার অক্ষমতা নিয়ে হয়েছে, সেগুলো দেখায় যে গণিতে “গণনা” এবং “সমস্যা সমাধান” দুটি আলাদা শেখার অক্ষমতা আছে। এতদিন গণিত মূল্যায়ন সাধারণ ছিল এবং এই দুই ডোমেইনের পার্থক্য বিবেচনায় নেওয়া হতো না। শিক্ষার্থী মূল্যায়নের সময় পেশাদারদের উচিত এই দুটি দক্ষতা আলাদাভাবে বিবেচনা করা। শিক্ষকদেরও উচিত শিশুদের শেখানোর সময় এই আলাদা ডোমেইন দুটি চিন্তা করে পরিকল্পনা করা। গণিত শেখাতে কিছু পরামর্শ ও টুলস শিক্ষার্থীদের উপকারে আসতে পারে:
বাহ্যিক উপস্থাপন
[সম্পাদনা]গণিতে সমস্যা সমাধান অনেক সময় মানসিকভাবে কঠিন হতে পারে, তাই বাহ্যিক উপস্থাপন অনেক উপকারী হতে পারে। এটি শিক্ষার্থীদের জন্য গণিতের ধারণা স্পষ্ট করে তুলে ধরে, যাতে তারা সহজেই জ্ঞান অর্জন করতে পারে। বাহ্যিক উপস্থাপনের কিছু উদাহরণ হলো—সমাধানসহ উদাহরণ, অ্যানিমেশন ও চিত্র।
সমাধানসহ উদাহরণ
[সম্পাদনা]ওয়ার্ক-আউট উদাহরণগুলো একটি দরকারী শিক্ষামূলক পদ্ধতি যা শিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের গণিত শেখার সুবিধার্থে ব্যবহার করেন। গবেষণা দেখায় যে ওয়ার্ক-আউট উদাহরণগুলো ব্যবহার করে এমন শিক্ষার্থীদের বাড়িয়ে তুলতে পারে, যাদের গণিতের কর্মক্ষমতা স্তর কম। একটি কারণ হলো যখন শিক্ষার্থীদের সমাধান করার জন্য কোনও সমস্যা দেওয়া হয়, তখন তাদের সর্বোত্তম লক্ষ্য গণিত শেখার পরিবর্তে সমস্যাটি সমাধান করা। বিপরীতে, যখন শিক্ষার্থীদের কাজের উদাহরণ দেওয়া হয়, তখন তারা আসলে শিখে এবং তাদের নিজেরাই উপকরণগুলো ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করে।[৬৯] সুতরাং, কাজ করা উদাহরণগুলো শিক্ষার্থীদের জন্য ইচ্ছাকৃত শিক্ষার উপর আরও বেশি ফোকাস করে। শিক্ষার্থীরা সাধারণত গাণিতিক তত্ত্ব বা প্রমাণ বুঝতে পারে না কারণ তারা বুঝতে জটিল। যাইহোক, পরিশ্রমী উদাহরণগুলো শিক্ষার্থীদের শেখার অর্জন এবং গণিতের ধারণাটি বোঝার জন্য সহজ। সুস্পষ্ট নির্দেশনা না দিয়ে, শিক্ষকরা কেবল শিক্ষার্থীদের উল্লেখ করার জন্য উদাহরণ হিসাবে গাণিতিক সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করবেন তার পদক্ষেপগুলো দেখায়। গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় পদক্ষেপগুলোর বিস্তারিত ব্যাখ্যা রয়েছে। তারপরে, শিক্ষার্থীদের নিজেরাই একই ধরণের গাণিতিক সমস্যাটি স্ব-ব্যাখ্যা করার স্বায়ত্তশাসন রয়েছে। সুতরাং, তারা অনেক গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য রেফারেন্স হিসাবে কাজ করা উদাহরণগুলো ব্যবহার করতে পারে।[৭০] শিক্ষকরা যে পরিশ্রমী উদাহরণ দিয়েছেন তা উল্লেখ করে তারা কীভাবে সমস্যার সমাধান করা যায় সে সম্পর্কে তাদের চিন্তাভাবনাকে স্পষ্টভাবে প্রতিফলিত করতে পারে। অতএব, এটি শিক্ষার্থীদের স্ব-নিয়ন্ত্রিত শিক্ষার ক্ষেত্রেও বাড়িয়ে তুলতে পারে কারণ তারা সমস্যা সমাধানে তাদের সমালোচনামূলক চিন্তাভাবনা অনুশীলন করছে। এই মেটাকগনিটিভ কৌশলটি শিক্ষার্থীদের বিশেষত গাণিতিক শব্দ সমস্যাগুলোতে তাদের সমস্যা সমাধানের দক্ষতা উন্নত করতে সহায়তা করতে পারে। মেটাকগনিটিভ কৌশলগুলোর মধ্যে স্ব-জিজ্ঞাসা, স্ব-মূল্যায়ন, সংক্ষিপ্তকরণ এবং সমস্যাটি চিত্রিত করা অন্তর্ভুক্ত।[৭১] এই কৌশলগুলো শিক্ষার্থীদের জন্য জ্ঞান অর্জন করার সময় কাজ করা উদাহরণগুলো থেকে আরও গভীর বোঝার জন্য তৈরি করে বলে বিশ্বাস করা হয়। গবেষণায় দেখা গেছে যে শিক্ষার্থীরা সমস্যাটি স্ব-ব্যাখ্যা করতে এবং তাদের সমাধান করতে পারে তাদের উচ্চতর গণিতের কৃতিত্ব রয়েছে। যখন শিক্ষার্থীরা নিজেরাই গাণিতিক সমস্যাটি কীভাবে সমাধান করা যায় তার পদক্ষেপগুলো ব্যাখ্যা করে, তখন তারা তাদের প্রতিফলিত চিন্তাভাবনা অনুশীলন করে যা তথ্য দেওয়া হয়েছিল তার বাইরেও বৃহত্তর বোঝার তৈরি করতে পারে। প্রকৃতপক্ষে, শিক্ষার্থীরা গণিতের নতুন এবং পরিশীলিত জ্ঞান বিকাশ করতে পারে কারণ তারা তাদের পূর্ব জ্ঞানের সাথে নতুন শেখা উপকরণগুলোকে একত্রিত করে।[৭২] উপরন্তু, ওয়ার্ক-আউট উদাহরণগুলো গ্রুপ সেটিংসেও ব্যবহার করা যেতে পারে যেখানে শিক্ষার্থীরা গাণিতিক সমস্যা সমাধানে তাদের সহপাঠীদের সাথে আলোচনা করতে পারে। গবেষণায় দুটি উপায় পাওয়া গেছে যাতে শিক্ষার্থীরা শ্রেণিকক্ষে ওয়ার্ক-আউট উদাহরণ ব্যবহার করতে পারে।[৭৩] একটা উপায় হলো, যারা কাজের উদাহরণ বোঝে তারা যারা বোঝে না তাদের বোঝাতে পারবে। অন্য উপায়টি হলো শিক্ষার্থীরা তাদের যুক্তি এবং যুক্তি দক্ষতা ব্যবহার করে সম্পূর্ণরূপে কার্যকরী উদাহরণগুলো ব্যাখ্যা করে। উভয় উপায়ে শিক্ষার্থীদের কাজের উদাহরণগুলোর বিশদ আলোচনা করে একটি সামাজিক ইন্টারেক্টিভ সেটিংয়ে শেখার সাথে জড়িত। একটি সামাজিক সেটিংয়ে শেখা উপকরণগুলোর বোঝাপড়াকে শক্তিশালী করতে পারে কারণ শিক্ষার্থীরা উদাহরণগুলো আরও গভীরভাবে প্রসারিত করছে। একটি স্পষ্ট বোঝার জন্য তারা কাজ করা উদাহরণগুলোর সাথে তাদের যে কোনও প্রশ্ন জিজ্ঞাসা করতে পারে।[৭৪] তাই, শিক্ষার্থীদের উচিত ছোট দলে ভাগ হয়ে উদাহরণগুলো নিয়ে আলোচনা করা এবং সমস্যা সমাধানের প্রক্রিয়া প্রতিফলিত করে নতুন জ্ঞান অর্জন করা।
