কোয়ান্টাম জগৎ/প্রভাব ও প্রয়োগ/একটি কোয়ান্টাম বাউন্সিং বল

একটি কোয়ান্টাম লাফানো বল

একটি নির্দিষ্ট উদাহরণ হিসেবে নিচের বিভবটি বিবেচনা করা যাক:

$V(z)=mgz\quad {\hbox{if}}\quad z>0\quad {\hbox{and}}\quad V(z)=\infty \quad {\hbox{if}}\quad z<0$

$g$ হলো মেঝেতে মহাকর্ষীয় ত্বরণ। $z<0$ এর জন্য আগের অংশে দেওয়া শ্রডিনগার সমীকরণ অনুযায়ী $d^{2}\psi (z)/dz^{2}=\infty$ হবে যদি না $\psi (z)=0$ হয়। অর্থাৎ, ঋণাত্মক $z$ এর জন্য একমাত্র যুক্তিসঙ্গত সমাধান হলো $\psi (z)=0$। এইভাবে $z<0$ এর জন্য $V(z)=\infty$ হওয়া নিশ্চিত করে যে আমাদের পুরোপুরি স্থিতিস্থাপক ও ঘর্ষণহীন কোয়ান্টাম লাফানো কণা মেঝের নিচে অবস্থান করতে পারবে না।

একটি চিত্র হাজার কথার চেয়েও বেশি বলার ক্ষমতা রাখে, তাই আমরা এই বিভবের জন্য সময়-নিরপেক্ষ শ্রডিংগার সমীকরণ সমাধান করব না — বরং এর প্রথম আটটি সমাধানের রেখাচিত্র দেখানো হলো:

একই বিভবের অধীন একটি প্রথাগত লাফানো বল কোথায় গতি পরিবর্তন করে? অবস্থান ও ভরবেগ (তরঙ্গসংখ্যা) এর মধ্যে সম্পর্ক লক্ষ্য করো।

এই সব অবস্থা স্থিরধর্মী; $z$ অক্ষ বরাবর নির্দিষ্ট একটি অঞ্চলে কোয়ান্টাম কণাটিকে পাওয়ার সম্ভাবনা সময়ের উপর নির্ভর করে না। তাহলে কণাটিকে কীভাবে গতিশীল করব?

মনে রাখো, শ্রডিংগার সমীকরণের যেকোন দুটি সমাধানের রৈখিক সংমিশ্রণও একটি বৈধ সমাধান। দুইটি স্থির অবস্থা নিয়ে নিচের রৈখিক সংমিশ্রণটি বিবেচনা করো:

$\psi (t,x)=A\,\psi _{1}(x)\,e^{-i\omega _{1}t}+B\,\psi _{2}(x)\,e^{-i\omega _{2}t}$

ধরা যাক $A,B$ এবং $\psi _{1}(x),\psi _{2}(x)$ সকলেই বাস্তব। তাহলে $\psi (t,x)$ সংশ্লিষ্ট কণাটির গড় অবস্থান হিসাব করা যায় এভাবে:

$\int dx\,\psi ^{*}x\psi =\int dx\,(A\psi _{1}e^{i\omega _{1}t}+B\psi _{2}e^{i\omega _{2}t})\,x\,(A\psi _{1}e^{-i\omega _{1}t}+B\psi _{2}e^{-i\omega _{2}t})$

$=A^{2}\int dx\,\psi _{1}^{2}x+B^{2}\int dx\,\psi _{2}^{2}x+AB(e^{i(\omega _{1}-\omega _{2})t}+e^{i(\omega _{2}-\omega _{1})t})\int dx\,\psi _{1}x\psi _{2}$

প্রথম দুইটি অন্তর্ভুক্তি হলো $\psi _{1}(x)e^{i\omega _{1}t}$ এবং $\psi _{2}(x)e^{i\omega _{2}t}$ এর সাথে সম্পর্কিত কণাটির সময়-নিরপেক্ষ গড় অবস্থান। শেষ পদটি সমান:

$2AB\cos(\Delta \omega t)\int dx\,\psi _{1}x\psi _{2},$

এটি আমাদের বলে যে কণাটির গড় অবস্থান $\Delta \omega =\omega _{2}-\omega _{1}$ কম্পাঙ্কে এবং $2AB\int dx\,\psi _{1}x\psi _{2}$ বিস্তৃতিতে দোলায়িত হয় প্রথম দুইটি পদকে কেন্দ্র করে।

এই সাইটটি দেখো একটি গাউসীয় বন্টনের সাথে শুরু করা একটি কোয়ান্টাম লাফানো কণার সম্ভাবনামূলক বন্টনের সময়-নির্ভর রূপ দেখতে।