কোয়ান্টাম জগৎ/সাইন ও কোসাইন

সাইন ও কোসাইন

আমরা $\cos(x)$ ফাংশনটি এভাবে সংজ্ঞায়িত করি:

$\cos ''(x)=-\cos(x),\quad \cos(0)=1$  এবং  পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \cos'(0)=0।}

এই তথ্যগুলোর ভিত্তিতে ফাংশনটির চিত্র আঁকলে দেখা যাবে, যেখানে $\cos(x)$ ধনাত্মক, সেখানে $x$ বৃদ্ধির সাথে এর ঢাল কমে (অর্থাৎ গ্রাফ নিচের দিকে বাঁক নেয়), এবং যেখানে $\cos(x)$ ঋণাত্মক, সেখানে $x$ বৃদ্ধির সাথে এর ঢাল বাড়ে (অর্থাৎ গ্রাফ ওপরের দিকে বাঁক নেয়)।

প্রথম সংজ্ঞাটি বারবার ডিফারেনশিয়েট করলে পাই

$\cos ^{(n+2)}(x)=-\cos ^{(n)}(x)$

সকল প্রাকৃতিক সংখ্যা $n$-এর জন্য। বাকি সংজ্ঞাগুলো ব্যবহার করে আমরা পাই $\cos ^{(k)}(0)$ এর মান 1 হয় যখন k = 0,4,8,12…, –1 হয় যখন k = 2,6,10,14…, এবং 0 হয় যখন k বিজোড়। এর ফলে আমরা পাই নিম্নোক্ত ধারা:

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \cos(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!} = 1-{x^2\over2!}+ {x^4\over4!} -{x^6\over6!}+\dots।}

$\sin(x)$ ফাংশনটি একইভাবে সংজ্ঞায়িত করা হয়, নিচের শর্তগুলো দিয়ে:

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \sin''(x)=-\sin(x),\quad \sin(0)=0,\quad\hbox{এবং}\quad \sin'(0)=1।}

এটি আমাদের দেয় ধারাটি:

পার্স করতে ব্যর্থ (সিনট্যাক্স ত্রুটি): {\displaystyle \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nx^{2n+1}}{(2n+1)!} = x-{x^3\over3!}+ {x^5\over5!} -{x^7\over7!}+\dots।}