কোয়ান্টাম জগৎ/সূচকীয় ফাংশন

সূচকীয় ফাংশন

আমরা $\exp(x)$ ফাংশনটি এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

$\exp '(x)=\exp(x)$  এবং  পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \exp(0)=1।}

এই ফাংশনের মান সর্বত্রই তার ঢালের সমান। প্রথম সংজ্ঞাটি বারবার ডিফারেনশিয়েট করলে আমরা পাই

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \exp^{(n)}(x)=\exp^{(n-1)}(x)=\cdots=\exp(x)।}

দ্বিতীয় সংজ্ঞা অনুযায়ী $\exp ^{(k)}(0)=1$ সকল $k$-এর জন্য। এর ফলাফল হলো:

$\exp(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{x^{k} \over k!}=1+x+{x^{2} \over 2}+{x^{3} \over 6}+{x^{4} \over 24}+\cdots$

এখন যাচাই করি একটি সুসঙ্গত ফাংশন নিচের সমীকরণটি মেনে চলে কিনা:

$f(a)\,f(b)=f(a+b)$

যদি এবং কেবল যদি

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)।}

আমরা এটি $f$ গুলোকে $a$ এবং $b$-এর ঘাত রূপে প্রসারিত করে এবং সহগ তুলনা করে প্রমাণ করব। আমাদের আছে

$f(a)\,f(b)=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f^{(i)}(0)f^{(k)}(0)}{i!\,k!}}\,a^{i}\,b^{k},$

এবং দ্বিপদ উপপাদ্য ব্যবহার করে পাই

$(a+b)^{i}=\sum _{l=0}^{i}{\frac {i!}{(i-l)!\,l!}}\,a^{i-l}\,b^{l},$

তাহলে আমরা পাই

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle f(a+b)=\sum_{i=0}^\infty {f^{(i)}(0)\over i!}(a+b)^i= \sum_{i=0}^\infty\sum_{l=0}^i\frac{f^{(i)}(0)}{(i-l)!\,l!}\,a^{i-l}\,b^l= \sum_{i=0}^\infty\sum_{k=0}^\infty\frac{f^{(i+k)}(0)}{i!\,k!}\,a^i\,b^k। }

দারুন!

$\exp(x)$ ফাংশনটি স্পষ্টভাবে $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)$ মেনে চলে, তাই $f(a)\,f(b)=f(a+b)$–ও মেনে চলে।

$f(x)=\exp(ux)$ ফাংশনটিও তাই করে।

এছাড়া, $f^{(i+k)}(0)=f^{(i)}(0)\,f^{(k)}(0)$ থেকে প্রমাণ হয় পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle f^{(n)}(0) = [f'(0)]^n।}

আমরা এখান থেকে পাই:

• যে ফাংশনগুলো $f(a)\,f(b)=f(a+b)$ মেনে চলে তারা একটি এক-প্যারামিটার বিশিষ্ট পরিবার তৈরি করে, যেখানে প্যারামিটার হলো বাস্তব সংখ্যা $f'(0),$ এবং

• যে $\exp(ux)$ ফাংশনের এক-প্যারামিটার পরিবার $f(a)\,f(b)=f(a+b)$ মেনে চলে, যেখানে প্যারামিটার হলো বাস্তব সংখ্যা পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle u।}

কিন্তু $f(x)=v^{x}$ ফাংশনটিও একটি এক-প্যারামিটার পরিবার তৈরি করে, যা $f(a)\,f(b)=f(a+b)$ মেনে চলে, যেখানে প্যারামিটার হলো ধনাত্মক সংখ্যা পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle v।}

উপসংহার: প্রতিটি বাস্তব সংখ্যা $u$ এর জন্য একটি ধনাত্মক সংখ্যা $v$ আছে (এবং বিপরীতভাবে), যাতে $v^{x}=\exp(ux)$ হয়।

সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যাগুলোর একটি হলো $e,$ যাকে এমন $v$ হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয় যেখানে $u=1$, অর্থাৎ: $e^{x}=\exp(x)$:

$e=\exp(1)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=1+1+{1 \over 2}+{1 \over 6}+\dots =2.7182818284590452353602874713526\dots$

---

ন্যাচারাল লগারিদম $\ln(x)$ কে $\exp(x)$–এর বিপরীত ফাংশন হিসেবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, তাই পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \exp[\ln(x)]=\ln[\exp(x)]=x।} দেখাও যে

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle {d\ln f(x)\over dx}={1\over f(x)}{df\over dx}।}

ইঙ্গিত: $\exp\{\ln[f(x)]\}$–কে ডিফারেনশিয়েট করো।