কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/পর্যবেক্ষণযোগ্য ও অপারেটর

পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি ও অপারেটর

গড় মানগুলো মনে করুন:

$\langle x\rangle =\int |\psi |^{2}\,x\,dx\quad {\hbox{এবং}}\quad \langle p\rangle =\hbar \langle k\rangle =\int |{\overline {\psi }}|^{2}\,\hbar k\,dk.$

আগেই বলা হয়েছে, যদি আমরা অপারেটর সংজ্ঞায়িত করি:

${\hat {x}}=x$ ("$x$ দ্বারা গুণ") এবং ${\hat {p}}=-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x}},$

তবে আমরা লিখতে পারি:

$\langle x\rangle =\int \psi ^{*}\,{\hat {x}}\,\psi \,dx\quad {\hbox{এবং}}\quad \langle p\rangle =\int \psi ^{*}\,{\hat {p}}\,\psi \,dx.$

একইভাবে,

$\langle E\rangle =\int \psi ^{*}\,{\hat {E}}\,\psi \,dx\quad {\hbox{যেখানে}}\quad {\hat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}.$

ডিফারেনশিয়াল অপারেটর $\partial /\partial \phi$ এর সাথে কোন পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি সম্পর্কিত? যদি $r$ এবং $\theta$ ধ্রুবক হয় (কারণ $\phi$ অনুসারে আংশিক বিভাজন এটাই নির্দেশ করে), তবে $z$ ধ্রুবক, এবং

${\partial \psi \over \partial \phi }={\partial y \over \partial \phi }\,{\partial \psi \over \partial y}+{\partial x \over \partial \phi }\,{\partial \psi \over \partial x}.$

যেহেতু $x=r\sin \theta \,\cos \phi$ এবং $y=r\sin \theta \,\sin \phi ,$ তাই এটি দাঁড়ায় $x{\partial \psi \over \partial y}-y{\partial \psi \over \partial x}$ বা

$-i\hbar {\frac {\partial }{\partial \phi }}={\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x}.$

ক্লাসিক্যালভাবে, কক্ষপথীয় কৌণিক ভরবেগ $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} ,$ অর্থাৎ $L_{z}=x\,p_{y}-y\,p_{x},$ হওয়ায়, এটা স্পষ্ট যে ${\hat {x}}{\hat {p}}_{y}-{\hat {y}}{\hat {p}}_{x}$ কে $z$ অক্ষ বরাবর কৌণিক ভরবেগের অপারেটর ${\hat {l}}_{z}$ হিসেবে বিবেচনা করা উচিত।

তবুও, কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক সংজ্ঞাগুলোকে ক্লাসিক্যাল ভিত্তিতে দাঁড় করানোতে সাবধানতা অবলম্বন করতে হবে। নিচে কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক সংজ্ঞাগুলো দেওয়া হলো:

ধরি $\psi (q_{k},t)$ হল একটি বন্ধ সিস্টেম ${\mathcal {S}}$ এর তরঙ্গ ফাংশন যার $K$ মাত্রা স্বাধীনতা আছে। যদি $|\psi (q_{k},t)|^{2}$ (সংক্ষিপ্তভাবে $|\psi (q_{1},\dots ,q_{K},t)|^{2}$) সময়ান্তরের প্রতি অপরিবর্তিত হয়, অর্থাৎ যেকোনো সময় $\tau$ অপেক্ষা করলে তার মান পরিবর্তিত হয় না:

$|\psi (q_{k},t)|^{2}=|\psi (q_{k},t+\tau )|^{2}.$

তবে তখন $\psi$ এর সময় নির্ভরতা একটি ফেজ গুণক $e^{i\alpha (q_{k},t)}$ এর মধ্যে সীমাবদ্ধ।

আবার ধরুন যে সময় এবং স্থান নির্দেশাংক $t$ এবং $q_{k}$ সুষম — সমান ব্যবধান শারীরিকভাবে সমতুল্য। যেহেতু ${\mathcal {S}}$ বন্ধ, তাই ফেজ গুণক $e^{i\alpha (q_{k},t)}$ $q_{k}$ এর উপর নির্ভর করতে পারে না এবং তার ফেজ $t$ এর উপর সর্বোচ্চ সরলরৈখিকভাবে নির্ভর করতে পারে: $2\tau$ সময় অপেক্ষা করা $\tau$ অপেক্ষার দ্বিগুণ হওয়া উচিত:

