কোয়ান্টাম জগৎ/ভেক্টর

ভেক্টর (স্থানিক)

একটি ভেক্টর এমন একটি পরিমাণ যা একটি মান (magnitude) এবং একটি দিক (direction) উভয়ই ধারণ করে। ভেক্টরগুলোকে তীরচিহ্ন (arrow) হিসেবে কল্পনা করা যায়। নিচের চিত্রে একটি ভেক্টর $\mathbf {a}$ এর উপাদানসমূহ $(a_{x},a_{y},a_{z})$ কিভাবে বোঝানো হয় তা দেখানো হয়েছে।

দুইটি ভেক্টরের যোগফল $\mathbf {a} +\mathbf {b}$ এর উপাদানসমূহ হয় $(a_{x}+b_{x},a_{y}+b_{y},a_{z}+b_{z})$।

• তীরচিহ্ন ব্যবহার করে ভেক্টর যোগফল ব্যাখ্যা কর।

দুইটি ভেক্টরের ডট গুণফল হয় নিচের সংখ্যাটি:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z}.$

এর গুরুত্ব এই কারণে যে এটি ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তিত। এটি বোঝাতে আমরা হিসাব করি:

$(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(a_{x}+b_{x})^{2}+(a_{y}+b_{y})^{2}+(a_{z}+b_{z})^{2}=$

$a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}+b_{x}^{2}+b_{y}^{2}+b_{z}^{2}+2\,(a_{x}b_{x}+a_{y}b_{y}+a_{z}b_{z})=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} +2\,\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} .$

পিথাগোরাসের উপপাদ্য অনুযায়ী $\mathbf {a}$ ভেক্টরের মান (magnitude) হলো $a={\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$। যদি আমরা ভিন্ন একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় যাই, তাহলে $\mathbf {a}$ এর উপাদানগুলো হবে $(a'_{x},a'_{y},a'_{z})$, কিন্তু যদি নতুন স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা শুধুমাত্র ঘূর্ণন বা স্থানান্তরের মাধ্যমে ভিন্ন হয়, তাহলে ভেক্টরের মান অপরিবর্তিত থাকবে:

${\sqrt {a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}={\sqrt {(a'_{x})^{2}+(a'_{y})^{2}+(a'_{z})^{2}}}.$

অতএব $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} ,\mathbf {b} \cdot \mathbf {b}$ এবং $(\mathbf {a} +\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} +\mathbf {b} )$ এর বর্গমূল মান ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তিত, ফলে $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$-ও তাই।

• ডট গুণফল স্থানান্তরের অধীনেও অপরিবর্তিত তা দেখাও।

যেহেতু একটি স্কেলার হলো এমন একটি সংখ্যা যা নির্দিষ্ট রূপান্তরের (এক্ষেত্রে ঘূর্ণন এবং স্থানান্তর) অধীনে অপরিবর্তিত থাকে, তাই ডট গুণফলকে বলা হয় স্কেলার গুণফল। এখন আমরা প্রমাণ করি:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab\cos \theta ,$

যেখানে $\theta$ হলো $\mathbf {a}$ এবং $\mathbf {b}$ এর মধ্যকার কোণ। একটি স্থানাঙ্ক ব্যবস্থা ${\mathcal {F}}$ নিই যেখানে $\mathbf {a} =(a,0,0)$ এবং সেক্ষেত্রে $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =ab_{x}$ যেখানে $b_{x}=b\cos \theta$। যেহেতু $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$ একটি স্কেলার এবং স্কেলার ঘূর্ণন ও স্থানান্তরের অধীনে অপরিবর্তিত, তাই এই ফলাফলটি সকল স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার জন্য সত্য।

এখন আমরা একক ভেক্টর $\mathbf {\hat {x}} ,\mathbf {\hat {y}} ,\mathbf {\hat {z}}$ পরিচয় করিয়ে দিই, যাদের দিক নির্ধারিত স্থানাঙ্ক অক্ষদ্বারা। এদের অর্থোনরমাল বেসিস বলা হয়। অর্থো কারণ এরা পরস্পর লম্বভাবে অর্পিত:

$\mathbf {\hat {x}} \cdot \mathbf {\hat {y}} =\mathbf {\hat {x}} \cdot \mathbf {\hat {z}} =\mathbf {\hat {y}} \cdot \mathbf {\hat {z}} =0.$

