কোয়ান্টাম জগৎ/গাণিতিক উপকরণ

গাণিতিক উপকরণ

ক্যালকুলাসের উপাদানসমূহ

একটি সুনির্দিষ্ট অন্তর্লগ্ন

ধরুন একটি বস্তু ${\mathcal {O}}$ একটি মাত্রায় চলাচলের জন্য মুক্ত — ধরুন, $x$ অক্ষ বরাবর। প্রতিটি বাস্তব বস্তুর মতো, এর অবস্থান কিছুটা অনিশ্চিত (আমরা যেকোনো বস্তু ধরেই সেটি পরিমাপ করি)। এই অনিশ্চিত অবস্থান বর্ণনা করার জন্য, কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞান আমাদেরকে একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব $\rho (x)$ দেয়। এটি বাস্তব পরিমাপ ফলাফলের উপর নির্ভর করে, এবং এটি আমাদেরকে নির্দিষ্ট একটি $x$ অক্ষে যেকোনো সীমার মধ্যে বস্তুটি পাওয়ার সম্ভাব্যতা হিসাব করতে সাহায্য করে—যদি উপযুক্তভাবে সঠিক পরিমাপ করা হয়। (আমাদের মন্ত্র মনে রাখুন: কোয়ান্টাম বলবিজ্ঞানের গাণিতিক কাঠামো বাস্তব ফলাফলের ভিত্তিতে সম্ভাব্য পরিমাপ ফলাফলের জন্য সম্ভাব্যতা নির্ধারণ করে।)

আমরা $\rho (x)$ কে একটি সম্ভাব্যতা ঘনত্ব বলি কারণ এটি একক দৈর্ঘ্যের জন্য সম্ভাব্যতা বোঝায়। ${\mathcal {O}}$ কে $x_{1}$ ও $x_{2}$ এর মধ্যবর্তী সীমার মধ্যে পাওয়ার সম্ভাব্যতা হল ক্ষেত্রফল $A$ যা $\rho (x)$ রেখাচিত্র, $x$ অক্ষ এবং $x_{1}$ ও $x_{2}$ বরাবর খাড়া রেখার মধ্যে সৃষ্ট হয়।

এই ক্ষেত্রফল কীভাবে হিসাব করব? কৌশল হল এই এলাকা সরু আয়তক্ষেত্র দিয়ে ঢেকে ফেলা, প্রতিটির প্রস্থ $\Delta x$।

বাম দিক থেকে প্রথম আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল $\rho (x_{1}+\Delta x)\,\Delta x$, দ্বিতীয়টির ক্ষেত্রফল $\rho (x_{1}+2\,\Delta x)\,\Delta x$, এবং শেষটির ক্ষেত্রফল $\rho (x_{1}+12\,\Delta x)\,\Delta x$। এই ক্ষেত্রফলগুলোর যোগফল সংক্ষেপে লেখা যায়:

$\sum _{k=1}^{12}\rho (x+k\,\Delta x)\,\Delta x.$

এটি কল্পনা করা কঠিন নয় যে, যদি আমরা আয়তক্ষেত্রের সংখ্যা $N$ বাড়াই এবং একই সঙ্গে প্রতিটির প্রস্থ $\Delta x$ কমাই, তবে $x_{1}$ থেকে $x_{2}$ পর্যন্ত $\rho (x)$ রেখাচিত্রের নিচে যতটুকু ক্ষেত্রফল আছে, তার আরও ভালো ও আরও নির্ভুল আনুমানিক হিসাব আমরা পাব। যখন $\Delta x$ শূন্যের দিকে অগ্রসর হয় এবং $N$ অসীম ($\infty$) এর দিকে যায়, তখন উপরোক্ত যোগফলটি অন্তর্লগ্ন এর দিকে অগ্রসর হয়:

$\int _{x_{1}}^{x_{2}}\rho (x)\,dx.$

আমরা কখনও কখনও একে সুনির্দিষ্ট অন্তর্লগ্ন বলি, এটা বোঝাতে যে এটি কেবল একটি সংখ্যা। (তুমি অনুমান করতে পারো, অসুনির্দিষ্ট অন্তর্লগ্নও আছে, যেগুলো তুমি পরে শিখবে।) এখানে ডেল্টা প্রতীকটি একটি $d$ এ রূপান্তরিত হয়েছে যা বোঝায় যে $dx$ একটি অসীমভাবে ছোট প্রস্থ, এবং যোগফলের প্রতীক (বড় হাতের সিগমা) একটি দীর্ঘায়িত S এ রূপান্তরিত হয়েছে যা অসীম সংখ্যক অনন্তরূপে ক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল যোগ বোঝায়।

"অসীমভাবে ক্ষুদ্র" শব্দটি আপনাকে ভয় পাওয়ানোর জন্য নয়। একটি অসীমভাবে ক্ষুদ্র পরিমাণ একা কিছু বোঝায় না। এটি হল $\textstyle \int$ প্রতীক ও $dx$ এর সমন্বয় যা একটি সীমা হিসেবে অর্থবহ, যেখানে $N$ যেকোনো বড় সংখ্যার চেয়েও বড় হয়, $dx$ (এবং প্রতিটি আয়তক্ষেত্রের ক্ষেত্রফলও) যেকোনো ছোট ধনাত্মক সংখ্যার চেয়েও ছোট হয়, এবং সকল ক্ষেত্রফলের যোগফল একটি নির্দিষ্ট, সুনির্দিষ্ট সংখ্যার দিকে এগিয়ে যায়।