কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/পরমাণবিক হাইড্রোজেন

পারমাণবিক হাইড্রোজেন

১৯২৩ সালের ডি ব্রোগলির তত্ত্বে বৃত্তাকার ইলেকট্রন তরঙ্গ ছিল, কিন্তু ১৯২৬ সালের শ্রোডিঞ্জারের "তরঙ্গ বলবিদ্যা" ছিল তিন মাত্রায় স্থায়ী তরঙ্গ। এগুলো খুঁজে বের করার অর্থ হল সময়-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের সমাধান খুঁজে বের করা।

$E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )+V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} )).$

V(\mathbf{r})=-e^2/r সহ,</math> প্রোটন থেকে দূরত্বে একটি ধ্রুপদী ইলেকট্রনের সম্ভাব্য শক্তি। (যখন আমরা আপেক্ষিক তত্ত্বে আসি, তখনই আমরা ধ্রুপদী চিন্তাভাবনার শেষ চিহ্নটি ত্যাগ করতে সক্ষম হব।)

$E\psi (\mathbf {r} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\right)\psi (\mathbf {r} )-{\frac {e^{2}}{r}}V(\mathbf {r} )\,\psi (\mathbf {r} )).$

এই সমীকরণটি ব্যবহার করে, আমরা (i) প্রোটনের উপর ইলেকট্রনের প্রভাব উপেক্ষা করি, যার ভর ইলেকট্রনের ভরের চেয়ে প্রায় ১৮৩৬ গুণ বেশি, এবং (ii) ইলেকট্রনের ঘূর্ণন। যেহেতু পারমাণবিক হাইড্রোজেনের পরিমাপযোগ্য বৈশিষ্ট্যের উপর আপেক্ষিক এবং ঘূর্ণন প্রভাব বেশ ছোট, তবুও এই অ-আপেক্ষিক আনুমানিকতা চমৎকার ফলাফল দেয়।

আবদ্ধ অবস্থার জন্য মোট শক্তি $E$ ঋণাত্মক, এবং শ্রোডিঙ্গার সমীকরণে সমাধানের একটি পৃথক সেট রয়েছে। দেখা যাচ্ছে যে, $E$ এর "অনুমোদিত" মানগুলি ঠিক সেই মানগুলি যা বোর ১৯১৩ সালে পেয়েছিলেন:

$E_{n}=-{1 \over n^{2}}\,{\mu e^{4} \over 2\hbar ^{2}},\qquad n=1,2,3,\dots$

তবে, প্রতিটি $n$ এর জন্য এখন $n^{2}$ রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধান রয়েছে। (যদি $\psi _{1},\dots ,\psi _{k}$ স্বাধীন সমাধান হয়, তাহলে তাদের কোনওটিকেই অন্যগুলির $\sum a_{i}\psi _{i}$ রৈখিক সংমিশ্রণ হিসেবে লেখা যাবে না।)

বিভিন্ন $n$ সহ সমাধানগুলি বিভিন্ন শক্তির সাথে মিলে যায়। একই $n$ সহ রৈখিকভাবে স্বাধীন সমাধানগুলির সাথে কোন ভৌত পার্থক্যগুলি মিলে যায়?

পোলার স্থানাঙ্ক ব্যবহার করে, আমরা দেখতে পাই যে একটি নির্দিষ্ট মানের $E_{n}$ এর জন্য সমস্ত সমাধান হল সমাধানের রৈখিক সংমিশ্রণ যার রূপ

$\psi (r,\phi ,\theta )=e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,\phi }\psi (r,\theta ).$

$l_{z}$ আরেকটি "পরিমাণিত" ভেরিয়েবল হিসেবে দেখা যাচ্ছে, কারণ $e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,\phi }=e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,(\phi \pm 2\pi )}$ এর অর্থ হল l_z=m\hbar</math> এর সাথে $m=0,\pm 1,\pm 2,\dots$ এছাড়াও, $|m|$ এর একটি উপরের সীমা আছে, যা আমরা কিছুক্ষণের মধ্যে দেখতে পাব।

