কোয়ান্টাম জগৎ/ফেইনম্যান রুট/কোয়ান্টাম থেকে ধ্রুপদী

কোয়ান্টাম থেকে ধ্রুপদী

ক্রিয়া

আসুন আমরা আবার ফিরে যাই প্রচারকের সূত্রে:

$\langle B|A\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,Z[{\mathcal {C}}:A\rightarrow B].$

একটি নিঃশুল্ক এবং স্থিতিশীল কণার জন্য আমরা পেয়েছিলাম:

$Z[{\mathcal {C}}]=e^{-(i/\hbar )\,m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]},\qquad s[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}ds,$

যেখানে $ds={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})/c^{2}}}$ হল পথ উপাদান $d{\mathcal {C}}$ এর সঙ্গে সম্পর্কিত যথাযথ-সময় অন্তরাল (proper-time interval)। সাধারণ ক্ষেত্রে, আমরা দেখেছিলাম যে বিস্তার $Z(d{\mathcal {C}})$ একটি ফাংশন $t,x,y,z$ এবং $dt,dx,dy,dz$ অথবা, সমতুল্যভাবে, স্থান-কাল স্থানাঙ্ক $t,x,y,z$, চতুর্ভুজ বেগের উপাদানসমূহ $c\,dt/ds,dx/ds,dy/ds,dz/ds$ এবং $ds$ এর। একটি কণা যদি স্থিতিশীল হয় কিন্তু নিঃশুল্ক না হয়, তাহলে আমরা একই যুক্তির মাধ্যমে পাই:

$Z[{\mathcal {C}}]=e^{(i/\hbar )\,S[{\mathcal {C}}]},$

এখানে আমরা $S[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}dS$ ফাংশনালটি সংজ্ঞায়িত করি, যাকে বলা হয় ক্রিয়া (Action)।

একটি নিঃশুল্ক ও স্থিতিশীল কণার জন্য, $S[{\mathcal {C}}]$ হচ্ছে যথাযথ সময় (বা যথাযথ সময়কাল) $s[{\mathcal {C}}]=\int _{\mathcal {C}}ds$ গুণিত $-mc^{2}$ দ্বারা, এবং অতিক্ষুদ্র ক্রিয়া $dS[d{\mathcal {C}}]$ সমানুপাতিক $ds$-এর সঙ্গে:

$S[{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}],\qquad dS[d{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,ds.$

আসুন সংক্ষেপ করি। একটি স্থিতিশীল কণার গতি সম্পর্কে আমাদের সম্পূর্ণ জ্ঞান আছে যদি আমরা জানি কীভাবে $p(B|A)$ (সকল পরিস্থিতিতে) গণনা করতে হয়। এটি জানা থাকলে আমরা $\langle B|A\rangle$ বিস্তার জানি। এটি জানা থাকলে আমরা $Z[{\mathcal {C}}]$ ফাংশনাল জানি। আর এটি জানা থাকলে আমরা জানি অতিক্ষুদ্র ক্রিয়া $dS(t,x,y,z,dt,dx,dy,dz)$ অথবা $dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} )$।

আমরা $dS$ সম্পর্কে কী জানি?

ক্রমাগত প্রচারকদের গুণনীয়তার বৈশিষ্ট্য বলে যে, সংলগ্ন অতিক্ষুদ্র পথ খণ্ড $d{\mathcal {C}}_{1}$ এবং $d{\mathcal {C}}_{2}$ এর ক্রিয়া যোগফল যোগফলীয় হবে:

$e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{1}+d{\mathcal {C}}_{2})}=e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{2})}\,e^{(i/\hbar )\,dS(d{\mathcal {C}}_{1})}$

যার মানে:

$dS(d{\mathcal {C}}_{1}+d{\mathcal {C}}_{2})=dS(d{\mathcal {C}}_{1})+dS(d{\mathcal {C}}_{2}).$

এর ফলে $dS$ হল $dt,d\mathbf {r}$ এর মধ্যে প্রথম শ্রেণির সমানুপাতিক (homogeneous of degree 1):

$dS(t,\mathbf {r} ,\lambda \,dt,\lambda \,d\mathbf {r} )=\lambda \,dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} ).$

এই বৈশিষ্ট্যটি $S[{\mathcal {C}}]$ কে একটি কণাভিত্তিক দৈর্ঘ্য এবং $dS$ কে একটি কণাভিত্তিক স্থানকাল জ্যামিতি হিসাবে ভাবতে দেয়। $\lambda =1/dt$ বসালে পাই:

$dS(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )={\frac {dS}{dt}}.$

তাহলে বাম পাশে আর $dS$ লেখা উচিত নয়, বরং এটিকে বলা উচিত একটি ফাংশন, যাকে বলা হয় ল্যাগরেঞ্জ ফাংশন $L(t,\mathbf {r} ,\mathbf {v} )$, যাতে $dS=L\,dt$।

ভূগোলীয় রেখার সমীকরণ

ধরা যাক একটি পথ ${\mathcal {C}}$ $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত। আমরা এই পথটিকে সামান্য পরিবর্তন করি যেন প্রত্যেক বিন্দু $(t,\mathbf {r} )$ সরে যায় $(t+\delta t,\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} )$ তে, তবে প্রান্তদ্বয় $A$ ও $B$ স্থির থাকে: $\delta t=0$ এবং $\delta \mathbf {r} =0$।

তখন $dt\rightarrow dt+d\delta t$ এবং $d\mathbf {r} \rightarrow d\mathbf {r} +d\delta \mathbf {r}$।

সাধারণভাবে, এই পরিবর্তনের ফলে ক্রিয়ার পরিবর্তন হয়: $S[{\mathcal {C}}]\rightarrow S[{\mathcal {C}}']\neq S[{\mathcal {C}}]$। তবে যদি $S$ অপরিবর্তিত থাকে, অর্থাৎ ${\mathcal {C}}$ তে এটি স্থিতিশীল হয়, তাহলে:

$\delta S=\int _{{\mathcal {C}}'}dS-\int _{\mathcal {C}}dS=0,$

তাহলে ${\mathcal {C}}$ একটি ভূগোলীয় রেখা (geodesic)। একটি ফাংশন $f(x)$ তখনই স্থিতিশীল, যখন $x$ সামান্য পরিবর্তিত হলেও $f(x)$ অপরিবর্তিত থাকে। একইভাবে, একটি ফাংশনাল $S[{\mathcal {C}}]$ স্থিতিশীল যদি ${\mathcal {C}}$ সামান্য পরিবর্তিত হলেও মান না বদলায়।

ভূগোলীয় রেখার জন্য আরও সুবিধাজনক একটি রূপ পেতে আমরা প্রসারণ করি:

$dS({\mathcal {C}}')=dS(t+\delta t,\mathbf {r} +\delta \mathbf {r} ,dt+d\delta t,d\mathbf {r} +d\delta \mathbf {r} )$

$=dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} )+{\frac {\partial dS}{\partial t}}\,\delta t+{\frac {\partial dS}{\partial \mathbf {r} }}\cdot \delta \mathbf {r} +{\frac {\partial dS}{\partial dt}}\,d\delta t+{\frac {\partial dS}{\partial d\mathbf {r} }}\cdot d\delta \mathbf {r} .$

এতে পাই:

$(^{*})\quad \int _{{\mathcal {C}}'}dS-\int _{\mathcal {C}}dS=\int _{\mathcal {C}}\left[{\partial dS \over \partial t}\delta t+{\partial dS \over \partial \mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} +{\partial dS \over \partial dt}d\,\delta t+{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot d\,\delta \mathbf {r} \right].$

এখন ব্যবহৃত হয় গুণনীয়কের জন্য উৎপাদকের সূত্র:

$d\left({\partial dS \over \partial dt}\delta t\right)=\left(d{\partial dS \over \partial dt}\right)\delta t+{\partial dS \over \partial dt}d\,\delta t,$

$d\left({\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} \right)=\left(d{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\right)\cdot \delta \mathbf {r} +{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot d\,\delta \mathbf {r} ,$

এই সূত্র বসালে পাই:

$\delta S=\int \left[\left({\partial dS \over \partial t}-d{\partial dS \over \partial dt}\right)\delta t+\left({\partial dS \over \partial \mathbf {r} }-d{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\right)\cdot \delta \mathbf {r} \right]+\int d\left({\partial dS \over \partial dt}\delta t+{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }\cdot \delta \mathbf {r} \right).$

শেষ ইন্টেগ্রালটি $A$ ও $B$-তে $\delta t=0$ এবং $\delta \mathbf {r} =0$ হওয়ায় শূন্য হয়। যদি ${\mathcal {C}}$ একটি ভূগোলীয় রেখা হয়, তাহলে প্রথম ইন্টেগ্রালটিও শূন্য। কারণ যেকোনো (অত্যল্প) $\delta t$ ও $\delta \mathbf {r}$ এর জন্য $\delta S=0$ হতে হবে। অর্থাৎ, প্রথম ইন্টেগ্রালের অন্তর্গত অংশ শূন্য:

${\partial dS \over \partial t}=d\,{\partial dS \over \partial dt},\qquad {\partial dS \over \partial \mathbf {r} }=d\,{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }.$

সর্বনিম্ন ক্রিয়ার নীতি

যদি কোনো বস্তুকণিকা $A$ থেকে $B$ অবধি গমন করে, তাহলে এটি $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত সকল সম্ভাব্য পথ ধরে গমন করে — ঠিক যেভাবে একটি ইলেকট্রন উভয় স্লিট দিয়েই যায়। তবে, কিভাবে একটি বৃহৎ বস্তু (যেমন একটি গ্রহ, টেনিস বল, বা মশা) একটি সুস্পষ্ট এবং নির্দিষ্ট পথে গমন করে বলে মনে হয়?

এর অন্তত দুটি কারণ রয়েছে। একটি হলো, কোনো বস্তুর ভর যত বড় হয়, নিয়ম $B$ অনুযায়ী যে শর্তসমূহ পূরণ করতে হয় তা পূরণ করা তত কঠিন হয়ে যায়। আরেকটি কারণ হলো, যদি এই শর্তগুলো পূরণ হয়ও, তবুও যেসব জায়গায় শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের নিয়ম অনুযায়ী বস্তুটি থাকার কথা নয়, সেখানে একটি ভরযুক্ত বস্তুকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা তার ভরের সাথে সাথে হ্রাস পায়।

এটি বোঝার জন্য আমাদের একটি বিষয় বিবেচনায় নিতে হবে — তা হলো, কোনো বস্তু $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত একটি নির্ভুল গাণিতিক পথ ${\mathcal {C}}$ ধরে গিয়েছে কি না তা সঠিকভাবে যাচাই করা অসম্ভব। আমরা আধা-বাস্তববাদী একটি ধারণা গ্রহণ করতে পারি, যেখানে আমরা শুধুমাত্র যাচাই করতে পারি বস্তুটি $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত একটি সরু পথগুচ্ছ — একটি সরু নল ${\mathcal {T}}$ — এর ভেতর দিয়ে গিয়েছে কি না। বস্তুটি আসলে এর ভেতর দিয়ে গিয়েছে কি না, তার সম্ভাবনা হচ্ছে পথ অখণ্ডন $I({\mathcal {T}})=\int _{\mathcal {T}}{\mathcal {DC}}e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]},$ এর নিত্যমান।

ধরি, $A$ থেকে $B$ পর্যন্ত এমন একটি পথই কেবলমাত্র আছে যেটির জন্য $S[{\mathcal {C}}]$ স্থিতিশীল (stationary): অর্থাৎ পথটিতে অল্প পরিমাণ পরিবর্তন ঘটালেও তার দৈর্ঘ্য পরিবর্তিত হয় না। অর্থাৎ একটি একক ভূগলিতরেখা (geodesic) বিদ্যমান, আমরা সেটিকে ${\mathcal {G}}$ বলি, এবং ধরে নিই এটি ${\mathcal {T}}$ এর মধ্যে অবস্থিত।

যতোই দ্রুত $S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ এর ধাপ পরিবর্তন হোক না কেন, ${\mathcal {G}}$ এর ক্ষেত্রে এটি স্থির থাকে। এর মানে হলো, ${\mathcal {G}}$ এর নিকটবর্তী বহু পথই প্রায় সমান ধাপে (phase) $I({\mathcal {T}})$ তে অবদান রাখে। ফলে সংশ্লিষ্ট ধাপীয় ঘাত (phase factor) $e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]}$ এর যোগফলের মান বড় হয়।

যদি $S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ ${\mathcal {C}}$ এর ক্ষেত্রে স্থির না থাকে, তাহলে বিষয়টি নির্ভর করে এর ধাপ কীভাবে পরিবর্তিত হয় তার উপর। যদি এই পরিবর্তন যথেষ্ট দ্রুত হয়, তবে ${\mathcal {C}}$ এর নিকটবর্তী পথগুলোর ধাপ $[0,2\pi ]$ পরিসরে সমভাবে বিতরণ হয়, ফলে এগুলোর যোগফল তুলনামূলকভাবে ছোট মানের একটি জটিল সংখ্যা হয়। সীমায় $S[{\mathcal {C}}]/\hbar \rightarrow \infty$ হলে, কেবলমাত্র ${\mathcal {G}}$ এর আশেপাশের পথগুলোই $I({\mathcal {T}})$ এ উল্লেখযোগ্য অবদান রাখে।

আমরা ধরেছি ${\mathcal {G}}$ ${\mathcal {T}}$ এর মধ্যে পড়ে। যদি তা না পড়ে, এবং যদি $S[{\mathcal {C}}]/\hbar$ যথেষ্ট দ্রুত পরিবর্তিত হয়, তাহলে ${\mathcal {T}}$ এর মধ্যে যেকোনো পথের নিকটবর্তী ধাপসমূহ $[0,2\pi ]$ পরিসরে প্রায় সমভাবে বিতরণ হয়, ফলে সীমায় $S[{\mathcal {C}}]/\hbar \rightarrow \infty$ তে $I({\mathcal {T}})$ এর জন্য কোনো উল্লেখযোগ্য অবদান থাকে না।

একটি মুক্ত কণার ক্ষেত্রে, মনে আছে তো, $S[{\mathcal {C}}]=-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]$। এখান থেকে বোঝা যায়, কোনো বস্তুকে এমন জায়গায় খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা, যেখানে শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের নিয়ম অনুযায়ী তার থাকার কথা নয়, বস্তুর ভরের সাথে সাথে হ্রাস পায়। যেহেতু একটি যথেষ্ট ভরযুক্ত বস্তুর গতির উপর বাহ্যিক প্রভাবের কারণে সৃষ্ট কর্ম (action) এর পরিমাণ $|-m\,c^{2}\,s[{\mathcal {C}}]|$ অপেক্ষা ছোট, তাই এমন বস্তুর ক্ষেত্রেও এই সত্য প্রযোজ্য।

তাহলে, শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের নিয়ম কী?

এই নিয়মগুলো হচ্ছে কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের সেই নিয়মগুলো, যেগুলো $\hbar \rightarrow 0$ সীমায় রূপান্তরিত হয়। উপরের আলোচনা থেকে বোঝা যায়, এই সীমায় একটি কণার সেই সরু নলের মধ্যে থাকার সম্ভাবনা, যা একটি ভূগলিতরেখা ধারণ করে, হবে ১; এবং সেইসব নলে থাকার সম্ভাবনা, যা কোনো ভূগলিতরেখা ধারণ করে না, হবে ০। অতএব, আমরা শাস্ত্রীয় পদার্থবিজ্ঞানের নিয়মগুলো (প্রথমে একটি "বিন্দু ভর" কণার জন্য) বলতে পারি এইভাবে — কণাটি সেই ভূগলিতরেখা অনুসরণ করে যা $dS$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতি নির্ধারণ করে।

এটি সহজেই সাধারণীকরণযোগ্য। যদি কোনো ব্যবস্থার $n$ টি স্বাধীনতা মাত্রা থাকে — যেমন একটি $m$-কণার ব্যবস্থা যার $n=3m$ মাত্রা — তাহলে এর প্রচারক (propagator) হবে

$\langle {\mathcal {P}}_{f},t_{f}|{\mathcal {P}}_{i},t_{i}\rangle =\int \!{\mathcal {DC}}\,e^{(i/\hbar )S[{\mathcal {C}}]},$

যেখানে ${\mathcal {P}}_{i}$ এবং ${\mathcal {P}}_{f}$ হচ্ছে যথাক্রমে প্রাথমিক সময় $t_{i}$ এবং চূড়ান্ত সময় $t_{f}$ এ ব্যবস্থাটির কনফিগারেশন, এবং ইন্টিগ্রালটি সেইসব পথের উপর সংযুক্ত যা $n{+}1$-মাত্রিক কনফিগারেশন-স্থানকাল $({\mathcal {P}}_{i},t_{i})$ থেকে $({\mathcal {P}}_{f},t_{f})$ পর্যন্ত বিস্তৃত। এই ক্ষেত্রেও, সংশ্লিষ্ট শাস্ত্রীয় ব্যবস্থা সেই ভূগলিতরেখা অনুসরণ করে যা কর্ম ডিফারেনশিয়াল $dS$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতি নির্ধারণ করে, যা বর্তমানে $n$ স্থানাঙ্ক, একটি সময়াঙ্ক, এবং $n{+}1$ ডিফারেনশিয়ালের উপর নির্ভরশীল।

যে বক্তব্য বলে যে একটি শাস্ত্রীয় ব্যবস্থা তার কর্ম দ্বারা সংজ্ঞায়িত জ্যামিতির ভূগলিতরেখা অনুসরণ করে, সেটিকে প্রায়ই "সর্বনিম্ন কর্মের নীতি" (principle of least action) বলা হয়। যদিও, আরো উপযুক্ত নাম হবে "স্থিতিশীল কর্মের নীতি" (principle of stationary action)।

শক্তি ও ভরবেগ

লক্ষ্য করুন, যদি $dS$ এর উপর $t$ এর নির্ভরতা না থাকে (অর্থাৎ, $\partial dS/\partial t=0$), তাহলে

$E=-{\partial dS \over \partial dt}$

জিওডেসিকে বরাবর ধ্রুবক থাকে। (ঋণাত্মক চিহ্নটির কারণ আমরা কিছুক্ষণের মধ্যেই দেখব।)

একইভাবে, যদি $dS$ এর উপর $\mathbf {r}$ এর নির্ভরতা না থাকে (অর্থাৎ, $\partial dS/\partial \mathbf {r} =0$), তাহলে

$\mathbf {p} ={\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }$

জিওডেসিকে বরাবর ধ্রুবক থাকে।

$E$ নির্দেশ করে যে, পথ ${\mathcal {C}}$ এর একটি ক্ষুদ্রাংশ $d{\mathcal {C}}$ এর সময় অক্ষ বরাবর প্রক্ষেপ $dt$ ${\mathcal {C}}$ এর অ্যাকশনের কতটুকু অবদান রাখে। $\mathbf {p}$ নির্দেশ করে যে, $d{\mathcal {C}}$ এর স্থান বরাবর প্রক্ষেপ $d\mathbf {r}$ $S[{\mathcal {C}}]$ এর কতটুকু অবদান রাখে। যদি $dS$ -এ সময়ের ওপর নির্ভরতা না থাকে, তাহলে সময় অক্ষের সমান ব্যবধানসমূহ $S[{\mathcal {C}}]$ তে সমান অবদান রাখে, আর যদি $dS$ -এ স্থানের ওপর নির্ভরতা না থাকে, তাহলে যেকোনো স্থানিক অক্ষের সমান ব্যবধানসমূহ $S[{\mathcal {C}}]$ তে সমান অবদান রাখে। প্রথম ক্ষেত্রে, সমান সময় ব্যবধানসমূহ "ভৌতভাবে সমতুল্য": তারা "সমান সময়কাল" বোঝায়। দ্বিতীয় ক্ষেত্রে, সমান স্থান ব্যবধানসমূহ "ভৌতভাবে সমতুল্য": তারা "সমান দূরত্ব" বোঝায়।

যদি সময় অথবা স্থানের সমান ব্যবধানসমূহ ভৌতভাবে সমতুল্য না হয়, তবে তার দুটি সম্ভাব্য কারণ আছে। প্রথমটি হলো, অ-নির্বিকরণাত্মক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ব্যবহার। কারণ, যদি নির্বিকরণাত্মক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থার ব্যবহার করা হয়, তবে প্রতিটি স্বাধীনভাবে চলমান বিন্দু ভর সময়ের সমান ব্যবধানে স্থানের সমান ব্যবধানে অগ্রসর হয়, যা বোঝায় যে সমান স্থানাঙ্ক ব্যবধানসমূহ ভৌতভাবে সমতুল্য। দ্বিতীয় কারণটি হলো, চলমান বস্তুটি স্বাধীনভাবে চলছে না: কোনো কিছু না কোনোভাবে তার গতিকে প্রভাবিত করছে। কারণ, কোয়ান্টাম পদার্থবিজ্ঞানের গাণিতিক কাঠামোর মধ্যে একটি বস্তুর গতির ওপর প্রভাব যুক্ত করার একটি উপায় হলো $dS$ কে $t$ এবং/অথবা $\mathbf {r}$ এর উপর নির্ভরশীল করে, যাতে নির্বিকরণাত্মক স্থানাঙ্ক ব্যবধানসমূহ ভৌতভাবে "অসমতুল্য" হয়ে যায়।

অতএব, একটি স্বাধীনভাবে চলমান শাস্ত্রীয় বস্তুর জন্য $E$ এবং $\mathbf {p}$ উভয়ই ধ্রুবক। যেহেতু $E$ এর ধ্রুবতা সময়ের সমান স্থানাঙ্ক ব্যবধানের ভৌত সমতুল্যতা (অর্থাৎ, সময়ের "সমরূপতা") থেকে উদ্ভূত হয়, এবং যেহেতু (শাস্ত্রীয়ভাবে) শক্তি এমন একটি রাশি যা সময়ের সমরূপতা থেকে ধ্রুবতারূপে সংজ্ঞায়িত, তাই $E$ হলো বস্তুটির শক্তি।

একইভাবে, যেহেতু $\mathbf {p}$ এর ধ্রুবতা যেকোনো স্থানিক অক্ষের সমান ব্যবধানের ভৌত সমতুল্যতা (অর্থাৎ, স্থানের "সমরূপতা") থেকে উদ্ভূত হয়, এবং যেহেতু (শাস্ত্রীয়ভাবে) ভরবেগ এমন একটি রাশি যা স্থানিক সমরূপতা থেকে ধ্রুবতারূপে সংজ্ঞায়িত, তাই $\mathbf {p}$ হলো বস্তুটির ভরবেগ।

চলুন আমরা একটি পূর্ববর্তী ফলাফলের পার্থক্য করি:

$dS(t,\mathbf {r} ,\lambda \,dt,\lambda \,d\mathbf {r} )=\lambda \,dS(t,\mathbf {r} ,dt,d\mathbf {r} ),$

$\lambda$ এর ক্ষেত্রে ব্যবকলন করলে বাম পাশে পাই:

${d(dS) \over d\lambda }={\partial dS \over \partial (\lambda dt)}dt+{\partial dS \over \partial (\lambda d\mathbf {r} )}\cdot d\mathbf {r} ,$

আর ডান পাশে পাই শুধু $dS$। $\lambda =1$ বসিয়ে $E$ ও $\mathbf {p}$ এর সংজ্ঞা ব্যবহার করে পাই:

$-E\,dt+\mathbf {p} \cdot d\mathbf {r} =dS.$

$dS=-m\,c^{2}\,ds$ একটি চতুর্বর্তী-স্কেলার। যেহেতু $(c\,dt,d\mathbf {r} )$ একটি চতুর্বর্তী-ভেক্টরের উপাদান, তাই বাম পাশে $-E\,dt+\mathbf {p} \cdot d\mathbf {r}$ একটি চতুর্বর্তী-স্কেলার হবে কেবল তখনই যখন $(E/c,\mathbf {p} )$ আরেকটি চতুর্বর্তী-ভেক্টরের উপাদান।

(যদি আমরা $E$ কে ঋণাত্মক চিহ্ন ছাড়া সংজ্ঞায়িত করতাম, তাহলে চতুর্বর্তী-ভেক্টর হতো $(-E/c,\mathbf {p} )$।)

একটি মুক্ত বিন্দু ভরের বিশ্রাম ফ্রেম ${\mathcal {F}}'$ এ $dt'=ds$ এবং $dS=-m\,c^{2}\,dt'$। লরেন্‌জ রূপান্তর ব্যবহার করে পাই:

$dS=-mc^{2}{dt-v\,dx/c^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=-{mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\,dt+{m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\cdot d\mathbf {r} ,$

যেখানে $\mathbf {v} =(v,0,0)$ হলো বিন্দু ভরের ${\mathcal {F}}$ তে বেগ। উপরোক্ত ঘেরবদ্ধ সমীকরণের সঙ্গে তুলনা করলে পাই:

$E={mc^{2} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\qquad \mathbf {p} ={m\mathbf {v} \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}\;.$

লরেন্‌জ বল সূত্র

একটি কণার গতির ওপর প্রভাব (কারণ নির্বিশেষে) অন্তর্ভুক্ত করতে হলে, আমাদের $d{\mathcal {C}}$ পথ অংশে একটি মুক্ত কণার অ্যাকশন ডিফারেনশিয়াল $dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}$ পরিবর্তন করতে হবে। এই পরিবর্তন এমনভাবে করতে হবে যেন পরিবর্তিত $dS$ (i) ডিফারেনশিয়ালগুলোর মধ্যে সমরূপতা বজায় রাখে এবং (ii) একটি চতুর্বর্তী-স্কেলার থাকে। সবচেয়ে সরল উপায় হলো স্থানাঙ্ক ডিফারেনশিয়ালগুলোর রৈখিক একটি পদ যোগ করা:

$(^{*})\quad dS=-mc^{2}\,dt{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}-qV(t,\mathbf {r} )\,dt+(q/c)\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )\cdot d\mathbf {r} .$

অবিশ্বাস্য মনে হলেও, এই অভিব্যক্তি সমস্ত শাস্ত্রীয় তড়িচ্চুম্বক প্রভাব (কারণ নয়) ব্যাখ্যা করে। এখানে $V(t,\mathbf {r} )$ একটি স্কেলার ক্ষেত্র (যা স্থানাঙ্ক ঘূর্ণনের অধীনে অপরিবর্তনশীল), $\mathbf {A} (t,\mathbf {r} )$ একটি ৩-ভেক্টর ক্ষেত্র, এবং $(V,\mathbf {A} )$ একটি ৪-ভেক্টর ক্ষেত্র। আমরা $V$ এবং $\mathbf {A}$ কে যথাক্রমে স্কেলার বিভব ও ভেক্টর বিভব বলি। কণা-নির্দিষ্ট ধ্রুবক $q$ হলো তড়িৎ আধান, যা নির্ধারণ করে একটি নির্দিষ্ট প্রজাতির কণা তড়িচ্চুম্বকীয় প্রভাবের প্রতি কতটা সংবেদনশীল।

যদি একটি বিন্দু ভর মুক্ত না হয়, তবে পূর্ববর্তী অংশের শেষে প্রদত্ত সমীকরণ থেকে তার গতিশক্তি $E_{k}$ এবং গতিশীল ভরবেগ $\mathbf {p} _{k}$ নির্ধারিত হয়। উপরের (*) সমীকরণকে রূপান্তর করে পাই:

$dS=-(E_{k}+qV)\,dt+[\mathbf {p} _{k}+(q/c)\mathbf {A} ]\cdot d\mathbf {r}$

এটি নিচের সংজ্ঞাগুলোর সঙ্গে তুলনা করে বসাই:

$(^{*}{}^{*})\quad E=-{\partial dS \over \partial dt},\qquad \mathbf {p} ={\partial dS \over \partial d\mathbf {r} },$

ফলে পাই:

$E=E_{k}+qV,\qquad \mathbf {p} =\mathbf {p} _{k}+(q/c)\mathbf {A} .$

এখানে $qV$ এবং $(q/c)\mathbf {A}$ কণার বিভব শক্তি ও বিভব ভরবেগ।

এরপর আমরা (**) বসাই ভূগোলীয় রেখার সমীকরণে:

${\partial dS \over \partial \mathbf {r} }=d\,{\partial dS \over \partial d\mathbf {r} }.$

ডানপাশে পাই:

$d\mathbf {p} _{k}+{q \over c}d\mathbf {A} =d\mathbf {p} _{k}+{q \over c}\left[dt{\partial \mathbf {A} \over \partial t}+\left(d\mathbf {r} \cdot {\partial \over \partial \mathbf {r} }\right)\mathbf {A} \right],$

আর বাম পাশে পাই:

$-q{\partial V \over \partial \mathbf {r} }dt+{q \over c}{\partial (\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} ) \over \partial \mathbf {r} }=-q{\partial V \over \partial \mathbf {r} }dt+{q \over c}\left[\left(d\mathbf {r} \cdot {\partial \over \partial \mathbf {r} }\right)\mathbf {A} +d\mathbf {r} \times \left({\partial \over \partial \mathbf {r} }\times \mathbf {A} \right)\right].$

দুটি পদ পরস্পরকে বাতিল করে, ফলে পাই:

$d\mathbf {p} _{k}=q\underbrace {\left(-{\partial V \over \partial \mathbf {r} }-{1 \over c}{\partial \mathbf {A} \over \partial t}\right)} _{\displaystyle \equiv \mathbf {E} }dt+d\mathbf {r} \times {q \over c}\underbrace {\left({\partial \over \partial \mathbf {r} }\times \mathbf {A} \right)} _{\displaystyle \equiv \mathbf {B} }=q\,\mathbf {E} \,dt+d\mathbf {r} \times {q \over c}\,\mathbf {B} .$

অর্থাৎ একটি শাস্ত্রীয় বস্তু $d{\mathcal {G}}$ পথাংশ বরাবর চললে, তার গতিশীল ভরবেগ $\mathbf {p} _{k}$ পরিবর্তিত হয় দুটি পদের সমষ্টি দ্বারা—একটি $dt$ এর সাথে এবং অপরটি $d\mathbf {r}$ এর সাথে সম্পর্কিত। এখানে $\mathbf {E}$ হলো তড়িৎ ক্ষেত্র এবং $\mathbf {B}$ হলো চুম্বক ক্ষেত্র। এটি সাধারণত লেখা হয়:

${d\mathbf {p} _{k} \over dt}=q\,\mathbf {E} +{q \over c}\,\mathbf {v} \times \mathbf {B} ,$

যা লরেন্‌জ বল সূত্র নামে পরিচিত। এর সঙ্গে এই ব্যাখ্যা দেওয়া হয়: সর্বত্র একটি তড়িচ্চুম্বক ক্ষেত্র বর্তমান, যা একটি আধান $q$ এর উপর তড়িৎ বল $q\mathbf {E}$ এবং চুম্বক বল $(q/c)\,\mathbf {v} \times \mathbf {B}$ প্রয়োগ করে।

(দ্রষ্টব্য: এই লরেন্‌জ বল সূত্রটি সেন্টিমিটার-গ্রাম-সেকেন্ড (CGS) একক পদ্ধতিতে প্রযোজ্য। MKSA একক পদ্ধতিতে এখানে $c$ অনুপস্থিত।)

শক্তি ও ভরসম্পন্ন কণার মধ্যে সম্পর্ক

একটি সাধারণ (ভরসম্পন্ন) কণার জন্য শক্তি ও ভরসংস্থানের সম্পর্ক হল:

$E^{2}=(pc)^{2}+(m_{0}c^{2})^{2}$

যেখানে:

• $E$ হলো মোট শক্তি,
• $p$ হলো ভরসংস্থান,
• $m_{0}$ হলো বিশ্রাম ভর,
• $c$ হলো আলোর বেগ।

ফোটনের জন্য, $m_{0}=0$, তাই এই সমীকরণটি ফোটনের ক্ষেত্রেও প্রযোজ্য:

$E=pc$

গামা-কিরণ এবং কম্পটন প্রভাব

ফোটনদের শক্তি নির্ভর করে তাদের ফ্রিকোয়েন্সির উপর, এবং গামা-কিরণ হলো উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি ও উচ্চ শক্তিসম্পন্ন ফোটন। যখন একটি গামা-কিরণ কোনো ইলেকট্রনের সাথে সংঘর্ষ করে, তখন তা কম্পটন প্রভাব ঘটায়। এই প্রভাবে ফোটনের শক্তি ও ভরসংস্থান আংশিকভাবে ইলেকট্রনের কাছে স্থানান্তরিত হয়।

কম্পটন প্রভাবের জন্য ব্যবহৃত সমীকরণটি হলো:

$\lambda '-\lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos \theta )$

যেখানে:

• $\lambda$ এবং $\lambda '$ যথাক্রমে সংঘর্ষ-পূর্ব ও পরবর্তী তরঙ্গদৈর্ঘ্য,
• $h$ হলো প্ল্যাঙ্ক ধ্রুবক,
• $m_{e}$ হলো ইলেকট্রনের বিশ্রাম ভর,
• $c$ হলো আলোর বেগ,
• $\theta$ হলো বিচ্যুতি কোণ।

ধ্রুপদী ব্যাখ্যার উৎস কোথায়?

একটি ছোট আয়তক্ষেত্র কল্পনা করুন স্থানকাল (spacetime)-এ, যার কোণগুলো হলো—

$A=(0,0,0,0),\;B=(dt,0,0,0),\;C=(0,dx,0,0),\;D=(dt,dx,0,0)$

চলুন দেখি, একক আধানের ($q=1$) জন্য, প্রাকৃতিক এককে ( $c=1$ ) $A$ থেকে $D$-তে যাওয়ার পথে, $B$-এর মধ্য দিয়ে, তড়িৎচুম্বকীয় অবদান কতটা থাকে:

$S_{ABD}=-V(dt/2,0,0,0)\,dt+A_{x}(dt,dx/2,0,0)\,dx$

$\quad =-V(dt/2,0,0,0)\,dt+\left[A_{x}(0,dx/2,0,0)+{\partial A_{x} \over \partial t}dt\right]dx$

এবার $A$ থেকে $D$-তে যাওয়ার পথে, $C$-এর মধ্য দিয়ে যাওয়ার ক্ষেত্রে তড়িৎচুম্বকীয় অবদান:

$S_{ACD}=A_{x}(0,dx/2,0,0)\,dx-V(dt/2,dx,0,0)\,dt$

$=A_{x}(0,dx/2,0,0)\,dx-\left[V(dt/2,0,0,0)+{\partial V \over \partial x}dx\right]dt$

এই দুই পথের পার্থক্য দেখি:

$\Delta S=S_{ACD}-S_{ABD}=\left(-{\partial V \over \partial x}-{\partial A_{x} \over \partial t}\right)dt\,dx=E_{x}\,dt\,dx$

অথবা, $\Delta S$-কে ভাবা যায় $A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A$ লুপটির তড়িৎচুম্বকীয় অবদান হিসেবে।

এবার আরেকটি ছোট আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রে একই গণনা করি, যার কোণগুলো—

$A=(0,0,0,0),\;B=(0,0,dy,0),\;C=(0,0,0,dz),\;D=(0,0,dy,dz)$

$S_{ABD}=A_{z}(0,0,0,dz/2)\,dz+A_{y}(0,0,dy/2,dz)\,dy$

$=A_{z}(0,0,0,dz/2)\,dz+\left[A_{y}(0,0,dy/2,0)+{\partial A_{y} \over \partial z}dz\right]dy$

$S_{ACD}=A_{y}(0,0,dy/2,0)\,dy+A_{z}(0,0,dy,dz/2)\,dz$

$=A_{y}(0,0,dy/2,0)\,dy+\left[A_{z}(0,0,0,dz/2)+{\partial A_{z} \over \partial y}dy\right]dz$

$\Delta S=S_{ACD}-S_{ABD}=\left({\partial A_{z} \over \partial y}-{\partial A_{y} \over \partial z}\right)dy\,dz=B_{x}\,dy\,dz$

অতএব, এই লুপের ক্ষেত্রে তড়িৎচুম্বকীয় অবদান = লুপটির মধ্য দিয়ে প্রবাহিত চুম্বকীয় প্রবাহ $\mathbf {B}$।

এখন মনে রাখি (i) স্টোকসের উপপাদ্য এবং (ii) $\mathbf {B}$ ও $\mathbf {A}$-এর সম্পর্কের সংজ্ঞা অনুসারে আমরা পাই—

$\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } =\int _{\Sigma }\mathbf {B} \cdot d\mathbf {\Sigma }$

অর্থাৎ, কোনো লুপ $\partial \Sigma$ (অথবা যেকোনো পৃষ্ঠ $\Sigma$ যা ঐ লুপ দ্বারা সীমাবদ্ধ) বরাবর চুম্বকীয় প্রবাহ সমান $\mathbf {A}$-র ঐ লুপ বরাবর পরিবেশন।

$A\rightarrow B\rightarrow D\rightarrow C\rightarrow A$ নামক একটি "সসীম" আয়তক্ষেত্রের চারপাশে $\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ ঘূর্ণনের ফলে $A\rightarrow B\rightarrow D$ পথটির কার্য (action) বৃদ্ধি বা হ্রাস পায় তুলনায় $A\rightarrow C\rightarrow D$ পথটির কার্যের। যদি দুই পথের কার্য সমান হয়, তবে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত সর্বনিম্ন কার্যপথটি হবে সরলরেখা। যদি একটির কার্য বেশি হয়, তবে সর্বনিম্ন কার্যপথটি সেই অধিক কার্যের পথ থেকে দূরে সরে যাবে।

এই বিশ্লেষণ তুলনা করুন ধ্রুপদী ব্যাখ্যার সঙ্গে, যেখানে চুম্বকীয় ক্ষেত্রের মধ্যে একটি আধানযুক্ত কণার গতিপথ বেঁকে যায় বলে ধরা হয় কারণ একটি বল কাজ করে যা কণাটির গতি ও চুম্বকক্ষেত্র উভয়ের সাথে লম্বভাবে থাকে (লরেন্‌জ বল আইন অনুসারে)। কিন্তু কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক বিশ্লেষণে এমন কোনো বল বা প্রক্রিয়ার কথা বলা হয় না। কোয়ান্টাম বলবিদ্যায় কোনো প্রক্রিয়া অনুমান করা হয় না। বরং বলা হয়, যদি $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত একটি যথেষ্ট ভরযুক্ত আধান চলতে থাকে, তবে সেইসব পথসমষ্টির মধ্যে যার মধ্যে $A$ থেকে $D$ পর্যন্ত গিয়োডেসিক (অর্থাৎ সর্বনিম্ন কার্যপথ) নেই, সেখানে কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা প্রায় শূন্য।

একই কথা প্রযোজ্য সেই ধ্রুপদী ব্যাখ্যার ক্ষেত্রেও, যেখানে সময়-মাত্রিক (spacetime) সমতলে কোনো আধানযুক্ত কণার গতিপথ বাঁকানোর কারণ হিসেবে একটি বলকে দায়ী করা হয়, যা বৈদ্যুতিক ক্ষেত্রের দিকেই কাজ করে। (মনে রাখুন, স্থান-কাল সমতলে পথ বেঁকে যাওয়া মানে ত্বরণ বা ধীরণ। বিশেষভাবে, যদি সমতলটিতে $x$ অক্ষ থাকে, তবে বাঁক মানে $x$-অক্ষ বরাবর ত্বরণ।) এই ক্ষেত্রে উপযুক্ত ঘূর্ণন (circulation) বোঝায় চার-ভেক্টর সম্ভাবনা $(cV,\mathbf {A} )$ দ্বারা বেষ্টিত স্থান-কাল লুপের চারপাশে।