অ্যানিমেশন
[সম্পাদনা]গণিত শিক্ষায় শিক্ষার্থীদের আগ্রহ বাড়াতে অ্যানিমেশন একটি দারুণ কার্যকর শিক্ষণ উপকরণ হিসেবে বিবেচিত। যেহেতু গণিত অনেক সময় বিরক্তিকর এবং অনাকর্ষণীয় মনে হতে পারে, তাই অ্যানিমেশন শিক্ষার্থীদের মধ্যে গণিত শেখার আগ্রহ সৃষ্টি করতে পারে। সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ বিষয় হলো, অ্যানিমেশন শিক্ষার্থীদের সমস্যা সমাধানের দক্ষতা বাড়াতে সহায়ক বলে দাবি করা হয়।[৭৫]
যেকোনো গণিত সমস্যার সমাধান করার আগে শিক্ষার্থীদের জন্য সমস্যাটি চিহ্নিত করা এবং কী সমাধান করতে হবে তা জানা গুরুত্বপূর্ণ। এই পর্যায়ে, যদি শিক্ষার্থীদের পক্ষে সমস্যাটি অনুবাদ বা বোঝা কঠিন হয়ে পড়ে, তখন অ্যানিমেশন সবচেয়ে কার্যকর হয়ে ওঠে কারণ এতে চিত্রভিত্তিক উপস্থাপনা থাকে যা শিক্ষার্থীদের জন্য প্রশ্নটি ব্যাখ্যা করা সহজ করে তোলে। বিপরীতে, যখন শিক্ষার্থীরা শুধুই সমস্যার নোট নেয়, তখন তারা কেবল পাঠ্য অনুলিপি করে, যার ফলে সমস্যার প্রকৃত অর্থ বোঝা সম্ভব হয় না। তবে যদি সমস্যার ব্যাখ্যার পাশাপাশি একটি চিত্র উপস্থাপন করা হয়, তাহলে শিক্ষার্থীরা সম্পূর্ণরূপে বুঝতে পারে সমস্যার পটভূমি।
উদাহরণস্বরূপ, প্রাথমিক বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের জন্য যোগ ও বিয়োগের ধারণা পাঠ্যপাঠের মাধ্যমে বোঝানো কঠিন হতে পারে। কিন্তু, যখন একটি সমস্যার আগের ও পরের অবস্থা অ্যানিমেশনের মাধ্যমে দেখানো হয়, তখন এটি একটি পরিষ্কার ধারণা তৈরি করতে পারে। যোগ ও বিয়োগ ভিত্তিক সমস্যার ক্ষেত্রে, অ্যানিমেশন বস্তুর সংখ্যা বৃদ্ধি বা হ্রাস প্রদর্শনের মাধ্যমে সমাধান ব্যাখ্যা করতে পারে। এছাড়াও, অ্যানিমেশন বিমূর্ত গণিত তত্ত্বকে দৃশ্যমান বস্তু, নির্দিষ্ট ফলাফল এবং বাস্তব উদাহরণের মাধ্যমে উপস্থাপন করতে পারে। ফলে, অ্যানিমেশন ব্যবহার করে গণিতের বিমূর্ত ধারণাগুলোকে নির্দিষ্ট উদাহরণের সঙ্গে যুক্ত করে শেখানো যায়।[৭৬]
অ্যানিমেশন দৃশ্যমান উপস্থাপনার মাধ্যমে বিমূর্ত নীতিগুলোর অধিগ্রহণ এবং উদাহরণ বিশ্লেষণের ক্ষমতা বৃদ্ধি করতে পারে। যদিও উদাহরণ বিশ্লেষণ একটি কার্যকর শিক্ষণ কৌশল হিসেবে পরিচিত, তবুও অ্যানিমেশন এই উদাহরণগুলোকে আরও উন্নত করতে পারে।[৭৭] উদাহরণ বিশ্লেষণ সব সময় চিত্র সহ হয় না, বরং কেবল পাঠ্য থাকতে পারে। তাই, যদি প্রতিটি ধাপের জন্য চিত্র উপস্থাপন থাকে, তাহলে শিক্ষার্থীরা সমস্যা ও সমাধানের বিষয়টি কল্পনা করতে পারে। শিক্ষার্থীরা ব্যাখ্যা ও চিত্রের মাধ্যমে উদাহরণগুলো আরও ভালোভাবে ব্যাখ্যা করতে পারে। ফলস্বরূপ, শিক্ষকদের উচিত অ্যানিমেশনকে একটি শিক্ষণ কৌশল হিসেবে ব্যবহার করে শিক্ষার্থীদের গণিত শিক্ষাকে আরও সুদৃঢ় করা।
রেখাচিত্র
[সম্পাদনা]তথ্যভিত্তিক রেখাচিত্র তৈরি করা একটি কঠিন কাজ, কারণ শিক্ষার্থীদের শুধু মৌখিক তথ্যকে চিত্রে রূপান্তর করলেই হয় না, বরং সংশ্লিষ্ট তথ্যগুলো চিহ্নিত ও একত্রিত করে পূর্বজ্ঞান ব্যবহার করতে হয়।[৭৮]
লারকিন এবং সাইমন বিশ্বাস করতেন যে, অনুচ্ছেদ ভিত্তিক উপস্থাপনার তুলনায় চিত্রভিত্তিক উপস্থাপন আরও সহজ ও কার্যকর, বিশেষত অনুসন্ধান, মেলানো এবং উপসংহারের ক্ষেত্রে। প্রথমত, এটি শব্দ সমস্যার উপাদানগুলোর মধ্যে টপোগ্রাফিক এবং জ্যামিতিক সম্পর্ক স্পষ্টভাবে ধরে রাখে, ফলে শিক্ষার্থীরা নির্দিষ্ট তথ্য খুঁজে পেতে সহজতর হয়। দ্বিতীয়ত, সংশ্লিষ্ট উপাদানগুলো একত্রে গোষ্ঠীবদ্ধ থাকায় এটি বিমূর্ত উপস্থাপনা ও চিত্রচিহ্নের মধ্যে সম্পর্ক পরিষ্কার করে তোলে। তৃতীয়ত, যদি সমস্যাটি চিত্র এঁকে তৈরি করা হয়, তবে মেমরি লোড কমে যায় কারণ শিক্ষার্থীরা সংশ্লিষ্ট তথ্যগুলোর মধ্যে গুরুত্বপূর্ণ সম্পর্ক স্পষ্টভাবে দেখতে পারে।[৭৯]
অনেক গবেষণায় প্রমাণিত হয়েছে যে, রেখাচিত্রের ব্যবহার সমস্যার সমাধান দক্ষতা বাড়াতে পারে।
বানার্জি উচ্চ বিদ্যালয়ের শিক্ষার্থীদের গণিত শব্দ সমস্যার সমাধানে রেখাচিত্র ব্যবহার করার প্রভাব নিয়ে একটি গবেষণা করেন। গবেষণায় প্রমাণিত হয়েছে যে, রেখাচিত্র তৈরির পদ্ধতি (যেমন রেখাচিত্র আঁকা ও লেবেলিং) গণিত সমস্যা সমাধানে শিক্ষার্থীদের অর্জন উল্লেখযোগ্যভাবে বৃদ্ধি করে।[৮০]
এক গবেষণায়, উসাকা, মানালো এবং ইচিকাওয়া জাপান ও নিউজিল্যান্ডের শিক্ষার্থীদের তুলনা করেন।[৮১] জাপানি শিক্ষার্থী একটি একক বস্তু ভিত্তিক রেখাচিত্র ব্যবহার করেছিল, এবং নিউজিল্যান্ডের শিক্ষার্থী দুটি মাত্রার বস্তু ব্যবহার করেছিল। গবেষণায় দেখা যায় যে, নিউজিল্যান্ডের শিক্ষার্থীদের সঠিক উত্তরের হার জাপানি শিক্ষার্থীদের তুলনায় উল্লেখযোগ্যভাবে বেশি। এর কারণ হলো, রেখাচিত্র উপস্থাপনা সমস্যার বাক্যগুলোকে অবস্থানের ভিত্তিতে চিহ্নিত করে, যার ফলে শিক্ষার্থীরা নির্দিষ্ট স্থানে বিস্তারিতভাবে তথ্য পর্যবেক্ষণ করতে পারে এবং সমস্যা বুঝতে সুবিধা হয়।[৮২]
