কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/শক্তি কোয়ান্টাইজড কেন

কেন শক্তির পরিমাণ নির্ধারণ করা হয়

আবার নিজেদেরকে একটি স্থানিক মাত্রায় সীমাবদ্ধ করে, আমরা সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণটি এই আকারে লিখি:

${d^{2}\psi (x) \over dx^{2}}=A(x)\,\psi (x),\qquad A(x)={2m \over \hbar ^{2}}{\Big [}V(x)-E{\Big ]}.$

যেহেতু এই সমীকরণে সম্ভবত $\psi$ ছাড়া কোনও জটিল সংখ্যা নেই, তাই এর বাস্তব সমাধান রয়েছে এবং এইগুলিতেই আমরা আগ্রহী। তুমি লক্ষ্য করবে যে যদি $V>E,$ তাহলে $A$ ধনাত্মক হয় এবং $\psi (x)$ এর চিহ্নটি তার দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের মতো একই। এর অর্থ হল $\psi (x)$ এর গ্রাফটি $x$ অক্ষের উপরে উপরের দিকে এবং নীচে নীচের দিকে বক্ররেখা করে। সুতরাং এটি অক্ষ অতিক্রম করতে পারে না। অন্যদিকে, যদি $V<E>,$ হয় তাহলে $A$ ঋণাত্মক হয় এবং $\psi (x)$ এবং এর দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের বিপরীত চিহ্ন থাকে। এই ক্ষেত্রে \psi(x)</math> এর গ্রাফটি $x$ অক্ষের উপরে নীচের দিকে এবং নীচের দিকে বক্ররেখা করে। ফলস্বরূপ, $\psi (x)$ এর গ্রাফটি অক্ষকে অতিক্রম করতে থাকে — এটি একটি তরঙ্গ। তাছাড়া, $E-V,$ এর পার্থক্য যত বেশি হবে, গ্রাফের বক্রতা তত বেশি হবে; এবং বক্রতা যত বেশি হবে, তরঙ্গদৈর্ঘ্য তত কম হবে। কণার পরিভাষায়, গতিশক্তি যত বেশি হবে, ভরবেগ তত বেশি হবে।

আসুন এখন সমাধান খুঁজে বের করা যাক যা একটি সম্ভাব্য কূপে "আটকে" থাকা কণাকে বর্ণনা করে - একটি আবদ্ধ অবস্থা। এই সম্ভাব্যতা বিবেচনা করুন:

শুরুতে লক্ষ্য করুন যে $x_{1}$ এবং $x_{2},$ যেখানে $E=V,$ এই বিন্দুগুলিতে $\psi (x)$ এর ঢাল পরিবর্তন হয় না। এটি আমাদের বলে যে এই বিন্দুগুলিতে কণা খুঁজে পাওয়ার সম্ভাবনা হঠাৎ শূন্যে নেমে যেতে পারে না। অতএব $x_{1}$ এর বাম দিকে অথবা $x_{2},$ এর ডানদিকে কণা খুঁজে পাওয়া সম্ভব হবে যেখানে ক্লাসিকভাবে এটি হতে পারে না। (একটি ধ্রুপদী কণা এই বিন্দুগুলির মধ্যে সামনে পিছনে দোদুল্যমান হবে।)

এরপর, মনে রাখবেন যে $\psi (x)$ দ্বারা সংজ্ঞায়িত সম্ভাব্যতা বন্টনগুলি স্বাভাবিকীকরণযোগ্য হতে হবে। $\psi (x)$ এর গ্রাফের জন্য এর অর্থ হল এটি $x$ অক্ষের সাথে অ্যাসিম্পটোটিকভাবে $x\rightarrow \pm \infty .$ এর মতো যোগাযোগ করতে হবে।

ধরুন যে আমাদের কাছে একটি নির্দিষ্ট মানের $E.$ এর জন্য একটি স্বাভাবিক সমাধান আছে। যদি আমরা $E,$ এর মান বৃদ্ধি বা হ্রাস করি $\psi (x)$ এর গ্রাফের বক্রতা $x_{1}$ এবং $x_{2}$ এর মধ্যে বৃদ্ধি বা হ্রাস পায়। সামান্য বৃদ্ধি বা হ্রাস আমাদের অন্য সমাধান দেবে না: ধনাত্মক এবং ঋণাত্মক উভয় এর জন্য $x\psi (x)$ উপসর্গহীনভাবে অদৃশ্য হবে না। আরেকটি সমাধান পেতে, আমাদের "ধ্রুপদী" বাঁক বিন্দু $x_{1}$ এবং $x_{2}$ এর মধ্যে তরঙ্গ নোডের সংখ্যা এক দ্বারা বৃদ্ধি বা হ্রাস করার জন্য এবং $\psi (x)$ উভয় দিকেই উপসর্গহীনভাবে অদৃশ্য করার জন্য $E$ সঠিক পরিমাণে বৃদ্ধি করতে হবে।

মূল কথা হল একটি আবদ্ধ কণার শক্তি - একটি সম্ভাব্য কূপে "আটকে থাকা" একটি কণা - "পরিমাণিত": শুধুমাত্র নির্দিষ্ট মান $E_{k}$ সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান দেয়: