কোয়ান্টাম জগৎ/সম্ভাব্যতা

সম্ভাব্যতা

প্রাথমিক ধারণা

সম্ভাব্যতা হলো কোনো ঘটনার ঘটার সম্ভাবনার সংখ্যাসূচক পরিমাপ। যদি কোনো ঘটনার সম্ভাব্যতা হয় ১ (অথবা ১০০%), তাহলে সেটি অবশ্যই ঘটবে। আর যদি সম্ভাব্যতা হয় ০, তাহলে সেটি নিশ্চিতভাবেই ঘটবে না। এবং যদি সম্ভাব্যতা হয় ১/২ (অথবা ৫০%), তাহলে ঘটার এবং না ঘটার সমান সুযোগ আছে।

আপনি জানেন যে, একটি সঠিক মুদ্রা নিক্ষেপ করলে মুখ আসার সম্ভাব্যতা ১/২ এবং একটি সঠিক ছক্কা নিক্ষেপ করলে ১ আসার সম্ভাব্যতা ১/৬। এটা আমরা কীভাবে জানি?

একটি নীতি আছে যার নাম অবজ্ঞার নীতি, যা বলে: যদি n সংখ্যক পরস্পরবিরোধী এবং একসাথে সব সম্ভাব্যতা অন্তর্ভুক্ত থাকে, এবং আমরা জানি না ঐ nটি সম্ভাবনার মধ্যে নাম ছাড়া অন্য কোনো পার্থক্য নেই (যেমন "মুখ" বা "টেলস"), তাহলে প্রত্যেকটি সম্ভাব্যতাকে ১/n সম্ভাব্যতা দেওয়া উচিত। (পরস্পরবিরোধী মানে একবার পরীক্ষায় শুধু একটি সম্ভাবনা ঘটতে পারে। একসাথে সব সম্ভাব্য মানে একবার পরীক্ষায় কমপক্ষে একটি সম্ভাবনা অবশ্যই ঘটবে। পরস্পরবিরোধী এবং একসাথে সব সম্ভাব্য মানে একবার পরীক্ষায় ঠিক একটি সম্ভাবনা ঘটবে।)

এই নীতি আমাদের 'জ্ঞান' এর ওপর ভিত্তি করে, তাই এটি 'জ্ঞানগত' (অর্থাৎ 'বৈষয়িক') সম্ভাব্যতার সঙ্গে সম্পর্কিত বা 'বিশ্বাসের মাত্রা'। যদি আপনি কোনো বক্তব্যের সত্যতা নিয়ে নিশ্চিত হন, তাহলে আপনি সেটাকে সম্ভাব্যতা ১ দেবেন। যদি আপনি নিশ্চিত হন যে কোনো বক্তব্য মিথ্যা, তাহলে সেটাকে সম্ভাব্যতা ০ দেবেন। আর যদি আপনার কাছে এমন কোনো তথ্য না থাকে যা আপনাকে বিশ্বাস করায় যে কোনো বক্তব্য সত্য হওয়ার সম্ভাবনা মিথ্যা হওয়ার থেকে বেশি (বা কম), তাহলে আপনি সেটাকে সম্ভাব্যতা ১/২ দেবেন। তাই, বিশ্বাসের মাত্রা বা 'জ্ঞানগত সম্ভাব্যতা'কে 'অজ্ঞতা ভিত্তিক সম্ভাব্যতা'ও বলা হয়: আপনি যদি সম্ভাবনার মধ্যে পার্থক্য জানেন না, তাহলে সমান সম্ভাব্যতা দেবেন।

যদি আমরা কোনো বক্তব্যকে ১ সম্ভাব্যতা দিই কারণ আমরা বিশ্বাস করি সেটি সত্য, তাহলে তা হলো 'বৈষয়িক' সম্ভাব্যতা। আর যদি কোনো ঘটনাকে ১ সম্ভাব্যতা দিই কারণ সেটি নিশ্চিতভাবে ঘটবে, তাহলে তা হলো 'বস্তুগত' সম্ভাব্যতা। কোয়ান্টাম মেকানিক্সের আগ পর্যন্ত, বস্তুগত সম্ভাব্যতার একমাত্র পরিচিত রূপ ছিল 'আনুপাতিক ঘনত্ব'।