শিক্ষার্থীদের রেখাচিত্র ব্যবহার করে সমস্যা সমাধানে উদ্বুদ্ধ করতে হলে, শিক্ষককে প্রথমে তাদের শেখাতে হবে— ১) রেখাচিত্র কী, ২) সমস্যার সমাধানে রেখাচিত্র ব্যবহারের গুরুত্ব, ৩) কখন রেখাচিত্র ব্যবহার করতে হবে, ৪) কোন ধরণের রেখাচিত্র কোন সমস্যায় প্রযোজ্য, ৫) কীভাবে রেখাচিত্র তৈরি করতে হয়, এবং ৬) কীভাবে রেখাচিত্র কার্যকরভাবে ব্যবহার করতে হয়। শিক্ষার্থীদের রেখাচিত্রের মৌলিক ধারণাগুলো জানা জরুরি কারণ সব গণিত সমস্যায় রেখাচিত্র প্রযোজ্য নয়। উসাকা ও মানালো দেখিয়েছেন যে শিক্ষার্থীরা সাধারণত দৈর্ঘ্য ও দূরত্ব সম্পর্কিত শব্দ সমস্যায় রেখাচিত্র ব্যবহার করে, কারণ এসব সমস্যা সাধারণত নির্দিষ্ট পরিমাণ এবং বাস্তব সম্পর্ক নিয়ে কাজ করে।[৮৩]
এই ধারণাগুলো শেখানোর পর, শিক্ষকরা তিন ধাপের একটি পদ্ধতি— "জিজ্ঞাসা করো, করো, যাচাই করো"— ব্যবহার করে শিক্ষার্থীদের প্রশিক্ষণ দিতে পারেন।[৮৪] ভ্যান গার্ডেরেন এবং শুয়ারম্যান পরামর্শ দিয়েছেন যে শিক্ষার্থীরা প্রথমে কোন সমস্যাটি সমাধান করতে হবে তা শনাক্ত করবে; এরপর একটি রেখাচিত্র আঁকবে; শেষে রেখাচিত্র ব্যবহার করে সমস্যাটি সমাধান করবে। উদাহরণস্বরূপ, সমস্যার প্রাসঙ্গিক তথ্য খুঁজে পেতে শিক্ষার্থীরা কী-শব্দ পদ্ধতি ব্যবহার করতে পারে এবং সমস্যায় দেওয়া তথ্য সঠিকভাবে স্থাপন করতে পারে।[৮৫]
সারসংক্ষেপে, রেখাচিত্র গণিত সমস্যার সমাধানে একটি কার্যকর কৌশল হতে পারে; এটি শিক্ষার্থীদের সমালোচনামূলক চিন্তায় সহায়তা করে এবং বিকল্প উপায়ে সমস্যার সমাধান করতে সাহায্য করে।
অ্যালগরিদম
[সম্পাদনা]অ্যালগরিদম হলো একাধিক ধাপের একটি ধারাবাহিক প্রক্রিয়া যা শিক্ষার্থীদের গণিত সমস্যা সমাধানে সাহায্য করে। যদি তারা প্রতিটি ধাপ অনুসরণ করে, তাহলে তারা প্রতি বারই একটি সঠিক উত্তর বের করতে সক্ষম হয়। অ্যালগরিদম সাধারণত পুনরাবৃত্ত ক্রমের উপর ভিত্তি করে এবং এটি যোগ, বিয়োগ, গুণ ও ভাগে প্রযোজ্য। অ্যালগরিদম ব্যবহার করে শিক্ষার্থীরা প্রতিটি ধাপে কী ঘটছে তা ব্যাখ্যা করতে শেখে এবং ভুল হলে তা শনাক্ত করতে পারে। এটি তাদের সমস্যা সমাধানের সময় প্রতিটি ধাপে মনোযোগ দেওয়ার অভ্যাস গড়ে তোলে। একাধিক ধাপ বিশিষ্ট সমস্যার সমাধানে, শিক্ষার্থীদের দীর্ঘমেয়াদি স্মৃতি থেকে অ্যালগরিদম স্মরণ করে মানসিকভাবে ধাপগুলো অনুসরণ করতে হয়।
শিক্ষকদের উচিত শিক্ষার্থীদের শেখানো যে অ্যালগরিদম সবসময় ধারাবাহিকভাবে সমাধান করতে হবে; কোনও ধাপ বাদ দেওয়া যাবে না। উদাহরণস্বরূপ, যখন শিক্ষার্থীরা ৫+৮×৬ সমস্যার সমাধান করে, তখন তাদের বুঝতে হবে যে প্রথমে গুণ করতে হবে, এরপর যোগ করতে হবে। যদি তারা সঠিক ক্রম অনুসরণ করে, তাহলে তারা সবসময় সঠিক উত্তর পাবে।
তবে, পল কব একটি গবেষণায় গ্রেড ১ ও ২-এর শিক্ষার্থীদের ডাবল ডিজিট যোগের সমস্যা সমাধান নিয়ে গবেষণা করেন। তিনি দেখেছেন, ১৬+৯ সমাধানে বিভিন্ন পদ্ধতি ব্যবহার করে শিক্ষার্থীরা সঠিক উত্তর দিতে পেরেছে। কিন্তু যখন তাদের ঐ একই সমস্যা প্রচলিত স্কুল অ্যালগরিদম (সংখ্যা হাতে থাকা সহ) ব্যবহার করে উল্লম্বভাবে সমাধান করতে বলা হয়, তখন অনেকেই ভুল উত্তর দেয়। তিনি উপসংহার টানেন যে, প্রচলিত অ্যালগরিদমে শিক্ষার্থীরা কেবল নিয়ম অনুসরণ করতে চেষ্টা করে, কিন্তু কিভাবে অ্যালগরিদমটি কাজ করে তা প্রকৃতপক্ষে বুঝে না বলেই তাদের ভুল হওয়ার সম্ভাবনা বেশি থাকে।[৮৬]
জে. এস. ব্রাউন এবং বার্টন দেখেছেন যে উল্লেখযোগ্য সংখ্যক শিক্ষার্থী ধারাবাহিকভাবে তাদের গাণিতিক সমস্যা সমাধানের জন্য এক বা একাধিক ভুল অ্যালগরিদম ব্যবহার করছে। যদিও অনেক ভুল অ্যালগরিদম সঠিক উত্তর দিতে পারে, তবুও তা সব ক্ষেত্রে প্রযোজ্য নয়।[৮৭] উদাহরণস্বরূপ, কিছু শিশুর মনে একটি পূর্বধারণা ছিল যে বিয়োগ অ্যালগরিদম মানে হলো প্রতিটি কলামে উপরের সংখ্যাটির সঙ্গে নিচের সংখ্যাটি তুলনা করে ছোটটি বড় থেকে বিয়োগ করা, উপরের সংখ্যাটি বড় কি না, তা না জেনেই। বাম পাশের চিত্রটি ব্যাখ্যা করে কেন একটি ভুল অ্যালগরিদম সবসময় সঠিক সমাধান দিতে পারে না।
ব্রাউন এবং বার্টন উল্লেখ করেছেন, এমনকি যেসব শিশু বিয়োগের অ্যালগরিদম সম্পর্কে ভুল ধারণা পোষণ করে, তারা হয়তো মনে করে যে তারা বিয়োগ প্রক্রিয়াটি বুঝে ফেলেছে। এই ভুল ধারণা তাদের (a) ও (c) অংশে সঠিক উত্তর দিতে সাহায্য করতে পারে। কিন্তু (b) ও (d) অংশে ভুল উত্তর দিবে, কারণ সেসব ক্ষেত্রে দ্বিতীয় কলামে উপরের সংখ্যা নিচের চেয়ে ছোট।
নাগেল এবং সুইঙ্গেন মনে করেন, ধারক বা ঋণ নেওয়ার মাধ্যমে প্রচলিত অ্যালগরিদমগুলো কার্যকারিতা এবং নির্ভুলতা বাড়াতে পারে, কিন্তু শিক্ষার্থীদের বোঝার সক্ষমতা বাড়াতে ব্যর্থ হয়।[৮৮]
সুতরাং, ধারাবাহিক অ্যালগরিদম ব্যবহারে শিক্ষার্থীরা যাতে সফল হয়, এর জন্য শিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের জায়গা ভিত্তিক চিন্তাশক্তি ব্যবহার করে ধাপে ধাপে সমাধান শেখানো উচিত। যেমন, সঠিকভাবে সংখ্যাগুলো সাজানো এবং ফাঁকা জায়গা রেখে লেখা শেখাতে হবে—বিশেষ করে কলামভিত্তিক বিয়োগ, একাধিক অঙ্কের গুণ ইত্যাদিতে। শিক্ষার্থীদের উৎসাহিত করতে হবে যেন তারা নিজের অ্যালগরিদম তৈরি করে সমস্যার সমাধান করে। শিক্ষকরা তাদের মনের মধ্যে নিমোনিকস ব্যবহার করতে উদ্বুদ্ধ করতে পারেন; এই পদ্ধতি সমস্যার ধাপগুলো মনে রাখতে সাহায্য করে।[৮৯] যেমন, PEDMAS শিক্ষার্থীদের বলে দেয় কোন ক্রমে গাণিতিক কাজ করতে হবে। শুধু বাম থেকে ডানে গাণিতিক অপারেশন করলেই চলবে না, আগে বন্ধনীর কাজ শেষ করতে হবে।[৯০] পাশাপাশি শিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের উৎসাহিত করবেন যেন তারা প্রথমে পুরো সমস্যাটি পড়ে বোঝে, এরপর সেটিকে ছোট ছোট অংশে ভাগ করে কোন অংশে কোন অ্যালগরিদম লাগবে তা নির্ধারণ করে। প্রতিটি ধাপে তাদের উত্তর পুনর্বিবেচনা করতে শেখানো উচিত। ধাপগুলো লিখে রাখলে শিক্ষার্থীরা ভুল ধরতে পারে এবং শেষ পর্যন্ত সঠিক সমাধানে পৌঁছাতে পারে।
শব্দভিত্তিক সমস্যার কৌশল
[সম্পাদনা]শব্দভিত্তিক সমস্যা সব শিশুদের জন্যই একটি বিশেষ ধরণের চ্যালেঞ্জ, তবে যাদের সমস্যা সমাধানের ক্ষেত্রে শেখার অসুবিধা রয়েছে, তাদের জন্য এটি আরও কঠিন। গাণিতিক সমস্যা ও শব্দভিত্তিক সমস্যার মধ্যে প্রধান পার্থক্য হলো ভাষাগত তথ্যের সংযুক্তি। অর্থাৎ, শিশুদের প্রথমে সমস্যাটির লেখা পড়ে প্রাসঙ্গিক তথ্য বাছাই করে সেটিকে সংখ্যাগত সমস্যায় রূপান্তর করতে হয়। এরপর তাদের নির্ধারণ করতে হয় কোন তথ্যটি প্রয়োজনীয় এবং কোনটি অনুপস্থিত।
শব্দভিত্তিক সমস্যা অনেক শিক্ষার্থীর জন্য বোঝা কঠিন, তবে সমস্যাটি আরও জটিল হয় যখন শিক্ষার্থীর প্রথম ভাষা ইংরেজি না হয়। জ্যান ও রদ্রিগেস (২০১২)[৯১] এর মতে, যাদের ইংরেজি দ্বিতীয় ভাষা, তারা ভাষাগত প্রতিবন্ধকতার কারণে সমস্যার বক্তব্য বুঝতে পারে না। তারা প্রায়শই মূল শব্দের উপর নির্ভর করে অথবা বক্তব্য ভুল ব্যাখ্যা করে, ফলে ভুল সমাধান আসে। মূল শব্দের উপর নির্ভরশীলতা শিক্ষার্থীদের সমস্যা বোঝা থেকে বিচ্যুত করে। "মূল শব্দের ব্যবহার দৈনন্দিন ভাষা ও গাণিতিক ভাষার মধ্যে বিভ্রান্তি তৈরি করতে পারে।"[৯২]
এই গবেষণার ফলাফল থেকে জানা যায় যে শ্রেণিকক্ষে আলোচনা বা ছোট ছোট দলের আলোচনা শিক্ষার্থীদের সমস্যাটি কী এবং কী জানতে চাওয়া হচ্ছে তা পরিষ্কারভাবে বুঝতে সাহায্য করে। শিক্ষার্থীদের পড়া, বোঝা, মতামত বিনিময় এবং বিভিন্ন দৃষ্টিকোণ থেকে সমস্যা ও সমাধান নিয়ে চিন্তা করার সুযোগ দিলে তারা সমস্যাটি আরও ভালোভাবে বুঝতে পারে।
শব্দভিত্তিক সমস্যা শেখানোর ক্ষেত্রে শিক্ষকরা শিক্ষার্থীদের যথেষ্ট সুযোগ দেবেন যেন তারা সমস্যার অর্থ নিয়ে চিন্তা ও আলোচনা করতে পারে এবং সহপাঠীদের সঙ্গে মিলে একাধিক সমাধান ভাবতে পারে। এই পদ্ধতি ভাষাগত সমস্যাযুক্ত শিক্ষার্থী এবং গাণিতিক শেখার সমস্যাযুক্ত শিক্ষার্থীদের জন্য কার্যকর।
শিক্ষণ প্রতিবন্ধিকতা পরিষদ [৯৩] সমস্যা সমাধানে শিক্ষার্থীদের শেখানোর জন্য কিছু কৌশল প্রস্তাব করে:
ফাস্ট ড্র (মার্সার এবং মিলার, ১৯৯২): আপনি কী সমাধান করছেন তা খুঁজে বের করুন।
নিজেকে জিজ্ঞাসা করুন, "সমস্যাটির অংশগুলি কী?"
সংখ্যা বসান।
চিহ্ন বসান।
চিহ্ন আবিষ্কার করুন।
সমস্যাটি পড়ুন।
উত্তর দিন, অথবা আঁকুন এবং পরীক্ষা করুন।
উত্তর লিখুন।
''প্রশ্ন এবং ক্রিয়া'' (রিভেরা, ১৯৯৪)
পদক্ষেপ
ক. সমস্যাটি পড়ুন।
প্রশ্ন
এমন কোন শব্দ আছে যা আমি জানি না?
আমি কি প্রতিটি শব্দের অর্থ জানি?
আমার কি সমস্যাটি পুনরায় পড়ার প্রয়োজন?
সংখ্যার শব্দ আছে?
ক্রিয়া
শব্দগুলি নিম্নরেখাঙ্কিত করুন।
সংজ্ঞাগুলি খুঁজে বের করুন।
পুনরায় পড়ুন।
নিম্নরেখাঙ্কিত করুন।
খ. সমস্যাটি পুনরায় বর্ণনা করুন।
কোন তথ্য গুরুত্বপূর্ণ?
কোন তথ্যের প্রয়োজন নেই?
প্রশ্নটি কী জিজ্ঞাসা করা হচ্ছে?
নিম্নরেখাঙ্কিত করুন।
কেটে দিন।
নিজের শব্দে লিখুন।
গ. একটি পরিকল্পনা তৈরি করুন।
তথ্যগুলো কী কী?
সেগুলো কীভাবে সংগঠিত করা যেতে পারে?
কত ধাপ আছে?
আমি কোন কোন ক্রিয়াকলাপ ব্যবহার করব?
একটি তালিকা তৈরি করুন।
চার্ট তৈরি করুন।
কৌশল ব্যবহার করুন।
ছোট সংখ্যা ব্যবহার করুন।
একটি ক্রিয়াকলাপ নির্বাচন করুন।
ঘ. সমস্যাটি গণনা করুন।
আমি কি সঠিক উত্তর পেয়েছি?
অনুমান করুন।
অংশীদারের সাথে পরীক্ষা করুন।
ক্যালকুলেটর দিয়ে যাচাই করুন।
ঙ. ফলাফল পরীক্ষা করুন।
আমি কি প্রশ্নের উত্তর দিয়েছি?
আমার উত্তর কি যুক্তিসঙ্গত বলে মনে হচ্ছে?
আমি কি প্রশ্ন/উত্তর পুনঃবক্তৃতা করতে পারি?
প্রশ্ন/উত্তর পরীক্ষা করুন।
একটি সংখ্যা বাক্য লিখুন।
৩. টিআইএনএস কৌশল (ওওয়েন, ২০০৩)
শব্দ সমস্যা বিশ্লেষণ এবং সমাধানের জন্য ব্যবহৃত বিভিন্ন পদক্ষেপ এই সংক্ষিপ্ত রূপ দিয়ে উপস্থাপন করা হয়েছে।
চিন্তা: এই সমস্যা সমাধানের জন্য আপনার কী করতে হবে তা নিয়ে ভাবুন এবং মূল শব্দগুলোর চারপাশে বৃত্ত আঁকুন।
তথ্য: এই সমস্যা সমাধানের জন্য প্রয়োজনীয় তথ্য বৃত্তাকার করুন এবং লিখুন; একটি ছবি আঁকুন; অপ্রয়োজনীয় তথ্য বাদ দিন।
সংখ্যা বাক্য: সমস্যাটি উপস্থাপনের জন্য একটি সংখ্যা বাক্য লিখুন।
সমাধান বাক্য: আপনার উত্তর ব্যাখ্যা করে এমন একটি সমাধান বাক্য লিখুন।
উদাহরণ: কাইল ৬টি বেসবল কার্ড কিনেছে। পরের দিন, সে তার সংগ্রহে আরও ১১টি কার্ড যোগ করেছে। তার কাছে মোট কতটি কার্ড আছে?
