কোয়ান্টাম জগৎ/জটিল সংখ্যা

জটিল সংখ্যা

প্রাকৃতিক সংখ্যা গণনার জন্য ব্যবহৃত হয়। প্রাকৃতিক সংখ্যা থেকে প্রাকৃতিক সংখ্যা বিয়োগ করে আমরা এমন পূর্ণসংখ্যা পেতে পারি যা প্রাকৃতিক নয়। পূর্ণসংখ্যাকে (শূন্য বাদে) পূর্ণসংখ্যা দ্বারা ভাগ করে আমরা এমন ভগ্নাংশ সংখ্যা পেতে পারি যা পূর্ণসংখ্যা নয়। ধনাত্মক ভগ্নাংশ সংখ্যার বর্গমূল গ্রহণ করে আমরা এমন বাস্তব সংখ্যা পেতে পারি যা অপরিমেয়। আর ঋণাত্মক সংখ্যার বর্গমূল গ্রহণ করে আমরা জটিল সংখ্যা পেতে পারি যা কাল্পনিক।

যেকোনো কাল্পনিক সংখ্যা হলো একটি বাস্তব সংখ্যা যা $-1$ এর ধনাত্মক বর্গমূল দ্বারা গুণিত, এবং এটির জন্য আমরা $i=\,_{+}\!{\sqrt {-1}}$ চিহ্ন ব্যবহার করি।

প্রতিটি জটিল সংখ্যা $z$ হলো একটি বাস্তব সংখ্যা $a$ (যাকে $z$-এর বাস্তব অংশ বলা হয়) এবং একটি কাল্পনিক সংখ্যা $ib$-এর যোগফল। আবার, $z$-এর কাল্পনিক অংশ হচ্ছে বাস্তব সংখ্যা $b$।

কারণ বাস্তব সংখ্যাগুলোকে একটি সরলরেখায় চিত্রিত করা যায়, তাই এগুলোকে বাস্তব রেখা বলেও ভাবা হয়। একইভাবে, জটিল সংখ্যাগুলোকে একটি সমতলে চিত্রিত করা যায়, তাই এগুলোকে জটিল সমতল বলেও ধরা হয়। এই সমতলে দুটি অক্ষ থাকে—একটি অনুভূমিক (বাস্তব অক্ষ, যা বাস্তব সংখ্যাগুলোর দ্বারা গঠিত) এবং একটি উল্লম্ব (কাল্পনিক অক্ষ, যা কাল্পনিক সংখ্যাগুলোর দ্বারা গঠিত)।

"বাস্তব" এবং "কাল্পনিক" শব্দগুলো দ্বারা বিভ্রান্ত হবেন না। আপেল যেমন বাস্তব, সংখ্যাগুলো তেমন বাস্তব নয়। বাস্তব সংখ্যাগুলো কোনোভাবেই কাল্পনিক সংখ্যার চেয়ে বেশি বাস্তব নয়, এবং কাল্পনিক সংখ্যাগুলোও কোনোভাবেই গাণিতিকভাবে বাস্তব সংখ্যার চেয়ে কম বাস্তব নয়। আপনি যদি এখনো জটিল সংখ্যার সাথে পরিচিত না হয়ে থাকেন, তাহলে এর কারণ হলো আপনি এখনো গণনা বা মাপজোকের জন্য সেগুলোর প্রয়োজন অনুভব করেননি। আপনি সেগুলো ব্যবহার করেন পরিমাপের সম্ভাব্য ফলাফল নির্ধারণ করতে।

এই চিত্রটি জটিল সংখ্যার যোগফল দেখাচ্ছে:

$z_{1}+z_{2}=(a_{1}+ib_{1})+(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}+a_{2})+i(b_{1}+b_{2})$

আপনি দেখতে পাচ্ছেন, দুটি জটিল সংখ্যা যোগ করার পদ্ধতি একই রকম যেমনভাবে আমরা দুটি ভেক্টর $(a,b)$ এবং $(c,d)$ যোগ করি।

জটিল সংখ্যার বাস্তব এবং কাল্পনিক অংশের পরিবর্তে আমরা পোলার স্থানাংক ব্যবহার করতে পারি, যেখানে নির্দিষ্ট করা হয় অবচলমান মান বা মডুলাস $r=|z|$ এবং জটিল আর্গুমেন্ট বা ফেজ $\alpha$, যা রেডিয়ানে পরিমাপ করা একটি কোণ। এদের মধ্যে সম্পর্ক হলো:

$a=r\cos \alpha ,\qquad b=r\sin \alpha ,\qquad r=\,_{+}\!{\sqrt {a^{2}+b^{2}}},$

(মনে আছে পিথাগোরাসের উপপাদ্য?)