সংখ্যাগত ঘনত্ব ভিত্তিক সম্ভাব্যতার সুবিধা হলো আমরা প্রায় সঠিকভাবে সম্ভাব্যতা পরিমাপ করতে পারি। সমস্যাটি হলো এটি 'সমষ্টি' সম্পর্কে কথা বলে। আপনি একবার মুদ্রা নিক্ষেপ করে মুখের সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করতে পারবেন না। বড় সংখ্যক (N) মুদ্রা নিক্ষেপ করে, এবং মুখের সংখ্যা (N_H) ভাগ করে N দিয়ে, আমরা মুখ আসার সম্ভাব্যতার কাছাকাছি মান পাই। মুখ আসার সঠিক সম্ভাব্যতা হলো সীমা

$p(H)=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {N_{H}}{N}}.$

এই সূত্রের মানে হলো, যেকোন ছোট ধনাত্মক সংখ্যা $\epsilon$ এর জন্য, আপনি এমন একটি (যথেষ্ট বড় কিন্তু সীমিত) সংখ্যা $N$ খুঁজে পাবেন যাতে

$\left|p(H)-{\frac {N_{H}}{N}}\right|<\epsilon .$

পরস্পরবিরোধী এবং একসাথে সব সম্ভাবনা সহ $n$ সম্ভাব্য ঘটনাগুলোর মধ্যে থেকে $m$টি ঘটার সম্ভাব্যতা হলো ঐ $m$ ঘটনার সম্ভাব্যতার যোগফল। ধরুন, আপনি জিতবেন যদি আপনি ১ অথবা ৬ আসেন। তখন জয়ের সম্ভাব্যতা হবে

$p(1{\hbox{ or }}6)=p(1)+p(6)={\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}.$

সংখ্যাগত ঘনত্বের দৃষ্টিকোণ থেকে এটি স্পষ্ট। $N(1)/N$ প্রায় $p(1)$, $N(6)/N$ প্রায় $p(6)$, এবং $[N(1)+N(6)]/N$ প্রায় $p(1{\hbox{ or }}6)$।

দুইটি 'স্বাধীন' ঘটনার একসাথে ঘটার সম্ভাব্যতা হলো একক ঘটনার সম্ভাব্যতার গুণফল। ধরুন, আপনি দুইটি ছক্কা নিক্ষেপ করছেন এবং মোট যোগফল ১২ হলে আপনি জিতবেন। তাহলে

$p(6{\hbox{ and }}6)=p(6)\times p(6)={\frac {1}{6}}\times {\frac {1}{6}}={\frac {1}{36}}.$

অবজ্ঞার নীতির ভিত্তিতে, এখন মোট $6\times 6=36$ সমান সম্ভাব্য ঘটনা রয়েছে, এবং দুই ছক্কায় ১২ আসা তার মধ্যে একটি।

মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে, দুই ঘটনার যৌথ সম্ভাব্যতা $p(A,B)=p(A{\hbox{ and }}B)$ তাদের ব্যক্তিগত সম্ভাব্যতার গুণফল হবে শুধুমাত্র যদি ওই দুই ঘটনা স্বাধীন হয়, অর্থাৎ একটির সম্ভাব্যতা অন্যটার ওপর নির্ভর না করে। প্রস্তাবের ক্ষেত্রে: $P_{1}{\hbox{ and }}P_{2}$ সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতা হবে $P_{1}$ সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতা গুণ $P_{2}$ সত্য হওয়ার সম্ভাব্যতা শুধুমাত্র যদি $P_{1}$ অথবা $P_{2}$ এর সত্যতা পরস্পরের ওপর নির্ভর না করে। এই নিয়ম না মানলে খুব দুঃখজনক ফলাফল হতে পারে।

দুই ঘটনার যৌথ সম্ভাব্যতার সাধারণ সূত্র হলো

$p(A,B)=p(B|A)\,p(A)=p(A|B)\,p(B).$

এখানে $p(B|A)$ হলো শর্তসাপেক্ষ সম্ভাব্যতা — অর্থাৎ $A$ ঘটার পর $B$ ঘটার সম্ভাব্যতা।