চিন্তা: +
তথ্য: ৬টি বেসবল কার্ড, ১১টি বেসবল কার্ড
সংখ্যা বাক্য: ৬ + ১১ =
সমাধান বাক্য: কাইলের সংগ্রহে ১৭টি বেসবল কার্ড রয়েছে।
৪. সমস্যা সমাধান (বীরশ, লিয়ন, ডেনকলা, অ্যাডামস, মোটস এবং স্টিভস, ১৯৯৭) প্রথমে সমস্যাটি পড়ো। প্রশ্নটি হাইলাইট করো। গুরুত্বপূর্ণ তথ্য চিহ্নিত করো। একটি পরিকল্পনা তৈরি করো। সংখ্যাগুলো বোঝাতে চিত্র বা বস্তু ব্যবহার করো। পরিকল্পনা বাস্তবায়ন করো। তোমার কাজ যাচাই করো।
বীজগণিত শেখানোর জন্য কগনিটিভ টিউটর
[সম্পাদনা]১৯৮৫ সালে অ্যান্ডারসন, বয়েল এবং রেইজার বুদ্ধিমান শেখানোর পদ্ধতিতে কগনিটিভ মনস্তত্ত্ব যুক্ত করেন। এরপর থেকে এই পদ্ধতির মাধ্যমে ছাত্রদের শেখানোর জন্য কগনিটিভ মডেল তৈরি করা হয়। এ নাম রাখা হয় কগনিটিভ টিউটরস।[৯৪] সবচেয়ে জনপ্রিয় কগনিটিভ টিউটর হলো কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা I।[৯৫] এটি তৈরি করেছে কার্নেগি লার্নিং, ইনকর্পোরেটেড। তারা এখন বীজগণিত ১, ২, বীজগণিতের সেতু, জ্যামিতি এবং ইন্টিগ্রেটেড ম্যাথ ১, ২, ৩ সহ সম্পূর্ণ কগনিটিভ টিউটর® তৈরি করছে। কগনিটিভ টিউটর®-এ এখন স্প্যানিশ মডিউলও যুক্ত হয়েছে।
কীভাবে শেখাতে হবে
[সম্পাদনা]দুটি অন্তর্নির্মিত অ্যালগরিদম—মডেল ট্রেসিং এবং নলেজ ট্রেসিং শিক্ষার্থীদের শেখার প্রক্রিয়া পর্যবেক্ষণ করতে সাহায্য করে। মডেল ট্রেসিং শিক্ষার্থীর প্রতিটি ধাপের ভিত্তিতে ঠিক সময়ে প্রতিক্রিয়া, অনুরোধে পরামর্শ এবং বিষয়ভিত্তিক দিকনির্দেশনা দেয়।[৯৪] নলেজ ট্রেসিং প্রতিটি শিক্ষার্থীর পূর্বজ্ঞান অনুযায়ী শেখার কাজ নির্ধারণ করে।[৯৪][৯৫]
তোমরা চিন্তন ও নির্দেশনা/সমস্যা সমাধান, সমালোচনামূলক চিন্তন ও যুক্তি অধ্যায়ের (২.৫.২ কগনিটিভ টিউটরের তাত্ত্বিক পটভূমি) অংশে গিয়ে বিস্তারিত জানতে পারো কীভাবে কগনিটিভ টিউটর বীজগণিত শেখাতে সাহায্য করে তাৎক্ষণিক প্রতিক্রিয়া, অনুরোধভিত্তিক পরামর্শ, বিষয়ভিত্তিক নির্দেশনা ও ব্যক্তিকৃত কাজের মাধ্যমে।
কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা ১-এর মিশ্র প্রভাব
[সম্পাদনা]কগনিটিভ টিউটরের কার্যকারিতা নিয়ে পূর্ববর্তী গবেষণার প্রমাণ থেকে দেখা যায়, শ্রেণিকক্ষে শিক্ষকের পাঠদানের তুলনায় কগনিটিভ টিউটর অধিক কার্যকর।[৯৪][৯৬][৯৭][৯৮]
তবে, ইউএস ডিপার্টমেন্ট অফ এডুকেশনের ইনস্টিটিউট অব এডুকেশন সায়েন্সেস দ্বারা প্রতিষ্ঠিত একটি সাম্প্রতিক স্বাধীন ও বৃহৎ আকারের গবেষণা ক্লিয়ারিংহাউস কী কাজ করে[৯৯] কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা ১ সম্পর্কিত ২২টি গবেষণার মধ্যে ৬টি পর্যালোচনা করে, যেখানে ৮ম থেকে ১৩শ গ্রেড পর্যন্ত ১২,৮৪০ জন শিক্ষার্থীকে অন্তর্ভুক্ত করা হয় ১১৮টি স্থানে। গবেষকরা দেখতে পান, কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা ১ এর বীজগণিত শেখার ক্ষেত্রে মিশ্র ফলাফল পাওয়া গেছে এবং মাধ্যমিক শিক্ষার্থীদের সাধারণ গণিত দক্ষতার ওপর কোনও উল্লেখযোগ্য বা প্রাসঙ্গিক প্রভাব দেখা যায়নি।
মরগান এবং রিটার,[১০০] ওকলাহোমার মুর শহরের পাঁচটি ভিন্ন স্কুলে নবম শ্রেণির বীজগণিত ক্লাসে একটি অভ্যন্তরীণ শিক্ষক-ভিত্তিক পরীক্ষামূলক গবেষণা পরিচালনা করেন। এই গবেষণায় প্রতিটি শিক্ষককে অন্তত একটি কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা ১ সমন্বিত ক্লাসরুম এবং একটি ঐতিহ্যবাহী ক্লাসরুমের দায়িত্ব দেওয়া হয়। ফলাফল থেকে জানা যায়, যারা কগনিটিভ টিউটর® ব্যবহার করে শিখেছিল তারা অন্যান্য শিক্ষার্থীদের তুলনায় ভালো ফল করেছিল এবং গণিত বিষয়ে আরও আত্মবিশ্বাসী ও ইতিবাচক মনোভাব দেখিয়েছিল।
কাবালো, জাকিউ এবং ভু[১০১] হাওয়াইয়ের মাউই কাউন্টির পাঁচটি মাধ্যমিক বিদ্যালয়ে কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা ১-এর কার্যকারিতা পর্যালোচনার জন্য একটি র্যান্ডমাইজড গবেষণা পরিচালনা করেন। ছয় মাসের ব্যবহারের পর ২০০৫-০৬ শিক্ষাবর্ষের শেষে শিক্ষার্থীদের এনডব্লিউইএ বীজগণিত কোর্স সমাপ্তির অর্জন স্তর পরীক্ষা দিতে বলা হয়। ফলাফল থেকে জানা যায়, শিক্ষার্থীরা সাধারণভাবে কগনিটিভ টিউটর® সফটওয়্যার সম্পর্কে ইতিবাচক মনোভাব প্রকাশ করে এবং সফটওয়্যার ব্যবহার করুক বা না করুক, বেশিরভাগ শিক্ষার্থীর গণিতে উন্নতি দেখা যায়। তবে, যারা আগে দুর্বল ছিল, তারা ব্যবহার শুরু করার পর উল্লেখযোগ্য উন্নতি করে, যা তুলনামূলকভাবে উচ্চ স্কোরধারীদের চেয়ে বেশি ছিল।
ক্যাম্পুজানো, ডিনারস্কি, আগোদিনি এবং রাল[১০২] একটি ২ বছরব্যাপী কংগ্রেস-অনুমোদিত গবেষণা পরিচালনা করেন প্রযুক্তিনির্ভর শিক্ষণপদ্ধতির কার্যকারিতা যাচাইয়ের জন্য, যার দ্বিতীয় বছরে নয়টি দরিদ্র স্কুলে কগনিটিভ টিউটর® অ্যালজেবরা ১ ব্যবহার করা হয়। গবেষকরা র্যান্ডম কন্ট্রোল ট্রায়াল পদ্ধতি গ্রহণ করেন এবং শিক্ষকদের র্যান্ডমভাবে সফটওয়্যার ব্যবহারে অথবা প্রচলিত পাঠ্যক্রমে ভাগ করে দেন। সব শিক্ষার্থীদের শরৎ ও বসন্তকালে ETS End-of-Course (ইটিএস এন্ড অফ কোর্স) পরীক্ষায় অংশ নিতে হয়। দ্বিতীয় বছরে সফটওয়্যার ব্যবহারকারী শিক্ষার্থীরা প্রথম বছরের তুলনায় উল্লেখযোগ্য উন্নতি দেখায়, যদিও পরীক্ষার স্কোরে হস্তক্ষেপকারী ও তুলনামূলক দলের মধ্যে পার্থক্য ছিল সামান্য (p<০.৩)।
