কোয়ান্টাম জগৎ/টেইলর সিরিজ

টেইলর সিরিজ

একটি সু-চলনশীল ফাংশনকে একটি ঘাত-সিরিজে রূপান্তর করা যায়। অর্থাৎ, সকল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যা $k$-এর জন্য কিছু বাস্তব সংখ্যা $a_{k}$ বিদ্যমান যাতে

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+a_{3}x^{3}+a_{4}x^{4}+\cdots$

চলুন $(x^{n})'=n\,x^{n-1}$ ব্যবহার করে প্রথম চারটি ডেরিভেটিভ গণনা করি:

$f'(x)=a_{1}+2\,a_{2}x+3\,a_{3}x^{2}+4\,a_{4}x^{3}+5\,a_{5}x^{4}+\cdots$

$f''(x)=2\,a_{2}+2\cdot 3\,a_{3}x+3\cdot 4\,a_{4}x^{2}+4\cdot 5\,a_{5}x^{3}+\cdots$

$f'''(x)=2\cdot 3\,a_{3}+2\cdot 3\cdot 4\,a_{4}x+3\cdot 4\cdot 5\,a_{5}x^{2}+\cdots$

$f''''(x)=2\cdot 3\cdot 4\,a_{4}+2\cdot 3\cdot 4\cdot 5\,a_{5}x+\cdots$

$x$-এর মান শূন্য বসালে আমরা পাই

$f(0)=a_{0},\quad f'(0)=a_{1},\quad f''(0)=2\,a_{2},\quad f'''(0)=2\times 3\,a_{3},\quad f''''(0)=2\times 3\times 4\,a_{4}.$

$f^{(n)}(x)$ দ্বারা বোঝানো হয় $f(x)$-এর $n$-তম ডেরিভেটিভ। আমরা $f^{(0)}(x)=f(x)$ লিখতে পারি — $f(x)$-কে $f(x)$-এর "শূন্যতম ডেরিভেটিভ" হিসেবে ভাবা যায়। এভাবে আমরা একটি সাধারণ ফলাফলে পৌঁছাই $f^{(k)}(0)=k!\,a_{k},$ যেখানে ফ্যাক্টোরিয়াল $k!$ কে সংজ্ঞায়িত করা হয় $k=0$ এবং $k=1$-এর জন্য ১ হিসেবে, এবং $k>1$ এর জন্য $n\leq k$ সব প্রাকৃতিক সংখ্যার গুণফল হিসেবে। $x=0$-এ $f(x)$ এবং এর ডেরিভেটিভ সমূহ ব্যবহার করে $a_{k}$ নির্ণয় করলে আমরা পাই:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(0) \over k!}x^{k}=f(0)+f'(0)x+f''(0){x^{2} \over 2!}+f'''(0){x^{3} \over 3!}+\cdots$

এটি হল $f(x)$-এর টেইলর সিরিজ।

একটি চমৎকার ফলাফল হলো: আপনি যদি কোনো সু-চলনশীল ফাংশন $f(x)$ এবং $x=0$ বিন্দুতে তার সকল ডেরিভেটিভের মান জানেন, তবে আপনি $x$-এর যেকোনো মানে $f(x)$-এর মান নির্ধারণ করতে পারেন। উপরন্তু, $x=0$ কোনো বিশেষ বিন্দু নয়, তাই $x_{0}$ যেকোনো বিন্দু হতে পারে যেখানে $f(x)$ এবং তার সকল ডেরিভেটিভের মান জানা থাকলে আমরা পাই:

$f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{f^{(k)}(x_{0}) \over k!}(x-x_{0})^{k}.$