এর ব্যাখ্যা দিতে, ধরুন $N(A,B)$ হলো সেই পরীক্ষার সংখ্যা যেখানে উভয় ঘটনা $A$ এবং $B$ ঘটেছে। তখন $N(A,B)/N$ প্রায় $p(A,B)$, $N(A,B)/N(A)$ প্রায় $p(B|A)$, এবং $N(A)/N$ প্রায় $p(A)$।

তাই,

$p(A,B)\;{\stackrel {N\to \infty }{\longleftarrow }}\;{\frac {N(A,B)}{N}}={\frac {N(A,B)}{N(A)}}\times {\frac {N(A)}{N}}\;{\stackrel {N\to \infty }{\longrightarrow }}\;p(B|A)\,p(A).$

এর একটি তাৎক্ষণিক ফলাফল হলো 'বেজের নিয়ম' (Bayes' theorem):

$p(B|A)={\frac {p(A|B)}{p(A)}}p(B).$

আরো একটি সমীকরণ হলো:

$p(X)=p(X|Y)\,p(Y)+p(X|{\overline {Y}})\,p({\overline {Y}}),$

যেখানে ${\overline {Y}}$ হলো $Y$ এর পরিপূরক — অর্থাৎ যখন $Y$ ঘটে না।

এখন যদি $n>2$ পরস্পরবিরোধী এবং একসাথে সব সম্ভাব্যতা থাকে, তাহলে এই সূত্রকে সহজে বিস্তৃত করা যায়।

---

ধরা যাক একটি 'যাদৃচ্ছিক পরিবর্তনশীল' আছে, যা হলো সংখ্যার একটি সেট $X=\{x_{1},\dots ,x_{n}\}$। আমরা এর গড় বা 'গাণিতিক গড়' জানতে চাই

$\langle X\rangle ={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}x_{k}={\frac {x_{1}+\cdots +x_{n}}{n}}$

এবং এর 'প্রমিত বিচ্যুতি', যা হলো গাণিতিক গড় থেকে প্রত্যেক মানের দূরত্বের বর্গমূলের গড়,

$\sigma (X)={\sqrt {{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}}.$

প্রমিত বিচ্যুতি হলো 'পরিসংখ্যানিক বিস্তার' পরিমাপের একটি গুরুত্বপূর্ণ মান।

ধরা যাক $n$টি সম্ভাব্য পরিমাপের ফলাফল $v_{1},\dots ,v_{n}$ যার সম্ভাব্যতা $p_{k}=p(v_{k})$, তখন আমাদের কাছে সম্ভাব্যতা বণ্টন $\{p_{1},\dots ,p_{n}\}$ থাকে এবং আমরা এর প্রত্যাশিত মান জানতে চাই,

$\langle X\rangle =\sum _{k=1}^{n}p_{k}x_{k}$

সাথে তার প্রমিত বিচ্যুতি

$\sigma (X)={\sqrt {\sum _{k=1}^{n}p_{k}(x_{k}-\langle X\rangle )^{2}}},$

যা $X$ এর অস্পষ্টতার একটি সহজে ব্যবহারযোগ্য মাপকাঠি।

আমরা সম্ভাব্যতাকে একটি সংখ্যাসূচক সম্ভাবনার মাত্রা হিসেবে সংজ্ঞায়িত করেছি। তাহলে সম্ভাবনা কী? সংখ্যাসূচক মাত্রা ছাড়া সম্ভাবনা কী? সংখ্যাগত ঘনত্ব সংজ্ঞা কিছু ক্ষেত্রে প্রযোজ্য, জ্ঞানগত সংজ্ঞা অন্য ক্ষেত্রে, কিন্তু সব ক্ষেত্রেই প্রযোজ্য এমন কোনো সংজ্ঞা কি আছে? মনে হয় সম্ভাবনা এমন একটি ধারণা যা আমাদের স্বজ্ঞাত অর্থবোধক, কিন্তু — যেমন সময় বা বেগুনি রঙের অভিজ্ঞতা — অন্য ধারণার মাধ্যমে ব্যাখ্যা করা সম্ভব নয়।