প্যান, গ্রিফিন, ম্যাককাফ্রে এবং কারাম[১০৩] কগনিটিভ টিউটর® যুক্ত বীজগণিত পাঠ্যক্রমের কার্যকারিতা নিরীক্ষার জন্য র্যান্ডম কন্ট্রোল ট্রায়াল পদ্ধতি গ্রহণ করেন। গবেষণা দুটি ধারাবাহিক শিক্ষাবর্ষজুড়ে চলে এবং সফটওয়্যারটি সপ্তাহে তিন দিন শিক্ষক-নির্দেশিত ক্লাসে এবং দুই দিন কম্পিউটার-নির্দেশিত ক্লাসে ব্যবহৃত হয়। প্রথম বছর হাইস্কুল শিক্ষার্থীদের মধ্যে হস্তক্ষেপকারী ও তুলনামূলক দলের মধ্যে শিক্ষাগত সাফল্যে তেমন পার্থক্য দেখা যায়নি (p<০.৪৬)। তবে দ্বিতীয় বছরে কগনিটিভ টিউটর® ব্যবহারের ইতিবাচক প্রভাবের প্রমাণ শক্তিশালী ছিল (p<০.০৪), এবং হস্তক্ষেপকারী দলে যেসব শিক্ষার্থীর সাফল্য আগে কম ছিল, তাদের অগ্রগতি বেশি ছিল।
শব্দকোষ
[সম্পাদনা]অ্যালগরিদম হলো গাণিতিক সমস্যার সমাধানে ব্যবহৃত একাধিক ধাপবিশিষ্ট একটি প্রক্রিয়া, যা সঠিকভাবে প্রয়োগ করলে সঠিক সমাধান প্রদান করে।
প্রয়োগ ঘটে যখন শিক্ষার্থীরা গাণিতিক ধারণার সঙ্গে দৈনন্দিন জীবনের ঘটনার সম্পর্ক স্থাপন করতে পারে।
স্পষ্টীকরণ ঘটে যখন শিক্ষার্থীরা কোনো সমস্যার বিভিন্ন দিক চিহ্নিত ও বিশ্লেষণ করে, ফলে তারা সমস্যার সমাধানে প্রয়োজনীয় তথ্য ব্যাখ্যা করতে পারে।
শ্রেণিবিন্যাস হলো একই রকম বৈশিষ্ট্য অনুযায়ী বস্তুগুলোকে গোষ্ঠীবদ্ধ করার ক্ষমতা।
ধারণাগত জ্ঞান হলো মানসিক গঠন যা শিক্ষার্থীদের যুক্তি ও গাণিতিক ধারণা বোঝার ভিত্তি তৈরি করে।
ঘোষণামূলক জ্ঞান হলো সেই গাণিতিক ধারণা যা দীর্ঘমেয়াদি স্মৃতি থেকে আহরণ করা হয় এবং যেগুলো ব্যবহার করে জটিল সমস্যা সমাধান করা যায়।
মূল্যায়ন ঘটে যখন শিক্ষার্থীরা একটি নির্দিষ্ট মানদণ্ড অনুসারে সমস্যার সমাধানের সঠিকতা নির্ধারণ করতে পারে।
অনুমান ঘটে যখন শিক্ষার্থীরা সাধারণ ধারণা নির্দিষ্ট পরিস্থিতিতে প্রয়োগ করে এবং বস্তুসমূহের মধ্যে পার্থক্য ও সাদৃশ্য নির্ধারণ করতে পারে।
অন্তঃপ্রণোদনা হলো এমন একটি অভ্যন্তরীণ ইচ্ছা যা শিক্ষার্থীদের নিজেদের আগ্রহে কোনো কাজ করতে উদ্বুদ্ধ করে।
মেটাকগনিটিভ হলো নিজের চিন্তা ও শেখার নিয়ন্ত্রণে ব্যবহৃত জ্ঞান।
পদ্ধতিগত জ্ঞান হলো সমস্যা সমাধানের কৌশলের ধাপসমূহ সম্পর্কে জ্ঞান।
ক্রমবিন্যাস হলো বস্তুগুলোর আকার অনুযায়ী (যেমন: দৈর্ঘ্য, ওজন, আয়তন) ছোট থেকে বড় বা বড় থেকে ছোটভাবে সাজানোর ক্ষমতা।
স্বনিয়ন্ত্রিত শেখা হলো নিজের শেখা নিয়ন্ত্রণ করার ক্ষমতা, শুরু থেকে নিজের পারফরম্যান্স মূল্যায়ন পর্যন্ত।
স্বল্পমেয়াদী স্মৃতি এমন তথ্য সাময়িকভাবে ধারণ করে যা ব্যবহৃত হবে, তবে তা পরিবর্তিত হবে না।
কার্যকরী স্মৃতি হলো একটি ব্যবস্থাপনা যা নতুন বা পূর্ববর্তী তথ্যকে অস্থায়ীভাবে ধরে রাখে, যাতে তা বর্তমান কাজে ব্যবহার করা যায়।
প্রস্তাবিত পাঠ
[সম্পাদনা]- বেকার, সি কে (২০১৫)। "A case study of novice teachers' mathematics problem solving beliefs and perceptions"। গবেষণামূলক অ্যাবস্ট্রাক্ট ইন্টারন্যাশনাল সেকশন এ, ৭৫
- লোরেঙ্ক, ও (২০১২)। "Piaget and Vygotsky: Many resemblances, and a crucial difference. New Ideas In Psychology", ৩০ (৩), ২৮১-২৯৫। doi:10.1016/j.newideapsych.2011.12.006
তথ্যসূত্র
[সম্পাদনা]- ফুচস, এলএস, ফুচস, ডি, স্টুবিং, কে, ফ্লেচার, জেএম, হ্যামলেট, সিএল, এবং ল্যামবার্ট, ডাব্লু (২০০৮)। "Problem solving and computational skill: Are they shared or distinct aspects of mathematical cognition"? জার্নাল অফ এডুকেশনাল সাইকোলজি, ১০০ (১), ৩০
- হানিচ, এলবি, জর্ডান, এনসি, কাপলান, ডি, এবং ডিক, জে (২০০১)। "Performance across different areas of mathematical cognition in children with learning disabilities"। জার্নাল অফ এডুকেশনাল সাইকোলজি, ৯৩, ৬১৫–৬২৬।
- রাউর্ক, বিপি, এবং ফিনলেসন, এমএজে (১৯৭৮)। "Neuropsychological significance of variations in patterns of academic skills: Verbal and visual-spatial abilities"। জার্নাল অফ অ্যাবনরমাল চাইল্ড সাইকোলজি, ৬, ১২১–১৩৩।
- সোয়ানসন, এইচএল, এবং বিবে-ফ্রাঙ্কেনবার্গার, এম (২০০৪)। "The relationship between working memory and mathematical problem-solving in children at risk and not at risk for serious math difficulties"। জার্নাল অফ এডুকেশনাল সাইকোলজি, ৯৬, ৪৭১–৪৯১।
- সোয়ানসন, এইচ এল (২০০৩)। "Age-related differences in learning disabled and skilled readers’ working memory"। জার্নাল অফ এক্সপেরিমেন্টাল চাইল্ড সাইকোলজি, ৮৫, ১–৩১।
- ↑ Wong, B., Graham, L., Hoskyn, M., & Berman, J. (Eds.). (2008). The ABCs of learning disabilities (2nd ed.). Boston: Elsevier Academic Press.
- ↑ Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011). Cognitive Psychology and Instruction (5th ed.). Boston: Pearson Education.
- ↑ Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011). Cognitive Psychology and Instruction (5th ed.). Boston: Pearson Education.
- ↑ Wong, B., Graham, L., Hoskyn, M., & Berman, J. (Eds.). (2008). The ABCs of learning disabilities (2nd ed.). Boston: Elsevier Academic Press.
- ↑ Piaget, J. (1977). Epistemology and psychology of functions. Dordrecht, Netherlands: D. Reidel Publishing Company.
- ↑ Fuson, K. C. (1988). Children’s counting and concepts of numbers. New York: Springer.
- ↑ Piaget, J. (1963). The origins of intelligence in children. New York, NY: W.W. Norton & Company, Inc.
- ↑ Thompson, C. S. (1990). Place value and larger numbers. In J. N. Payne (Ed.), Mathematics for young children (pp. 89–108). Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.
- ↑ Piaget, J. (1977). Epistemology and psychology of functions. Dordrecht, Netherlands: D. Reidel Publishing Company.
- ↑ Piaget, J. (1968). Genetic epistemology. New York, NY: Columbia University Press Retrieved June 13, 2003 from the World Wide Web: http://www.marxists.org/reference/subject/philosophy/works/fr/piaget.htm
- ↑ Hiebert, J., and T. P. Carpenter. "Piagetian Tasks as Readiness Measures in Mathematics Instruction: A CriticalReview." EDUCATIONAL STUDIES IN MATHEMATICS 13: 329-345, 1982
- ↑ Berger, K.S. (1988). The developing person through the life span (2nd ed.). New York: Worth Publishers Ltd.
- ↑ Berger, K.S. (1988). The developing person through the life span (2nd ed.). New York: Worth Publishers Ltd.
- ↑ Cross, C. (2009). The Early Childhood Workforce and Its Professional Development. In Mathematics learning in early childhood paths toward excellence and equity. Washington, DC: National Academies Press.
- ↑ Berger, K.S. (1988). The developing person through the life span (2nd ed.). New York: Worth Publishers Ltd.
- ↑ Papalia, D. E., Olds, S. W., and Feldman, R. D. (1998). Human development(7th ed.). Boston: McGraw-Hill.
- ↑ Edwards, L., Hopgood, J., Rosenberg, K., & Rush, K. (2000). Mental Development and Education. Retrieved April 25, 2009, from Flinders University
- ↑ Berger, K.S. (1988). The developing person through the life span (2nd ed.). New York: Worth Publishers Ltd.
- ↑ Papalia, D.E., Olds, S.W., & Feldman, R.D. (1998). Human development (7th ed.). Boston: McGraw-Hill.
- ↑ Berger, K.S. (1988). The developing person through the life span (2nd ed.). New York: Worth Publishers Ltd.
- ↑ Rourke, B. P., & Finlayson, M. A. J. (1978). Neuropsychological significance of variations in patterns of academic skills: Verbal and visual-spatial abilities. Journal of Abnormal Child Psychology, 6, 121–133.
- ↑ Hanich, L. B., Jordan, N. C., Kaplan, D., & Dick, J. (2001) Performance across different areas of mathematical cognition in children with learning disabilities. Journal of Educational Psychology, 93, 615–626.
- ↑ Fuchs, L. S., Fuchs, D., Stuebing, K., Fletcher, J.M., Hamlett, C. L. , & Lambert, W. (2008). Problem solving and computational skill: Are they shared or distinct aspects of mathematical cognition? Journal of Educational Psychology 100 (1), 30
- ↑ Swanson, H. L., & Beebe-Frankenberger, M. (2004)...
- ↑ Swanson, H. L. (2003)...
- ↑ Swanson, H. L., & Beebe-Frankenberger, M. (2004)...
- ↑ Swanson, H. L. (August 4,2015)...
- ↑ Wong, B., Graham, L., Hoskyn, M., & Berman, J. (Eds.). (2008)...
- ↑ Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011)...
- ↑ Wong, B., Graham, L., Hoskyn, M., & Berman, J. (Eds.). (2008)...
- ↑ Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011)...
- ↑ Bruning, R., Schraw, G., & Norby, M. (2011)...
- ↑ Upadyaya, K., & Jacquelynne, S. E. (2014). How do Teachers’ Beliefs predict Children’s Interests in Math from Kindergarten to Sixth Grade? Merrill-Palmer Quarterly, 60(4). Retrieved from http://web.b.ebscohost.com.proxy.lib.sfu.ca/ehost/pdfviewer/pdfviewer?sid=aaa92fa2-22f8-4cd7-9d94-49896f602e89%40sessionmgr120&vid=0&hid=109
- ↑ Frenzel, A.C., Goets T., Pekrun R., & Watt, H.M.G. (2010). Development of Mathematics Interest in Adolescence: Influences of Gender, Family and School Context. Journal of Research on Adolescence, 20(2), 507-537. doi:10.1111/j.1532-7795.2010.00645.x
- ↑ Frenzel, A.C., Goets T., Pekrun R., & Watt, H.M.G. (2010). Development of Mathematics Interest in Adolescence: Influences of Gender, Family and School Context. Journal of Research on Adolescence, 20(2), 507-537. doi:10.1111/j.1532-7795.2010.00645.x
- ↑ Tsao, Y-L. (2004). A Comparison of American and Taiwanese Students: Their Math Perception. Journal of Instructional Psychology, 31(3). Retrieved from http://web.b.ebscohost.com.proxy.lib.sfu.ca/ehost/pdfviewer/pdfviewer?sid=97c91599-4222-4cc8-8717-703e6b774b06%40sessionmgr110&vid=19&hid=109
- ↑ Imbo, I., & LeFevre, Jo-Anne. (2009). Cultural differences in Complex Addition: Efficient Chinese versus Adaptive Belgians and Canadians. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35(6),1465-1476. doi:10.1037/a0017022
- ↑ Imbo, I., & LeFevre, Jo-Anne. (2009). Cultural differences in Complex Addition: Efficient Chinese versus Adaptive Belgians and Canadians. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35(6),1465-1476. doi:10.1037/a0017022
- ↑ Imbo, I., & LeFevre, Jo-Anne. (2009). Cultural differences in Complex Addition: Efficient Chinese versus Adaptive Belgians and Canadians. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35(6),1465-1476. doi:10.1037/a0017022
- ↑ Imbo, I., & LeFevre, Jo-Anne. (2009). Cultural differences in Complex Addition: Efficient Chinese versus Adaptive Belgians and Canadians. Journal of Experimental Psychology: Learning, Memory, and Cognition, 35(6),1465-1476. doi:10.1037/a0017022
- ↑ Schunk, D. H., & Zimmerman, B.J. (2006). Competence and control beliefs: Distinguishing the means and ends. In P.A. Alexander & P.H. Winne (Eds.), Handbook of educational psychology (2nd ed., pp.349-367). Yahweh, NJ: Erlbaum.
- ↑ Schunk, D. H., & Zimmerman, B.J. (2006). Competence and control beliefs: Distinguishing the means and ends. In P.A. Alexander & P.H. Winne (Eds.), Handbook of educational psychology (2nd ed., pp.349-367). Yahweh, NJ: Erlbaum.
- ↑ Bandura, A. (1997). Self-efficacy: The exercise of control.New York, NY:Freeman.
- ↑ Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory. Englewood Cliffs, NJ, US: Prentice-Hall, Inc.
- ↑ Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory. Englewood Cliffs, NJ, US: Prentice-Hall, Inc.
- ↑ Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory. Englewood Cliffs, NJ, US: Prentice-Hall, Inc.
- ↑ Hekimoglu, S., & Kittrell, E. (2010). Challenging students' beliefs about mathematics: The use of documentary to alter perceptions of efficacy. PRIMUS: Problems, Resources, And Issues In Mathematics Undergraduate Studies, 20(4), 299-331. doi:10.1080/10511970802293956
- ↑ Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory. Englewood Cliffs, NJ, US: Prentice-Hall, Inc.
- ↑ Bandura, A. (1986). Social foundations of thought and action: A social cognitive theory. Englewood Cliffs, NJ, US: Prentice-Hall, Inc.
- ↑ Usher, E. L. (2009). Sources of middle school students’ self-efficacy in mathematics: A qualitative investigation. American Educational Research Journal, 46(1), 275-314. doi:10.3102/0002831208324517
- ↑ Usher, E. L. (2009). ...
- ↑ Ramdass, D., & Zimmerman, B. J. (2008). ...
- ↑ Usher, E. L. (2009). ...
- ↑ Woolfolk, A. E., & Hoy, W. K. (1990). ...
- ↑ Kolstad, R. K., Hughes, S., & Briggs, L. D. (1994). ...
- ↑ Fox, A. M. (2015). ...
- ↑ Chears-Young, J. B. (2015). ...
- ↑ Kagan, D.M. (1992). ...
- ↑ Ghaith, G., & Yaghi, H. (1997). ...
- ↑ Zimmerman, B. (2000). ...
- ↑ Zimmerman, B. (2000). ...
- ↑ Zimmerman, B. J., & Martinez-Pons, M. (1990). ...
- ↑ Zimmerman, B. (2000). ...
- ↑ Camahalan, F. G. (2006). Effects of Self-Regulated Learning on Mathematics Achievement of Selected Southeast Asian Children. Journal Of Instructional Psychology, 33(3), 194-205.
- ↑ Zimmerman, B. (2000). Attaining self-regulation: A social cognitive perspective. In M. Boekaerts, P. R. Pintrich, & M. Zeidner (Eds.), Handbook of self-regulation (pp.13-39). San Diego, CA: Academic Press.
- ↑ Camahalan, F. G. (2006). Effects of Self-Regulated Learning on Mathematics Achievement of Selected Southeast Asian Children. Journal Of Instructional Psychology, 33(3), 194-205.
- ↑ Camahalan, F. G. (2006). Effects of Self-Regulated Learning on Mathematics Achievement of Selected Southeast Asian Children. Journal Of Instructional Psychology, 33(3), 194-205.
