কোয়ান্টাম জগৎ/ক্ষেত্র

ক্ষেত্রসমূহ

আপনি যেমনভাবে মনে রাখবেন, একটি ফাংশন হলো একটি যন্ত্র যা একটি সংখ্যা গ্রহণ করে এবং একটি সংখ্যা ফেরত দেয়। একটি ক্ষেত্র হলো একটি ফাংশন যা একটি বিন্দুর তিনটি স্থানাঙ্ক বা একটি স্থানকাল বিন্দুর চারটি স্থানাঙ্ক গ্রহণ করে এবং একটি স্কেলার, একটি ভেক্টর, বা একটি টেনসর (স্থানিক বা ৪-মাত্রিক স্থানকাল টেনসর) ফেরত দেয়।

গ্রেডিয়েন্ট

ধরুন একটি বক্ররেখা ${\mathcal {C}}$ আছে ৩-মাত্রিক স্থানে। যদি আমরা এই বক্ররেখার বিন্দুগুলোকে কোনো পরামিতি $\lambda$ দ্বারা চিহ্নিত করি, তাহলে ${\mathcal {C}}$ কে উপস্থাপন করা যায় একটি ৩-ভেক্টর ফাংশন $\mathbf {r} (\lambda )$ দ্বারা। আমরা জানতে চাই একটি স্কেলার ক্ষেত্র $f(x,y,z)$ এর মান কতটা পরিবর্তিত হয় যখন আমরা ${\mathcal {C}}$ এর $\mathbf {r} (\lambda )$ বিন্দু থেকে $\mathbf {r} (\lambda +d\lambda )$ বিন্দুর দিকে যাই। $f$ এর পরিবর্তন নির্ভর করে $\mathbf {r}$ এর স্থানাঙ্কগুলো $(x,y,z)$ কতটা পরিবর্তিত হয়েছে, যা নিজেরাও $\lambda$ এর ফাংশন। স্থানাঙ্কগুলোর পরিবর্তন দেওয়া হলো:

(^{*})\quad dx={\frac {dx}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dy={\frac {dy}{d\lambda }}\,d\lambda ,\quad dz={\frac {dz}{d\lambda }}\,d\lambda ,

অন্যদিকে $f$ এর পরিবর্তন তিনটি পরিবর্তনের সমষ্টি:

(^{*}{}^{*})\quad df={\frac {df}{dx}}\,dx+{\frac {df}{dy}}\,dy+{\frac {df}{dz}}\,dz.

প্রথম পদটি বলছে $(x,y,z)$ থেকে $(x{+}dx,y,z)$ এ গেলে $f$ কতটা পরিবর্তিত হয়, দ্বিতীয়টি $(x,y{+}dy,z)$ এর জন্য এবং তৃতীয়টি $(x,y,z{+}dz)$ এর জন্য।

আমরা কি $f$ এর পরিবর্তনগুলোর সমষ্টি হিসেব করতে পারি যখন আমরা $(x,y,z)$ থেকে $(x{+}dx,y,z)$ , তারপর $(x{+}dx,y{+}dy,z)$ এবং এরপর $(x{+}dx,y{+}dy,z{+}dz)$ এর দিকে যাই? আসুন গণনা করি।

{\frac {\partial f(x{+}dx,y,z)}{\partial y}}={\frac {\partial \left[f(x,y,z)+{\frac {\partial f}{\partial x}}dx\right]}{\partial y}}={\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}\,dx.

যদি $dx\rightarrow 0$ হয়, তাহলে শেষ পদটি অদৃশ্য হয়। তাই আমরা ${\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial y}}$ ব্যবহার করতে পারি। (*) কে (**) তে বসালে পাই:

df=\left({\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{d\lambda }}+{\frac {\partial f}{\partial z}}{\frac {dz}{d\lambda }}\right)d\lambda .