$\alpha ={\begin{cases}\arctan({\frac {b}{a}})&{\mbox{যদি }}a>0\\\arctan({\frac {b}{a}})+\pi &{\mbox{যদি }}a<0{\mbox{ এবং }}b\geq 0\\\arctan({\frac {b}{a}})-\pi &{\mbox{যদি }}a<0{\mbox{ এবং }}b<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{যদি }}a=0{\mbox{ এবং }}b>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{যদি }}a=0{\mbox{ এবং }}b<0\end{cases}}\qquad {\hbox{অথবা}}\quad \alpha ={\begin{cases}+\arccos({\frac {a}{r}})&{\mbox{যদি }}b\geq 0\\-\arccos({\frac {a}{r}})&{\mbox{যদি }}b<0\end{cases}}$

জটিল সংখ্যা গুণ করতে জানার জন্য যা দরকার তা হলো $i^{2}=-1$ এই সম্পর্কটি:

$z_{1}z_{2}=(a_{1}+ib_{1})(a_{2}+ib_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+i(a_{1}b_{2}+b_{1}a_{2})$

তবে, জটিল সংখ্যা গুণ করার আরেকটি সহজ উপায় আছে। $\cos$ এবং $\sin$ এর পাওয়ার সিরিজ (বা টেলর সিরিজ) বসিয়ে,

$\cos x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k)!}}x^{2k}=1-{x^{2} \over 2!}+{x^{4} \over 4!}-{x^{6} \over 6!}+\cdots$

$\sin x=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)!}}x^{2k+1}=x-{x^{3} \over 3!}+{x^{5} \over 5!}-{x^{7} \over 7!}+\dots ,$

$\cos \alpha +i\sin \alpha$ এ এগুলো বসিয়ে এবং পদগুলো পুনঃগোছানো হলে,

$\sum _{k=0}^{\infty }{(ix)^{k} \over k!}=1+ix+{(ix)^{2} \over 2!}+{(ix)^{3} \over 3!}+{(ix)^{4} \over 4!}+{(ix)^{5} \over 5!}+{(ix)^{6} \over 6!}+{(ix)^{7} \over 7!}+\cdots$

এটি $y=ix$ বসালে সূচক ফাংশন $e^{y}$-এর সিরিজ। অতএব, ঐলার সূত্র:

$e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha$

এবং এটি দুটি জটিল সংখ্যা গুণ করাকে সরিয়ে দেয় তাদের অবচলমান মান গুণ এবং ফেজ যোগ করার মাধ্যমে:

$(z_{1})\,(z_{2})=r_{1}e^{i\alpha _{1}}\,r_{2}e^{i\alpha _{2}}=(r_{1}r_{2})\,e^{i(\alpha _{1}+\alpha _{2})}$

একটি অত্যন্ত গুরুত্বপূর্ণ সংজ্ঞা হলো জটিল সম্মিলন $z^{*}=a-ib$, যদি $z=a+ib$ হয়। এর মাধ্যমে আমরা অবচলমান বর্গ $|z|^{2}$ নির্ণয় করতে পারি:

$zz^{*}=(a+ib)(a-ib)=a^{2}+b^{2}$

---

১. প্রমাণ করো যে

$\cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\quad {\text{এবং}}\quad \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}$

২. যুক্তিযুক্তভাবে, গণিতের সবচেয়ে গুরুত্বপূর্ণ পাঁচটি সংখ্যা হলো $0,1,i,\pi ,e$। প্রতিটি সংখ্যা একবার করে ব্যবহার করে একটি সমীকরণ লেখো। (উত্তর?)