- ↑ Camahalan, F. G. (2006). Effects of Self-Regulated Learning on Mathematics Achievement of Selected Southeast Asian Children. Journal Of Instructional Psychology, 33(3), 194-205.
- ↑ Renkl, A. (1999). Learning Mathematics from worked-out examples: Analyzing and Fostering self-explanations. European Journal of Psychology of Education, 14(4), 477-488.
- ↑ Tu, C-T. (2011). An Instructional experiment: Using worked-out examples in mathematics problem-solving of elementary school students. Bulletin of Educational Psychology, 43(1), 25-50.
- ↑ Tajika, H., Nakatsu, N., Nozaki H., Neumann, E., & Maruno S. (2007). Effects of Self-Explanation as a Metacognitive Strategy for Solving Mathematical Word Problems. Japanese Psychological Research, 49(3), 222-233.
- ↑ Tajika, H., Nakatsu, N., Nozaki H., Neumann, E., & Maruno S. (2007). Effects of Self-Explanation as a Metacognitive Strategy for Solving Mathematical Word Problems. Japanese Psychological Research, 49(3), 222-233.
- ↑ Mevarech, Z. R., & Kramarski, B. (2003). The Effects of Metacognitive Training versus Worked-out Examples on Students’ mathematical reasoning. British Journal of Educational Psychology, 73(4), 449-471. doi: http://dx.doi.org.proxy.lib.sfu.ca/10.1348/000709903322591181
- ↑ Mevarech, Z. R., & Kramarski, B. (2003). The Effects of Metacognitive Training versus Worked-out Examples on Students’ mathematical reasoning. British Journal of Educational Psychology, 73(4), 449-471.
- ↑ Scheiter, K., Gerjets, P., & Schuh, J. (2010). The Acquisition of Problem-Solving Skills in Mathematics: How Animations Can Aid Understanding of Structural Problem Features and Solutions Procedures. Instructional Science, 38(5), 487-502. doi: http://dx.doi.org.proxy.lib.sfu.ca/10.1007/s11251-009-9114-9
- ↑ Scheiter, K., Gerjets, P., & Schuh, J. (2010). The Acquisition of Problem-Solving Skills in Mathematics: How Animations Can Aid Understanding of Structural Problem Features and Solutions Procedures. Instructional Science, 38(5), 487-502. doi: http://dx.doi.org.proxy.lib.sfu.ca/10.1007/s11251-009-9114-9
- ↑ Scheiter, K., Gerjets, P., & Schuh, J. (2010). The Acquisition of Problem-Solving Skills in Mathematics: How Animations Can Aid Understanding of Structural Problem Features and Solutions Procedures. Instructional Science, 38(5), 487-502. doi: http://dx.doi.org.proxy.lib.sfu.ca/10.1007/s11251-009-9114-9
- ↑ van Garderen, D., Scheuermann, A., & Poch, A. (2014). Challenges students identified with a learning disability and as high-achieving experience when using diagrams as a visualization tool to solve mathematics word problems. ZDM Mathematics Education, 46, 135–149.
- ↑ Larkin, J., & Simon, H. (n.d.). Why a Diagram is (Sometimes) Worth Ten Thousand Words. Cognitive Science, 65-100.
- ↑ Banerjee, B. (2011). The effects of using diagramming as a representational technique on high school students' achievement in solving math word problems. Dissertation Abstracts International Section A, 71, 394
- ↑ Uesaka, Y., Manalo, E., & Ichikawa, S. (2007). What kinds of perceptions and daily learning behaviors promote students' use of diagrams in mathematics problem solving?. Learning And Instruction, 17(3), 322-335.
- ↑ Uesaka, Y., Manalo, E., & Ichikawa, S. (2007). What kinds of perceptions and daily learning behaviors promote students' use of diagrams in mathematics problem solving?. Learning And Instruction, 17(3), 322-335.
- ↑ Uesaka, Y., & Manalo, E. (2012). Task-related factors that influence the spontaneous use of diagrams in math word problems. Applied Cognitive Psychology, 26, 251–260.
- ↑ van Garderen, D., & Scheuermann, A. (2015). Diagramming word problems: A strategic approach for instruction. Intervention in School and Clinic
- ↑ Walker, D. W., & Poteet, J. A. (1989-90). A comparison of two methods of teaching mathematics story problem-solving with learning disabled students. National Forum of Special Education Journal, 1, 44-51.
- ↑ Cobb, P. (1991). Reconstructing Elementary School Mathematics. Focus on Learning Problems in Mathematics, 13(2), 3–32.
- ↑ Brown, J.S., Burton, R.B. (1978). Diagnostic models for procedural bugs in basic mathematical skills. Cognitive Science, 2, 155-192
- ↑ Nagel, N., & Swingen, C. C. (1998). Students’ explanations of place value in addition and subtraction. Teaching Children Mathematics, 5(3), 164–170.
- ↑ Nelson, P. M., Burns, M. K., Kanive, R., & Ysseldyke, J. E. (2013). Comparison of a math fact rehearsal and a mnemonic strategy approach for improving math fact fluency. Journal Of School Psychology, 51(6), 659-667. doi:10.1016/j.jsp.2013.08.003
- ↑ Jeon, K. (2012). Reflecting on PEMDAS. Teaching Children Mathematics, 18(6), 370-377.
- ↑ Jan, S. and Rodrigues, S., (2012). Students' difficulties in comprehending mathematical word problems in English language learning contexts. International Researcher, Vol. 1, Issue 3, Accessed Dec 4, 2015 from http://www.academia.edu/2078056/STUDENTS_DIFFICULTIES_IN_COMPREHENDING_MATHEMATICAL_WORD_PROBLEMS_IN_ENGLISH_LANGUAGE_LEARNING_CONTEXTS
- ↑ Jan, S. and Rodrigues, S., (2012). Students' difficulties in comprehending mathematical word problems in English language learning contexts. International Researcher, Vol. 1, Issue 3, P. 156, Accessed Dec 4, 2015 from http://www.academia.edu/2078056/STUDENTS_DIFFICULTIES_IN_COMPREHENDING_MATHEMATICAL_WORD_PROBLEMS_IN_ENGLISH_LANGUAGE_LEARNING_CONTEXTS
- ↑ http://www.council-for-learning-disabilities.org/mathematics-disabilities
- ↑ ৯৪.০ ৯৪.১ ৯৪.২ ৯৪.৩ Anderson, J. R., Corbett, A. T., Koedinger, K. R., & Pelletier, R. (1995). Cognitive Tutors: Lessons learned. Journal of the Learning Sciences, 4(2), 167.
- ↑ ৯৫.০ ৯৫.১ Koedinger, K. R., & Corbett, A. (2006). Cognitive tutors. The Cambridge handbook of the learning sciences, 61-77.
- ↑ Koedinger, K. R. & Anderson, J. R. (1993). Effective use of intelligent software in high school math classrooms. In Proceedings of the World Conference on Artificial Intelligence in Education, (pp. 241-248). Charlottesv
- ↑ Koedinger, K., Anderson, J., Hadley, W., & Mark, M. (1997). Intelligent tutoring goes to school in the big city. Human-Computer Interaction Institute.
- ↑ Corbett, A. T., & Anderson, J. R. (2001). Locus of feedback control in computer-based tutoring: Impact on learning rate, achievement and attitudes. In Proceedings of the SIGCHI Conference on Human Factors in Computing Systems (pp. 245–252). New York, NY, USA: ACM.
- ↑ What Works Clearinghouse (ED). (2016). Carnegie Learning Curricula and Cognitive Tutor[R]. What Works Clearinghouse Intervention Report. What Works Clearinghouse.
- ↑ Morgan, P., & Ritter, S. (2002). An experimental study of the effects of Cognitive Tutor® Algebra I on student knowledge and attitude. Pittsburgh, PA: Carnegie Learning, Inc.
- ↑ Cabalo, J. V., Jaciw, A., & Vu, M. (2007). Comparative effectiveness of Carnegie Learning’s Cognitive Tutor® Algebra I curriculum: A report of a randomized experiment in the Maui School District. Palo Alto, CA: Empirical Education, Inc.
- ↑ Campuzano, L., Dynarski, M., Agodini, R., & Rall, K. (2009). The effectiveness of reading and mathematics software products: Findings from two student cohorts. Washington, DC: U.S. Department of Education, Institute of Education Sciences.
- ↑ Pane, J. F., Griffin, B. A., McCaffrey, D. F., Karam, R., Daugherty, L., & Phillips, A. (2013). Does an algebra course with tutoring software improve student learning?.