ঠিক যেমন $\psi (t,\mathbf {r} )$ কে $e^{-(i/\hbar )\,E\,t}\,\psi (\mathbf {r} )$ এ উৎপাদিত করার ফলে t</math>-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ পাওয়া সম্ভব হয়েছিল, তেমনি $\psi (r,\phi ,\theta )$ কে $e^{(i/\hbar )\,l_{z}\,\phi }\,\psi (r,\theta )$ এ উৎপাদিত করার ফলে একটি \phi</math>-স্বাধীন শ্রোডিঙ্গার সমীকরণ পাওয়া সম্ভব হয়েছিল। এতে $\Lambda ,$ এর উপরে এবং উপরে আরেকটি বাস্তব প্যারামিটার রয়েছে,</math> যার "অনুমোদিত" মানগুলি $l(l+1)\hbar ^{2},$ দ্বারা দেওয়া হয়েছে যার সাথে $l$ একটি পূর্ণসংখ্যা $0\leq l\leq n-1.$ কে সন্তুষ্ট করে।$m$ এর সম্ভাব্য মানের পরিসর অসমতা $|m|\leq l.$ দ্বারা আবদ্ধ। "প্রধান কোয়ান্টাম সংখ্যা" $n,$ "কৌণিক ভরবেগ" $l,$ এবং তথাকথিত "চৌম্বকীয় কোয়ান্টাম সংখ্যা" $m$ এর সম্ভাব্য মানগুলি হল:

$n=1$	$l=0$	$m=0$
$n=2$	$l=0$	$m=0$
$m=0$	$l=1$	$m=0,\pm 1$
$n=3$	$l=0$	$m=0$
	$l=1$	$m=0,\pm 1$
	$l=2$	$m=0,\pm 1,\pm 2$
$n=4$	$\dots$	$\dots$

কোয়ান্টাম সংখ্যার প্রতিটি সম্ভাব্য সেট $n,l,m$ একটি অনন্য তরঙ্গ ফাংশন সংজ্ঞায়িত করে $\psi _{nlm}(t,\mathbf {r} ),$ এবং এগুলি একসাথে V(\mathbf{r})=-e^2/r.</math> সহ শ্রোডিঙ্গার সমীকরণের আবদ্ধ-অবস্থা সমাধান ($E<0$) এর একটি সম্পূর্ণ সেট তৈরি করে।নিম্নলিখিত চিত্রগুলি প্রথম তিনটি $l=0$ অবস্থার অবস্থান সম্ভাব্যতা বন্টনের একটি ধারণা দেয় (স্কেল করার জন্য নয়)। তাদের নীচে $r.$ এর বিপরীতে সম্ভাব্যতার ঘনত্ব প্লট করা আছে। লক্ষ্য করুন যে এই অবস্থাগুলির $n-1$ নোড রয়েছে, যার সবকটিই গোলাকার, অর্থাৎ ধ্রুবক $r.$এর পৃষ্ঠ।(ত্রিমাত্রিক তরঙ্গের নোডগুলি দ্বিমাত্রিক পৃষ্ঠ। "সম্ভাব্যতা তরঙ্গ" এর নোডগুলি হল সেই পৃষ্ঠ যেখানে $\psi$ এর চিহ্ন পরিবর্তিত হয় এবং ফলস্বরূপ, সম্ভাব্যতার ঘনত্ব $|\psi |^{2}$ অদৃশ্য হয়ে যায়।)

এই ছবিগুলি আবার দেখুন:

• 
  $\rho _{2p0}$
• 
  $\rho _{3p0}$
• 
  $\rho _{3d0}$
• 
  $\rho _{4p0}$
• 
  $\rho _{2p0}$
• 
  $\rho _{3p0}$
• 
  $\rho _{3d0}$
• 
  $\rho _{4p0}$
• 
  $\rho _{4d0}$
• 
  $\rho _{4f0}$
• 
  $\rho _{5d0}$
• 
  $\rho _{5f0}$
• 
  $\rho _{4d0}$
• 
  $\rho _{4f0}$
• 
  $\rho _{5d0}$
• 
  $\rho _{5f0}$

s,p,d,f অক্ষরগুলি যথাক্রমে l=0,1,2,3 বোঝায়। (পারমাণবিক বর্ণালী রেখার কোয়ান্টাম-যান্ত্রিক উৎপত্তি বোঝার আগে, "তীক্ষ্ণ," "প্রধান," "প্রসারিত," এবং "মৌলিক" রেখার মধ্যে একটি পার্থক্য করা হয়েছিল। পরবর্তীতে এই পদগুলি l</math> নিতে পারে এমন প্রথম চারটি মানের সাথে সঙ্গতিপূর্ণ বলে প্রমাণিত হয়েছিল। l=3</math> থেকে লেবেলগুলি বর্ণমালা অনুসরণ করে: f,g,h...) লক্ষ্য করুন যে এই অবস্থাগুলি গোলাকার এবং শঙ্কুযুক্ত উভয় নোড প্রদর্শন করে, পরেরটি ধ্রুবক $\theta .$ এর পৃষ্ঠতল।(\theta=0</math> সহ "শঙ্কুযুক্ত" নোডটি একটি অনুভূমিক সমতল।) এই অবস্থাগুলিতেও মোট $n-1$ নোড রয়েছে, যার মধ্যে $l$ শঙ্কুযুক্ত।

কারণ $\phi$-এ "তরঙ্গায়ন" একটি ফেজ ফ্যাক্টরের মধ্যে রয়েছে $e^{im\phi },$ এটি $|\psi |^{2}.$ এর উপস্থাপনায় প্রদর্শিত হয় না।এটি দৃশ্যমান করার জন্য, ফেজটিকে রঙ হিসাবে এনকোড করা যেতে পারে:

• 
  $\rho _{2p1}$
• 
  $\rho _{3p1}$
• 
  $\rho _{3d-1}$
• 
  $\rho _{4f-1}$
• 
  $\rho _{5f-2}$
• 
  $\rho _{6h-1}$
• 
  $\rho _{6h5}$

রসায়নে বিপরীত $m$ এর বাস্তব সুপারপজিশন বিবেচনা করা হয়, যেমন $\textstyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(e^{im\phi }+e^{i(-m)\phi }\right)={\sqrt {2}}\cos(m\phi )$ নিম্নলিখিত চিত্রগুলিতে, যা বৈধ সমাধানও।

• 
  $\rho _{4f\pm 1}$ or $\rho _{4fxz^{2}}$
• 
  $\rho _{4f\pm 3}$ or $\rho _{4fx^{2}y}$
• 
  $\rho _{5f\pm 1}$ or $\rho _{5fxz^{2}}$
• 
  $\rho _{5f\pm 2}$
• 
  $\rho _{5f\pm 3}$ or $\rho _{5fx^{2}y}$
• 
  $\rho _{5g\pm 1}$
• 
  $\rho _{5g\pm 2}$
• 
  $\rho _{5g\pm 3}$

মোট নোডের সংখ্যা আবার $n-1,$ মোট অ-গোলাকার নোডের সংখ্যা আবার $l,$ কিন্তু এখন $m$ সমতল নোড রয়েছে যার মধ্যে $z$ অক্ষ এবং $l-m$ শঙ্কুযুক্ত নোড রয়েছে।

$z$ অক্ষের এত বিশেষত্ব কী? একেবারেই কিছুই না, তরঙ্গ ফাংশন $\psi '_{nlm}$ এর জন্য, যা একটি ভিন্ন অক্ষের সাথে সংজ্ঞায়িত, আবদ্ধ-অবস্থা সমাধানের আরেকটি সম্পূর্ণ সেট তৈরি করে। এর অর্থ হল প্রতিটি তরঙ্গ ফাংশন $\psi '_{nlm}$ কে $\psi _{nlm}$ ফাংশনের একটি রৈখিক সংমিশ্রণ হিসাবে লেখা যেতে পারে, এবং তদ্বিপরীতও।