নরমাল কারণ এরা একক ভেক্টর:

$\mathbf {\hat {x}} \cdot \mathbf {\hat {x}} =\mathbf {\hat {y}} \cdot \mathbf {\hat {y}} =\mathbf {\hat {z}} \cdot \mathbf {\hat {z}} =1.$

এবং বেসিস কারণ প্রতিটি ভেক্টর $\mathbf {v}$ এই তিনটি ভেক্টরের রৈখিক সংযোজন হিসেবে প্রকাশ করা যায়:

$\mathbf {v} =v_{x}\mathbf {\hat {x}} +v_{y}\mathbf {\hat {y}} +v_{z}\mathbf {\hat {z}} .$

সহজেই দেখা যায় $v_{x}=\mathbf {\hat {x}} \cdot \mathbf {v} ,$ $v_{y}=\mathbf {\hat {y}} \cdot \mathbf {v} ,$ $v_{z}=\mathbf {\hat {z}} \cdot \mathbf {v} ,$ তাই:

$\mathbf {v} =\mathbf {\hat {x}} \,(\mathbf {\hat {x}} \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {\hat {y}} \,(\mathbf {\hat {y}} \cdot \mathbf {v} )+\mathbf {\hat {z}} \,(\mathbf {\hat {z}} \cdot \mathbf {v} ).$

একটি বিশেষভাবে গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা (তবে কেবলমাত্র ৩-মাত্রিক ক্ষেত্রে প্রযোজ্য) হলো দুইটি ভেক্টরের ক্রস গুণফল:

$\mathbf {a} \times \mathbf {b} =(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\,\mathbf {\hat {x}} +(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\,\mathbf {\hat {y}} +(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\,\mathbf {\hat {z}} .$

• প্রমাণ কর যে ক্রস গুণফল প্রতিন্যাসতামূলক: $\mathbf {a} \times \mathbf {b} =-\mathbf {b} \times \mathbf {a}$।

ফলে, $\mathbf {a} \times \mathbf {a} =0$।

• প্রমাণ কর যে $\mathbf {a} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=0$।

অতএব, $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ উভয় $\mathbf {a}$ এবং $\mathbf {b}$ এর লম্ব।

• প্রমাণ কর যে $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ এর মান $ab\sin \alpha$, যেখানে $\alpha$ হলো $\mathbf {a}$ ও $\mathbf {b}$ এর কোণ। ইঙ্গিত: $\mathbf {a} =(a,0,0)$ এবং $\mathbf {b} =(b\cos \alpha ,b\sin \alpha ,0)$ হিসেবে নাও।

যেহেতু $ab\sin \alpha$ একইসঙ্গে $\mathbf {a}$ ও $\mathbf {b}$ দ্বারা বিস্তৃত সমান্তরালচতুষ্ভুজের ক্ষেত্রফল $A$, তাই $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ কে $P$ তলের লম্বমান এবং মান $A$ বিশিষ্ট একটি ভেক্টর হিসেবে ভাবা যায়। যেহেতু ক্রস গুণফল একটি ভেক্টর প্রদান করে, এটিকে ভেক্টর গুণফল বলেও ডাকা হয়।

(আমরা এখানে ক্রস গুণফল ঘূর্ণন ও স্থানান্তরের অধীনে অপরিবর্তিত তা প্রমাণ করছি না, যদিও তা একটি প্রকৃত ভেক্টর হওয়ার জন্য প্রয়োজন। তবে বলে রাখা ভালো, যদি $\mathbf {a}$ ও $\mathbf {b}$ হয় ধ্রুব (polar) ভেক্টর, তবে $\mathbf {a} \times \mathbf {b}$ হবে অক্ষীয় (axial) ভেক্টর। একটি axial vector প্রতিফলন (যেমন, একটি স্থানাঙ্ক অক্ষ উল্টানো) এর অধীনে চিহ্ন পরিবর্তন করে, যেখানে ধ্রুব ভেক্টর অপরিবর্তিত থাকে।)

একটি উপযোগী সম্পর্ক নিচে দেওয়া হলো, যেখানে স্কেলার ও ভেক্টর গুণফল উভয়ই আছে:

$\mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} (\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} .$