বন্ধনীতে থাকা অভিব্যক্তিটি দুইটি ভেক্টরের ডট গুণফল হিসাবে চিন্তা করুন:

স্কেলার ক্ষেত্র $f$ এর গ্রেডিয়েন্ট ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}$ , যার উপাদান ${\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}$ — এটি একটি ভেক্টর ক্ষেত্র,
ভেক্টর ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }}$ যা ${\mathcal {C}}$ এর স্পর্শক।

যদি $\lambda$ হয় সময় যেখানে একটি বস্তু ${\mathcal {C}}$ বরাবর চলমান, তবে ${\frac {d\mathbf {r} }{d\lambda }}$ এর মান হলো বস্তুর বেগ।

${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর যা $f(\mathbf {r} )$ ফাংশন গ্রহণ করে এবং তার গ্রেডিয়েন্ট ${\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}$ ফেরত দেয়।

$f$ এর গ্রেডিয়েন্ট একটি ইনপুট-আউটপুট যন্ত্র: $d\mathbf {r}$ প্রবেশ করালে পাই

{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {r} =df=f(\mathbf {r} +d\mathbf {r} )-f(\mathbf {r} ).

এই অপারেটর ${\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}$ ডট ও ক্রস গুণফলের সাথে ব্যবহৃত হয়।

কার্ল

ভেক্টর ক্ষেত্র $\mathbf {A}$ এর কার্ল সংজ্ঞায়িত:

{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} ={\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} }}\times \mathbf {A} =\left({\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right)\mathbf {\hat {x}} +\left({\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}-{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}\right)\mathbf {\hat {y}} +\left({\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}-{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}\right)\mathbf {\hat {z}} .

এই সংজ্ঞা কী কাজে আসে তা দেখতে, $\oint \mathbf {A} \cdot d\mathbf {r}$ লাইন ইন্টিগ্রাল হিসাব করি একটি বদ্ধ বক্ররেখা ${\mathcal {C}}$ বরাবর। এটি সার্কুলেশন নামে পরিচিত।

ধরা যাক একটি অতিক্ষুদ্র আয়তক্ষেত্রের সীমা, যার কোণ $A=(0,0,0),B=(0,dy,0),C=(0,dy,dz),D=(0,0,dz)$ ।

চার পাশে অবদান:

${\overline {AB}}:\quad A_{y}(0,dy/2,0)\,dy,$
${\overline {BC}}:\quad A_{z}(0,dy,dz/2)\,dz=\left[A_{z}(0,0,dz/2)+{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}dy\right]dz,$
${\overline {CD}}:\quad -A_{y}(0,dy/2,dz)\,dy=-\left[A_{y}(0,dy/2,0)+{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}dz\right]dy,$
${\overline {DA}}:\quad -A_{z}(0,0,dz/2)\,dz.$

সব মিলিয়ে:

(^{*}{}^{*}{}^{*})\quad \left[{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}-{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\right]dy\,dz=({\hbox{curl}}\,\mathbf {A} )_{x}\,dy\,dz.

এই আয়তক্ষেত্রকে উপস্থাপন করা যায় একটি ভেক্টর $d\mathbf {\Sigma }$ দ্বারা যার মান $d\Sigma =dy\,dz$ এবং যা আয়তক্ষেত্রের লম্ব। এটি ব্যবহার করে পাই ${\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma }$ ।

এইভাবে যদি কোনো পৃষ্ঠ $\Sigma$ কে ছোট ছোট আয়তক্ষেত্রে ভাগ করে তাদের সার্কুলেশন যোগ করি, তবে পাই $\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma }$ ।

আশেপাশের আয়তক্ষেত্রের সাধারণ পার্শ্বদ্বয়ের অবদান বাতিল হয়ে যায়, কেবল সীমা $\partial \Sigma$ এর অবদান থাকে।

অতএব,

\oint _{\partial \Sigma }\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\Sigma }{\hbox{curl}}\,\mathbf {A} \cdot d\mathbf {\Sigma } .

এটি স্টোকসের উপপাদ্য।

যদি $\mathbf {A}$ হয় একটি স্কেলার ক্ষেত্র $f$ এর গ্রেডিয়েন্ট, এবং ${\mathcal {C}}$ হয় $\mathbf {A}$ থেকে $\mathbf {b}$ অব্দি একটি পথ, তাহলে:

\int _{\mathcal {C}}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathcal {C}}df=f(\mathbf {b} )-f(\mathbf {A} ).

একই প্রান্তযুক্ত যেকোনো পথের জন্য এই লাইন ইন্টিগ্রাল সমান হয়। $\mathbf {b} =\mathbf {A}$ হলে ${\mathcal {C}}$ একটি লুপ এবং ইন্টিগ্রাল শূন্য। অতএব, গ্রেডিয়েন্টের কার্ল সর্বদা শূন্য: