কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/সম্ভাব্যতার প্রবাহ

সম্ভাব্যতার প্রবাহ

স্থির অবস্থান $\mathbf {r}$এ সম্ভাব্যতা ঘনত্বের $\rho (t,\mathbf {r} )=|\psi (t,\mathbf {r} )|^{2}$ সময়ের সাথে পরিবর্তনের হার নিম্নরূপ:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial t}}.$

শ্রেডিংগার সমীকরণ এবং এর জটিল অনুবন্ধীর (complex conjugate) সাহায্যে,

$i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}={\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi +V\psi ,$

${\hbar \over i}{\partial \psi ^{*} \over \partial t}={\frac {1}{2m}}\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi ^{*}+V\psi ^{*},$

আমরা পাই

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {i}{\hbar }}\psi ^{*}\left[{\frac {1}{2m}}\left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left({\frac {\hbar }{i}}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi +V\psi \right]$

$+{\frac {i}{\hbar }}\psi \left[{\frac {1}{2m}}\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right].$

যে পদগুলিতে $V$ (কাল্পনিক সংখ্যা) আছে, সেগুলো বাতিল হয়ে যায়, ফলে আমরা পাই

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {i}{2m\hbar }}\left[\psi ^{*}\left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}+\mathbf {A} \right)\psi -\psi \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\cdot \left(i\hbar {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}-\mathbf {A} \right)\psi ^{*}\right]$

$=\dots =-{\frac {\hbar }{2mi}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\psi ^{*}-\psi {\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\right)+{\frac {1}{m}}\left(\psi \psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} {\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {r} }}\psi ^{*}+\mathbf {A} \psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} }}\right).$

এরপর, আমরা এর ডাইভারজেন্স গণনা করি $\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\psi ^{*}{\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {r} }}-{\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} }}\psi \right)-{\frac {1}{m}}\mathbf {A} \psi ^{*}\psi$:

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\psi ^{*}-\psi {\frac {\partial ^{2}\psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} ^{2}}}\right)-{\frac {1}{m}}\left(\psi \psi ^{*}{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} +\mathbf {A} {\frac {\partial \psi }{\partial \mathbf {r} }}\psi ^{*}+\mathbf {A} \psi {\frac {\partial \psi ^{*}}{\partial \mathbf {r} }}\right).$

ফলাফল:

${\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-{\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\cdot \mathbf {j} .$

একটি অপরিবর্তিত সীমানা $\partial R:$ সহ একটি স্থানিক অঞ্চল $R$-এর উপর ইন্টিগ্রেটেড করলে পাই

${\partial \over \partial t}\int _{R}\rho \,d^{3}r=-\int _{R}{\partial \over \partial \mathbf {r} }\cdot \mathbf {j} \,d^{3}r.$

গাউসের সূত্র অনুসারে, $\mathbf {j}$ এর বহির্মুখী ফ্লাক্স $\partial R$ এর মধ্য দিয়ে, $R:$ এর উপর $\mathbf {j}$ এর ডাইভারজেন্স এর ইন্টিগ্রালের সমান

$\oint _{\partial R}\mathbf {j} \cdot d\Sigma =\int _{R}{\partial \over \partial \mathbf {r} }\cdot \mathbf {j} \,d^{3}r.$

অতএব, আমরা পাই যে

${\partial \over \partial t}\int _{R}\rho \,d^{3}r=-\oint _{\partial R}\mathbf {j} \cdot d\Sigma .$

যদি $\rho$ কোনো কিছুর অবিচ্ছিন্ন ঘনত্ব (প্রতি একক আয়তনে জিনিসের পরিমাণ) হয় এবং $\mathbf {j}$ তার ফ্লাক্স (প্রতি একক ক্ষেত্রফল প্রতি একক সময়ে জিনিসের পরিমাণ) হয়, তাহলে বাম দিকে আমরা পাই $R$-এর মধ্যে জিনিসের বৃদ্ধির হার, এবং ডান দিকে আমরা পাই $R$-এর পৃষ্ঠতল দিয়ে জিনিস প্রবেশের হার। সুতরাং, যদি কোনো জিনিস স্থান A থেকে স্থান B-তে স্থানান্তরিত হয়, তবে এটি A অথবা B ধারণ করে এমন যেকোনো অঞ্চলের সীমানা অতিক্রম করে। এই কারণেই ফ্রেম করা সমীকরণটি একটি ধারাবাহিকতা সমীকরণ (continuity equation) নামে পরিচিত।

তবে, কোয়ান্টাম জগতে অবিচ্ছিন্নভাবে বণ্টিত এবং/অথবা অবিচ্ছিন্নভাবে চলমান কোনো কিছুর অস্তিত্ব নেই। $\rho$ এবং $\mathbf {j}$ যথাক্রমে শুধুমাত্র আনুষ্ঠানিক অর্থে একটি ঘনত্ব (প্রতি একক আয়তনে কিছুর পরিমাণ) এবং একটি ফ্লাক্স (প্রতি একক ক্ষেত্রফল প্রতি একক সময়ে কিছুর পরিমাণ)। যদি $\psi$ একটি কণার সাথে সম্পর্কিত তরঙ্গ ফাংশন হয়, তাহলে ইন্টিগ্রাল $\int _{R}\rho \,d^{3}r=\int _{R}|\psi |^{2}\,d^{3}r$ একটি নির্দিষ্ট পরিমাপ করলে $R$-এর মধ্যে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা নির্দেশ করে, এবং ফ্রেম করা সমীকরণটি আমাদের যা বলে তা হলো: যদি পরিমাপ করার সময় সাপেক্ষে $R$-এর মধ্যে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা বৃদ্ধি পায়, তাহলে একই সময় সাপেক্ষে $R$-এর বাইরে কণাটিকে খুঁজে পাওয়ার সম্ভাব্যতা একই পরিমাণে হ্রাস পায়। (অনেকটা একই রকম ঘটনা ঘটে যদি $\psi$ একটি সিস্টেমের সাথে সম্পর্কিত হয় যার $n$ ডিগ্রি অফ ফ্রিডম আছে এবং $R$ হলো সিস্টেমের কনফিগারেশন স্পেসের একটি অঞ্চল।) এটি কখনও কখনও এই কথা বলে প্রকাশ করা হয় যে "সম্ভাব্যতা (স্থানীয়ভাবে) সংরক্ষিত।" যখন আপনি এটি শুনবেন, তখন মনে রাখবেন যে একটি নির্দিষ্ট স্থানে একটি নির্দিষ্ট সময়ে কিছু ঘটার সম্ভাব্যতা এমন কিছু নয় যা সেই স্থানে অবস্থিত বা সেই সময়ে বিদ্যমান।