$e^{i\alpha (2\tau )}=[e^{i\alpha (\tau )}]^{2}=e^{i2\alpha (\tau )}.$

অতএব,

$\psi (q_{k},t)=\psi (q_{k})\,e^{-i\omega t}=\psi (q_{k})\,e^{-(i/\hbar )E\,t}.$

অর্থাৎ একটি ধ্রুবক (সংরক্ষিত) রাশি $\omega$ অথবা (সাধারণ এককে) $E$ এর অস্তিত্ব বিদ্যমান, এবং এটাকেই সিস্টেমের শক্তি বলা হয়।

এখন ধরুন $|\psi (q_{k},t)|^{2}$ একটি নির্দিষ্ট স্থানীয় কোঅর্ডিনেট $q_{j}$ বরাবর অনুবাদে অপরিবর্তিত:

$|\psi (q_{j},q_{k\neq j},t)|^{2}=|\psi (q_{j}+\kappa ,q_{k\neq j},t)|^{2}.$

তবে $\psi$ এর উপর $q_{j}$ নির্ভরতা একটি ফেজ গুণক $e^{i\beta (q_{k},t)}$ এর মধ্যেই সীমাবদ্ধ।

আবার ধরুন যে $t$ ও $q_{k}$ উভয়ই সুষম। যেহেতু সিস্টেমটি বন্ধ, তাই $e^{i\beta (q_{k},t)}$ $q_{k\neq j}$ বা $t$ এর উপর নির্ভর করতে পারে না এবং তার ফেজ সর্বোচ্চ $q_{j}$ এর উপর সরলরৈখিকভাবে নির্ভর করতে পারে:

$e^{i\beta (2\kappa )}=[e^{i\beta (\kappa )}]^{2}=e^{i2\beta (\kappa )}.$

অতএব:

$\psi (q_{k},t)=\psi (q_{k\neq j},t)\,e^{i\,k_{j}\,q_{k}}=\psi (q_{k\neq j},t)\,e^{(i/\hbar )\,p_{j}\,q_{k}}.$

অর্থাৎ একটি সংরক্ষিত রাশি $k_{j}$ বা (সাধারণ এককে) $p_{j}$ বিদ্যমান, এবং এটাকেই সিস্টেমের $j$-উপাদানবিশিষ্ট ভরবেগ বলা হয়।

আপনি নিশ্চয়ই বিষয়টি বুঝতে পারছেন। উপরন্তু, স্থানীয় কোঅর্ডিনেটগুলি গোলীয় কোঅর্ডিনেট $r,\theta ,\phi$ হতে পারে। যদি $|\psi (r,\theta ,\phi ,t)|^{2}$ $z$ অক্ষ বরাবর ঘূর্ণনে অপরিবর্তিত থাকে এবং $\phi$ নির্দেশাংক সুষম হয়, তবে:

$\psi (r,\theta ,\phi ,t)=\psi (r,\theta ,t)\,e^{im\phi }=\psi (r,\theta ,t)\,e^{(i/\hbar )l_{z}\phi }.$

এই ক্ষেত্রে সংরক্ষিত রাশিটিকে বলা হয় সিস্টেমের $z$ অক্ষ বরাবর কৌণিক ভরবেগ।

---

এখন ধরুন $O$ হল একটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি, ${\hat {O}}$ হল সংশ্লিষ্ট অপারেটর, এবং $\psi _{{\hat {O}},v}$ সন্তুষ্ট করে:

${\hat {O}}\,\psi _{{\hat {O}},v}=v\,\psi _{{\hat {O}},v}.$

তবে আমরা বলি $\psi _{{\hat {O}},v}$ হল ${\hat {O}}$ অপারেটরের একটি আইগেনফাংশন বা আইগেনস্টেট, এবং এর আইগেনভ্যালু হল $v$। এখন আমরা $\psi _{{\hat {O}},v}$ এর জন্য $O$ এর গড় ও মান বিচ্যুতি নির্ণয় করি। আমরা পাই:

$\langle O\rangle =\int \psi _{{\hat {O}},v}^{*}{\hat {O}}\,\psi _{{\hat {O}},v}\,dx=\int \psi _{{\hat {O}},v}^{*}v\,\psi _{{\hat {O}},v}\,dx=v\int |\psi _{{\hat {O}},v}|^{2}\,dx=v.$

অতএব,

$\Delta O={\sqrt {\int \psi _{{\hat {O}},v}^{*}\,({\hat {O}}-v)\,({\hat {O}}-v)\,\psi _{{\hat {O}},v}\,dx}}=0,$

কারণ $({\hat {O}}-v)\,\psi _{{\hat {O}},v}=0.$ অর্থাৎ $\psi _{{\hat {O}},v}$ সংশ্লিষ্ট সিস্টেমের জন্য $O$ রাশি বিনা বিচ্যুতির। ফলে, $v$ কে অন্তর্ভুক্ত করে এমন যেকোনো মান পরিসরে $O$ পাওয়ার সম্ভাবনা ১।

আমরা পাই:

${\hat {E}}\,\psi (q_{k})\,e^{-(i/\hbar )E\,t}=E\,\psi (q_{k})\,e^{-(i/\hbar )E\,t}$

${\hat {p}}_{j}\,\psi (q_{k\neq j},t)\,e^{(i/\hbar )\,p_{j}\,q_{k}}=p_{j}\,\psi (q_{k\neq j},t)\,e^{(i/\hbar )\,p_{j}\,q_{k}}$

${\hat {l}}_{z}\,\psi (r,\theta ,t)\,e^{(i/\hbar )\,l_{z}\phi }=l_{z}\,\psi (r,\theta ,t)\,e^{(i/\hbar )\,l_{z}\phi }.$

অতএব, ${\hat {l}}_{z}$ সত্যিই পরমাণুর কৌণিক ভরবেগের $z$ উপাদানের অপারেটর।

যেকোনো এই ধরনের অপারেটরের আইগেনফাংশনই এমন সিস্টেম নির্দেশ করে যার পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি সুনির্দিষ্ট: এর ফাঁপাভাব পরিমাপক মান বিচ্যুতি শূন্য।

এছাড়াও,

${\hat {l}}_{x}=-i\hbar \left(y{\partial \over \partial z}-z{\partial \over \partial y}\right)\quad {\hbox{এবং}}\quad {\hat {l}}_{y}=-i\hbar \left(z{\partial \over \partial x}-x{\partial \over \partial z}\right).$

যদি আমরা সংজ্ঞায়িত করি কমিউটেটর $[{\hat {A}},{\hat {B}}]\equiv {\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}},$ তবে অপারেটরদ্বয় ${\hat {A}}$ এবং ${\hat {B}}$ কমিউট করে এর অর্থ তাদের কমিউটেটর শূন্য। পরবর্তীতে আমরা দেখাবো যে দুটি পর্যবেক্ষণযোগ্য রাশি সুসংগত (একসাথে পরিমাপযোগ্য) তখনই যখন তাদের অপারেটর কমিউট করে।

অনুশীলন: দেখাও যে $[{\hat {l}}_{x},{\hat {l}}_{y}]\,=i\hbar {\hat {l}}_{z}.$

একইভাবে পাওয়া যায় $[{\hat {l}}_{y},{\hat {l}}_{z}]=i\hbar {\hat {l}}_{x}$ এবং $[{\hat {l}}_{z},{\hat {l}}_{x}]=i\hbar {\hat {l}}_{y}.$ ফলাফল: একটি সিস্টেমের কৌণিক ভরবেগের বিভিন্ন উপাদান অসুসংগত।

অনুশীলন: উপরোক্ত কমিউটেটর ব্যবহার করে দেখাও যে অপারেটর ${\hat {\mathbf {L} ^{2}}}\equiv {\hat {l}}_{x}^{2}+{\hat {l}}_{y}^{2}+{\hat {l}}_{z}^{2}$ ${\hat {l}}_{x},$ ${\hat {l}}_{y},$ এবং ${\hat {l}}_{z}$ এর সাথে কমিউট করে।